等差等比數(shù)列練習(xí)題以及基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1、、等差等比數(shù)列基礎(chǔ)知識點(diǎn)（一）知識歸納:1.概念與公式：等差數(shù)列：1。.定義：若數(shù)列an滿足an 1 an d（常數(shù)），則an稱等差數(shù)列;2° .通項(xiàng)公式：an a1 (n 1)d ak (n k)d ；n(a an)n(n 1),3 .刖n項(xiàng)和公式：公式：Sn na1 d.22等比數(shù)列：1 ° .定義若數(shù)列an滿足亙 q （常數(shù)），則an稱等比數(shù)列；2。.通項(xiàng)公式： ananaqn1akqn k； 3。.前 n 項(xiàng)和公式：&a1anqa1（1q ） （q1）,當(dāng) q=1 時 Snna1 q 1 q2.簡單性質(zhì)：首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列an ：a1，a2，a3， ,an，

2、1° .若2門是等差數(shù)列，則a an a2 an 1 a3 an 2；2 .右an是等比數(shù)列，則 aan a2 an 1 a3 an 2.中項(xiàng)及性質(zhì)：a b1。 .設(shè)a, A, b成等差數(shù)列，則 A稱a、b的等差中項(xiàng)，且 A 上一；22。 .設(shè)a,G, b成等比數(shù)列，則 G稱a、b的等比中項(xiàng)，且 G質(zhì).設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且 p q r s,1° .若an是等差數(shù)列，則ap aq a a$;2 .若2口是等比數(shù)列，則ap aq ara$;順次n項(xiàng)和性質(zhì)：n2n3n1° .若an是公差為d的等差數(shù)列，則 ak, ak,ak組成公差為n2d的等差數(shù)列；k 1 k

3、 n 1 k 2n 1n2n3n2 .若an是公差為q的等比數(shù)列，則ak,ak,ak組成公差為qn的等比數(shù)列.（注意：當(dāng)q=-1, nk 1 k n 1 k 2n 1為偶數(shù)時這個結(jié)論不成立）若an是等比數(shù)列,則順次n項(xiàng)的乘積：a1a22an,anan 2a2n,a2n1a2n 2 a3n組成公比這 q 的等比數(shù)列若an是公差為d的等差數(shù)列，1°.若n為奇數(shù)，則Snn等且S奇S偶a中(注：a中指中項(xiàng)，即a中an1，而S奇、S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和)；2。.若n為偶數(shù)，則S偶S奇nd2(二)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：dw0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng)n的一1 .學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運(yùn)

4、用基本公式，注意公差次函數(shù)an=an+b;公差dw 0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)數(shù)n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)S=an2+bn;公比qw 1的等比數(shù)列白前n項(xiàng)公式可以寫成“ $=a(1-qn)的形式；諸如上述這些理解對學(xué)習(xí)是很有幫助的2 .解決等差、等比數(shù)列問題要靈活運(yùn)用一些簡單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡單、明確，絕對不能用課外的需要證 明的性質(zhì)解題.a,a+m,a+2m (或3 .巧設(shè)“公差、公比”是解決問題的一種重要方法，例如：三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a-m,a,a+m)三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,aq,aq2(或a, a,aq) "四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為qa, a m,

5、a 2m, a 3m(或a3m, a m, a m,a 3m);四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“23a,aq, aq ,aq (或(1)U aa b 2(1)aca bbbc c22ac b(a c), a2 abb(a c) a2c2a22(a c)2b(a c)b c c a a , b ,(a 2)(cb ba 一， 一，c2 2c2(a bacacc),圣成等差數(shù)列;cb) ac b (a c)22b成等比數(shù)列.2評析判斷(或證明)一個數(shù)列成等差、等比數(shù)列主要方法有：根據(jù)“中項(xiàng)”性質(zhì)、根據(jù)“定義”判斷,(n)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n為奇數(shù)，且所有奇數(shù)項(xiàng)的乘制為1024,所有偶數(shù)項(xiàng)的乘積為3、aq

6、 ),”等等；類似的經(jīng)驗(yàn)還很多，應(yīng)在學(xué)習(xí)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)例1解答下述問題：,1 1 1 (I)已知一，一,成等差數(shù)列，求證:a b cc a a b ,成等差數(shù)列；b cb b-,c 成等比數(shù)列.22解析該問題應(yīng)該選擇“中項(xiàng)”的知識解決,128 J2 ,求項(xiàng)數(shù)n.解析設(shè)公比為q,aa3 a5ana2a4an 11024128、24.2n 1ai q-4,2(1)35而a1a2a3an 1024 128 .22三a1 q1 2 3n 135535(a1 q -)n2"將(1)代入得(22)n 2T ,5n 35 / /4n 7.2235(n 1) 2等差數(shù)列an中，公差 dw0,在此數(shù)列中依

