天體力學(xué)二體問題的解

1、天體力學(xué)二體問題的解內(nèi)容提要本文簡單介紹了天體力學(xué)次級學(xué)科內(nèi)容,開展簡史,及其在人類文明開展的歷史地位.天體力學(xué)認(rèn)為二體問題已經(jīng)解決,這是一個熟悉誤區(qū).文章詳細(xì)地表達(dá)了二體問題的傳統(tǒng)解法,根據(jù)?伯力克物理教程?第一卷?力學(xué)?第九章中高級課題所講述的方法,導(dǎo)出二體問題與時間有關(guān)的解.探討了二體問題方程式.天體力學(xué)二體問題傳統(tǒng)解,致使許多自然現(xiàn)象困惑難解.走出天體力學(xué)熟悉的誤區(qū),一大批物理批疑難問題豁然開朗.附件用10個專題文章嘗試解解釋有關(guān)物理疑難問題目錄1天體力學(xué)簡介1.1 天體力學(xué)次級學(xué)科內(nèi)容1.2 天體力學(xué)開展簡史1.3 天體力學(xué)歷史地位2天體力學(xué)傳統(tǒng)觀念2.1 牛頓絕對時空觀念2.2 二

2、體問題常規(guī)解2.3 天體力學(xué)熟悉中的誤區(qū)3二體問題與時間相關(guān)的解3.1 天體引力場的時空結(jié)構(gòu)3.2 二體問題與時間相關(guān)的解3.3 二體問題與時間有關(guān)的解附件1哈勃定律的理論解釋2太陽系天體距離和周期的規(guī)律性3水星近日點(diǎn)的進(jìn)動4月球長期加速運(yùn)動5古生物化石的年輪和月輪6河外天體光譜紅移7天體形態(tài)與微觀結(jié)構(gòu)的聯(lián)系8太陽常數(shù)理論計(jì)算9物理黑洞10地球能量、溫度和輻射1天體力學(xué)簡介1.1天體力學(xué)次級學(xué)科天體力學(xué)是研究天體的運(yùn)動和形狀的學(xué)科.天體力學(xué)可分為六個次級學(xué)科：多體問題,又稱做N體問題,或稱攝動理論.研究N個質(zhì)點(diǎn)在萬有引力作用下的動力學(xué)問題,其中只有二體問題已徹底解決.數(shù)值方法.采用數(shù)值計(jì)算的方

3、法來求解天體的運(yùn)動方程并討論解的收斂性、穩(wěn)定性及計(jì)算方法的改良等問題.定性方法.探討天體運(yùn)動軌道的宏觀圖像、運(yùn)動區(qū)域和軌道特征.天文動力學(xué).又稱為星際航行動力學(xué),主要是研究各種人造天體的運(yùn)動規(guī)律.歷書天文學(xué).根據(jù)天體運(yùn)動理論和軌道要素編制各種天體的歷表和計(jì)算各種天象.天體的形狀和自轉(zhuǎn)理論.主要研究各種物態(tài)組成的天體的自轉(zhuǎn)平衡形態(tài)、穩(wěn)定性及自轉(zhuǎn)軸的變化規(guī)律.歷史淵源1.2 天體力學(xué)開展簡史丹麥天文學(xué)家第谷(B.Tycho,15461601)在16世紀(jì)對行星繞日運(yùn)行作了長期的觀測,記錄了大量準(zhǔn)確可靠的天文數(shù)據(jù)資料.德國天文學(xué)家,數(shù)學(xué)家開普勒(Kepler,Johannes,15711630)根據(jù)第

4、谷多年的行星觀測資料于1609年1619年先后提出了行星運(yùn)動三大定律,還提出了著名的開普勒方程,對行星軌道要素下了定義.從此可以預(yù)報(bào)行星(以及月球)更準(zhǔn)確的位置,形成理論天文學(xué),揭開了天體力學(xué)的序幕；英國著名的物理學(xué)家牛頓(I.Newton,16431727),英國科學(xué)家胡克(R.Hook)和荷蘭物理學(xué)家惠更斯(C.Huygens)都曾根據(jù)開普勒定律推測行星和太陽間存在和距離二次方成反比的引力,為此胡克和牛頓還通過信,因此,對定律的首創(chuàng)權(quán)有過爭議.1687年7月Newton名著?自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理?問世,提出絕對時空觀念,牛頓動力學(xué)三定律和萬有引力定律,建立經(jīng)典力學(xué)理論根底.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(E

5、uler,Leonhard,17071783)是第一個較完整的月球運(yùn)動理論的創(chuàng)法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾(d'Alembert,JeanleRond,17171783)的?動力學(xué)?是力學(xué)方面的一部奠基性著作,書中包括后來以他的名字命名的達(dá)朗貝爾原理,根據(jù)這個原理建立起把動力學(xué)問題化為靜力學(xué)問題來處理的一般方法.他運(yùn)用這個方法研究了天體力學(xué)中的三體問題,并把它推廣到流體動力學(xué)中法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange,Joseph-Louis,17361813)在?分析力學(xué)?一書中,運(yùn)用變分原理和分析的方法,建立起完整和諧的力學(xué)體系,使力學(xué)分析化了,拉格朗日是大行星運(yùn)動理論的創(chuàng)始人.法國數(shù)學(xué)家,天文

