高數(shù)下冊(cè)公式總結(jié)

1、公司內(nèi)部檔案編碼：OPPTROPPT28OPPTL98OPPNN08第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的兒何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向.記作“或a = axi + avj + azk = (ax ,av,az)5 = 1心*你=二=prjza模向量“的模記作岡和差、bc =a+bc -abC =a+b = ax 土優(yōu),Gy2單位向量“ H 0,貝J efl =-r H(ax.aaz)0屁+宀町方向余弦設(shè)a與軸的夾角分別為 a、卩，丫，則方向余弦分別為 COS0 COS0, cos/cos a =ea =(cocos2 a+(%C a、G亠 COS0 = F，COS/ =

2、 aaaSOS COS0, cos/):os2/7 + cos2/ = 1點(diǎn)乘（數(shù)量 積）ab = p/|Z|cos , &為向量 8 與方 的夾角ab = axbx+ayby+azbz義乘（向量 積）c =axb|c| = 問 sin。0為向量a與的夾角 向量c與“，方都垂直a xb =(i J klx5爼 b、b-定理與公式垂直a kb o“ = 0丄 b xZx +a、b、+azbz =0平行a lib x = 0Z/Iuxgb b bXyz交角余弦兩向量夾角余弦COS& =獸HHa A +a.by +(ib.COS0- j二_? J, +叮 +a.2 .y +可 +鳥2投影向量“在非零

3、向量“上的投影 prjba = |“|cosM）=晉厶+9久+“山Prha = rir yjbx +by +bz平面直線法向量/= A.B.C點(diǎn) A/0(x0y0,z0)方向向量 T = m.n.p 點(diǎn) M0(x0,y0,z0)方程名方程形式及特征方程名稱方程形式及特征稱一般式Ax+ By+Cz. + ) = 0一般式Ax+ Bxy + Cz + Dx = 0A2x+ B2y + C2z + D2 = 0點(diǎn)法式A(x-o) + B(y-yo) + C(z-zo) = O點(diǎn)向式_ y-y0 _ z_Zo mnp三點(diǎn)式xx J-J1 ZZ|*2K兒一必6-尙兀3一卩兒一X Z3-Z|=0參數(shù)式x

4、= x0 + mt y = jo + m Z = Z()+ /M截距式X y Z=1兩點(diǎn)式_ J-Jo _ Z-Zu y一兒 Z|zn1a b c“一心面面垂 直Ax A2 + BlB1 +CG = 0線線垂直inm2 + px p2 = 0面面平 行A1 _ clA.B=C7z厶線線平行“ _ 9 _ Pi m2 n2 p2線面垂 直ABC m n p線面平行Am+ Bn + Cp = 0點(diǎn)面距離Ax+By + Cz + D = O面面距離Ax + By + Cz + D =0Ax + By + Cz. + D2=0t_ Axo+Byo+C5+D|d =yA2+B2+C2Ja2 + b2+c

5、2面面夾角線線夾角線面夾角H,= ap,c,h2= a2,b2,cjSS2 =/n272,p2s =mji.p n=A.B.C1 A A, + BB、+CC 1cosG = ；QAj + BJ + C； 忙 + 呼 + C?，cos 9?：siny = -Am + Bn + Q;|J加;+ p： yjm； + n； + p；J A2 + B2 +C2 J, +/r + p空 間 曲 線 r(X =(ptz =atp)切向量亍=（0（/（J，肖（心），少（/（）切“線”方程：蔦*-0仇）0仇）”（厶）法平“面”方程：0(心)(x - 心)+ 肖U) (y - 兒)+ 0(心)(z - z) =

6、0y = p(x)0 _Z-ZoZv(xoOo)幾(So)j第十章重積分重積分積分類型計(jì)算方法典型例題二重積分心JP （兒加D平面薄片的 質(zhì)量質(zhì)量二面密 度X 面積（1）利用直角坐標(biāo)系1 型Jj* /（X，y）dxdy = dxj； ： /（%，刃心p型jj /（X, ydxdy =：f （兀,y）dx（2）利用極坐葆系使用原則（1）積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示（含圓 弧,直線段）；（2）被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單（含（x2 + /） a為實(shí)數(shù)）&r-0兀 0 Xjj/（/?cos,psin 0）pdpdOi）=1 d0 /（pcospsinO）pdpVk “.C ：7 -v-