7、次取出部分項(xiàng)組成的數(shù)列ak,ak ,ak恰為等比數(shù)列，其中k1 1,k2 5,k3 17,X k2kn123求數(shù)列kn的前n項(xiàng)和.2解析現(xiàn)自，而成等比數(shù)列，a§aa”，(a1 4d)2a1 (a1 16d)d(a1 2d) 0d 0, a12d,數(shù)列aj的公比q 巨 父d 3,na1 a1aka1 3n 12d 3n 1n而 akn a1 (kn 1)d 2d (kn 1)d由，得kn 2 3n 1 1, ，_3n 1.kn的刖 n項(xiàng)和 Sn 2 n 3n n 1.3 1評析例2是一組等差、等比數(shù)列的基本問題，熟練運(yùn)用概念、公式及性質(zhì)是解決問題的基本功例3解答下述問題：(I)三數(shù)成等

8、比數(shù)列，若將第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,又成等比數(shù)列,求原來的三數(shù).解析設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)，要比設(shè)等比數(shù)列的三項(xiàng)更簡單,設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)分別為a-d, a, a+d,則有2(a d)(a d 32)a2(a 4)(a d)(a d)2 d32d 32a 0_28a 16 d3d 2 32d 64 0, d8或 d原三數(shù)為2,10,50或226翹.9 99(n)有四個正整數(shù)成等差數(shù)列，公差為8,得a 10或空3910,這四個數(shù)的平方和等于一個偶數(shù)的平方，求此四數(shù)解析設(shè)此四數(shù)為a 15, a 5,a 5, a 15(a 15),2222_2(a 152) (a 5)2

9、 (a 5) (a 15)(2m)2 (m N )4a2 500 4m2(m a)(m a) 125,1251125525,m a與m a均為正整數(shù)，且m a m a,ma1ma2ma125ma25解得a 62或a 12(不合)，所求四數(shù)為47, 57, 67, 77評析巧設(shè)公差、公比是解決等差、等比數(shù)列問題的重要方法，特別是求若干個數(shù)成等差、等比數(shù)列的問題中是 主要方法.二、等差等比數(shù)列練習(xí)題一、選擇題1、如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列()(A)為常數(shù)數(shù)列(B)為非零的常數(shù)數(shù)列(C)存在且唯一(D)不存在2.、在等差數(shù)列 an中，a1 4 ,且a1，a5, a13成等比數(shù)列

10、，則 an的通項(xiàng)公式為()3、4、(A) an 3n 1(B)an n(0 an 3n 1 或 an(D) ann3或 an4已知a,b,c成等比數(shù)列，且 x,y分別為a與b、b與c的等差中項(xiàng)，則 axc，一,一的值為y(B) 2(0 2(D)不確定互不相等的三個正數(shù) a,b,c成等差數(shù)列,x是a,b的等比甲項(xiàng),y是b,c的等比中項(xiàng),那么222.x , b , y三個數(shù)()(A)(C)成等差數(shù)列不成等比數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列(B)成等比數(shù)列不成等差數(shù)列(D)既不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列5、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , S2n 14n2 2n,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為(A)an 2n 2

11、(B)an8n 2(。an 2n 1(D)ann26、已知(z2x)4(x y)(y z),則(A) x,y, z成等差數(shù)列(B)x, y, z成等比數(shù)列1 1 1 -(0 ,一，一 成等差數(shù)列 x' y ' z(D)1 1 -成等比數(shù)列,y z7、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan 1 ,則關(guān)于數(shù)列an的下列說法中，正確的個數(shù)有一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列可能既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列(A)4(B) 3(0(D)18、2 4 8 16-1 c 1 / r 1"數(shù)列1 1

12、,3 1,5 ,7,，刖n項(xiàng)和為(A) n221(B)n *(O n2 n 1 12n(D) n2 n9、若兩個等差數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和分別為“-AnAn、Bn ,且滿足Bn4n 25n 5,則3員b5b13的值為(A)(B)(C)1910、已知數(shù)列(A)11、已知數(shù)列12、20(D) 78an56的前n項(xiàng)和為Sn2n 5n2,則數(shù)列an的前10項(xiàng)和為(B) 58(C) 62(D) 60的通項(xiàng)公式an列的前n項(xiàng)和為(A) n(3n 13)2下列命題中是真命題的是(B)A.數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是b.已知一個數(shù)列an的前n項(xiàng)和為C.數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件13、14、15、16、17

13、、5為，從3n 5anSnanD.如果一個數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn填空題各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an已知等差數(shù)列 an ，公差d已知數(shù)列an滿足Sn1pnan2n 1ababn c中依次取出第3,q(bn(a9, 27,3 n項(xiàng)，按原來的順序排成一個新的數(shù)列，則此數(shù)n 1310n 3(D)p 0)a ,如果此數(shù)列是等差數(shù)列，那么此數(shù)列也是等比數(shù)列0,b 0,b 1),則此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是a c 01 a5,a7,a8,成等差數(shù)列,則公比 q =a1 a5a170, a1，a5 ,a17成等比數(shù)列，則a2a6a18在2和30之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入

14、的這兩個數(shù)的等比中項(xiàng)為 解答題已知數(shù)列 an是公差d不為零的等差數(shù)列，數(shù)列abn是公比為q的等比數(shù)歹U,bi1,b210,b3 46 ,求公比 q及 bn。18、已知等差數(shù)列 an的公差與等比數(shù)列 bn的公比相等，且都等于d (d 0,d1) , a1 b1 , a3 3b3, a5 5b5,求an,bn。19、有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為216,后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為36,求這四個數(shù)。20、已知an為等比數(shù)列，a32,a? a420 人 ，求an的通項(xiàng)式。321、數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1 1,an 12Sn 1 n 1（口）等差數(shù)列22、已知數(shù)列 an（i）求 an的

15、通項(xiàng)公式;bn的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn,且丁3 15,又a16但 b?© b3成等比數(shù)列，求Tn*.滿足 a1 1,an 12an1(n N ).11（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;b11b2 1bn 1bn /（II）若數(shù)列bn滿足4" .4唉.4 n (an 1) n(n N )，證明：bn是等差數(shù)列;數(shù)列綜合題1. 513.214.2615.29413(3)166、. 3三、解答題bi =a1, a b2 =a10=a1+9d, a =a46=a1+45d由abn為等比數(shù)例，得（ai+9d）2=a1(a1+45d)彳導(dǎo) a3d,即 ab1=3d, ab2=12d, a

16、b3=48d.q=4又由 abn是an中的第bna 項(xiàng)，及 abn=ab1 4 n-1=3d 4n-1, a+(bn-1) d=3d 4n-1bn=3 , 4 -218.a3=3b3,a5=5bs,2a1+2d=3a1d ,-.2、a1(1-3 d )=-2 d4、a+4d=5a1d4 ,a1(1-5 d )=-4 d /日 1 5d22 1有，得7=2，d=1 或 d =-,由題忌，d=1 3d2555, ,a1=- v5 o . an=ai+(n-1) d= ( n-6)bn=a1dn-1=- <5 ( 5-) n-15a19.設(shè)這四個數(shù)為 一，a,aq,2aq aqaq 216由,

17、a3=216, a=6d、選擇題題號123456789101112答案BDCAAACADDDD二、填空題a aq (3aq a) 36 代入，得3aq=36, q=2二.這四個數(shù)為3,20.解:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則qw。,6, 12,史a2= =q182, a4=a3q=2q q所以 2 + 2 q=20 ,解得 q=； , q2= 3, q 33當(dāng) qi=3, a1=18.所以 an=18x (3)n 12 c=3門1 = 2X33- n當(dāng) q=3 時，a產(chǎn) | ,所以 an=g X3n1=2x 3 n-3 9921.解：（I）由ani 2Sn 1可得an 2Sn 1 1 n 2，兩式相減得an 1an2an ,an 1 3an n 2又a22S1 1 3 . . a2 3al故an是首項(xiàng)為1,公比為3得等比數(shù)列3n 1 an 3(n)設(shè)如的公差為d由T3 15得，可得b1 b2 b3 15,可得b2 5故可設(shè)b1 5 dh 5 d又 a11,a23, a3 92由題息可得 5 d 1 5 d 95 3解得 d12,d2 10等差數(shù)列 bn的各項(xiàng)為正，d 0 d 2n n 12 Tn 3n2 n2 2n222 ：Q a。1 2an 1(n N ),an 1 12(an 1),an 1是以a1 1