7、” 弋空/一x092/r00tt7t017t:高等數(shù)學(xué)(一)教案 期末總復(fù)習(xí)(3)利 當(dāng)D 結(jié)論)!=*)對(duì)于x是奇函數(shù)，BP/(-x,y) = -/Uy) 2j7(x, y)dxdy f(x. y)對(duì)于 x 是偶函數(shù)，即/(x, y) = /(x, y) D是zXl勺右半部分計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)1. 畫出積分區(qū)域2. 選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3. 確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙1.確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5.計(jì)算要簡(jiǎn)便注意：充分利用對(duì)稱性，奇偶性(1)利用直角坐標(biāo)截面法投影 口“(禺 % z)d V =z)dzn

8、(2)利用柱面坐標(biāo)相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上居適用范圍： 積分區(qū)域表面用柱面坐 體 被積函數(shù)用柱面坐丿 f(x2 + y2)f(x2+z2) 肛心*兇=仏了呵:x = r cos 0y = rsin 0(角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如旋轉(zhuǎn)際表示時(shí)變量易分離.如f(pcos psin 0、Z)Qd/?F)(3)利用球面坐標(biāo)x = pcosO = rsin 9 cos y = psin = rsin sin Z = rcQS(p三重積分空間立體物 的質(zhì)量質(zhì)量二密度 X面積dv = r2 sin （pdrdcpdO適用范圍：積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如，球體， 錐體.被積函數(shù)用球面坐標(biāo)

9、表示時(shí)變量易分離.如， f（x2 + y2 + z2）/ = d d&/（psin （pcos0. psin?sin 0, pcos（p）p sin gxp（4）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計(jì)算方法典型例題第一類曲線 積分曲形構(gòu)件的 質(zhì)量質(zhì)量二線密度參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1) L :y =(p(x)/ = 7(0(/),卩)J + b (/)/厶:一爐(at/3)i = fyM) + y2y =如)Ja/ c、jx = /(&)cos&(3) r = r(0) (a 3 p Ly =,(0)sin&X弧長(zhǎng)I =/(“)cos61

10、“)sin &)&) +嚴(yán)(O)d0Jet平面第二類 曲線積分/ = j P（lx+ Qdy變力沿曲線 所做的功（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）Ldx=/w/zEDyS : z = z(x,y), y為工的法向量與兀軸的夾角 前側(cè)取 “ + , cos/0 ；后側(cè)取，cos/0；左側(cè)取一”，cos0vO |*|* Qdxdy = Jj g(x, y, z(x, y)lxdyEDy.S : A =x(y,z), a為工的法向量與x軸的夾角 上側(cè)取+ ,cos a 0 ；下側(cè)取-”，cosavO高斯公式右手法則取定X的側(cè)條件：封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域。的外 側(cè)P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)

11、論：g Pdydz + Qdzjclz. + Rdxdy = JJJ（ + 警 + 姜） 應(yīng)用滿足條件直接應(yīng)用 皿用：不是封閉曲面，添加帝動(dòng)面(3)門類曲面積分之間的聯(lián)系| Pdydz +Qdzdx + Rdxil y = jj (P cos a + 0 cos /?+/? cos /5 zz轉(zhuǎn)換投影法：dydz. = (-)dxdy dz.dx = (一)dxdy dxdy所有類型的積分： 定義：四步法一一分割、代替、求和、取極限； 性質(zhì)：對(duì)積分的范圍具有可加性，具有線性性；對(duì)坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)一般項(xiàng)級(jí)-交錯(cuò)收斂“傅立葉級(jí)R = 一 , p H 0； R = -HX Q = O；/C = O,Q = -KCS(x)的性質(zhì)在收斂域I上連續(xù)；0在收斂域(-R , R)內(nèi)可 導(dǎo)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)；和函數(shù)s(x)在收斂域/上可積分，且直接展開:泰勒級(jí)數(shù)間接展開:六個(gè)常用展開式100X 1=Vx