6、學(xué)家拉普拉斯(Laplace,Pierre-Simon,17491827)是天體力學(xué)集大成者.他的五卷十六冊巨著?天體力學(xué)?成為經(jīng)典天體力學(xué)的代表作.在這部著作中,他對大行星和月球的運(yùn)動都提出了較完整的理論,而且對周期彗星和木星的衛(wèi)星也提出了相應(yīng)的運(yùn)動理論.同時,他還對天體形狀的理論根底-流體自轉(zhuǎn)時的平衡形狀理論作了詳細(xì)論述.法國數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre,Adrien-Marie,17521833)在天文學(xué)的研究中,引進(jìn)了著名的勒讓德多項(xiàng)式,發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì).德國數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,物理學(xué)家高斯(Gauss,CarlFriedrich,17771855)創(chuàng)立三次觀測決定小行星軌道的計(jì)算方

7、法,1809年發(fā)表其計(jì)算方法.此后,幾乎都用這個方法推算小行星軌道.在星歷表計(jì)算中,他引進(jìn)一組輔助量(又稱為高斯常數(shù)),使求日心赤道直角坐標(biāo)計(jì)算大大簡化.法國數(shù)學(xué)家泊松(Poisson,Simcon-Denis,17811840)對積分理論、行星運(yùn)動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要奉獻(xiàn).“泊松方程是經(jīng)典引力理論的分析形式.德國數(shù)學(xué)家雅可比(Jacobi,CarlGustavJacob,18041851)和英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家哈密頓(Hamilton,WilliamRowan18051865)對分析力學(xué)的建立做出了重要奉獻(xiàn).1846年,根據(jù)法國天文學(xué)家勒威耶(LeVer

8、rier,UrbainJeanJoseph,18111877)和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯(Adams,JohnCouch,18191892)的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)了海王星.這是經(jīng)典天體力學(xué)的偉大成果,也是自然科學(xué)理論預(yù)見性的重要驗(yàn)證.此后,大行星和月球運(yùn)動理論益臻完善.成為編算天文年歷中各天體歷表的根據(jù).法國數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare,Jules-Henri,18541912),又譯彭加勒龐加萊,龐加萊在18921899年出版的三卷本?天體力學(xué)新方法?是這個時期的代表作.數(shù)值方法最早可追溯到高斯的工作方法.十九世紀(jì)末形成的科威耳方法和亞當(dāng)斯方法,至今仍為天體力學(xué)的根本數(shù)值方法(見天體力學(xué)數(shù)值方法),但在電

9、子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前應(yīng)用不廣.二十世紀(jì)五十年代以后,由于人造天體的出現(xiàn)和電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,天體力學(xué)進(jìn)入一個新時期.研究又增加了各種類型的人造天體,以及成員不多的恒星系統(tǒng).在研究方法中,數(shù)值方法有迅速的開展,不僅用于解決實(shí)際問題,而且物理學(xué)同定性方法和分析方法也有相應(yīng)開展,以適應(yīng)觀測精度日益提升的要求.1.3 天體力學(xué)歷史地位天體力學(xué)是人類文明史上偉大的豐碑,也是人類歷史上第一個走出地球的科學(xué)理論,以足夠精確的計(jì)算結(jié)果預(yù)言了天體前后幾百年、幾千年甚至幾萬年的運(yùn)動,經(jīng)受了無數(shù)的新的觀測考驗(yàn).天體力學(xué)對人類社會的進(jìn)步起了巨大的推動作用.2天體力學(xué)傳統(tǒng)觀念2.1 牛頓絕對時空觀念Newton時空觀念一

10、般稱為經(jīng)典時空觀念,又稱為絕對時空觀念,Newton曾經(jīng)對這個時空觀念詳細(xì)描述：1、絕對的、真正的和數(shù)學(xué)的時間自身在流逝著,而且由于其本性而在均勻地、與任何其他外界事物無關(guān)地流逝著,它又可以名之為延續(xù)性；相對的、表觀的和通常的的時間是延續(xù)性的一種可感覺的、外部的(無論是精確的或是不相等的)通過運(yùn)動來進(jìn)行的量度我們通常就用諸如小時、日、月、年等這種量度以代替真正的時間.2、絕對的空間,就其本性而言,是與任何外界事物無關(guān)而永遠(yuǎn)是相同的和不動的.相對空間是絕對空間的可動局部或者量度.我們的感官通過絕對空間對其他物體的位置而確定了它,弁且通常把它當(dāng)作不動的空間看待.如相對地球而言的地下,大氣或天體等空

11、間就是這樣確定的.絕對空間和相對空間,在形狀上和大小上都相同,但在數(shù)字上并不總是保持一樣.由于,例如當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)動時,一個相對地球總是保持不變的大氣空間,將一個時間是大氣流入的絕對空間的一個局部,而在另一時間將是絕對空間的另一個局部,所以從絕對的意義來了解,它總是在不斷變化的.(摘自HS塞耶編?牛頓自然哲學(xué)著作選?第十九頁至二十頁)Newton時空觀念為經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動參照系建立提供了哲學(xué)的、物理的理論依據(jù).根據(jù)Newton時空觀念,一個無限延伸的三維鋼架和一個均勻流逝的運(yùn)動構(gòu)成了一個運(yùn)動參照系,一個剛性的尺和一個穩(wěn)頻的鐘可以分別對空間和時間進(jìn)行度量.在三維鋼架上的空的空間構(gòu)成三維Euclid空間直

12、角坐標(biāo)系坐標(biāo)h(I=1,2,3),時間t作為參變量,%作為時間t的函數(shù)xa(t).如果有另一個參照系K'以速度V相對K運(yùn)動,K'中的相應(yīng)的空間坐標(biāo)為Xu,t',那么Xq,1和%,t之間變換由下述的Galilao時空變換公式?jīng)Q定：'X,yX,yV；t(2.1)(2.2)上式中v0t是v沿x方向的分量,在變換中,位矢的平方r2是不變量,即:(2.3)根據(jù)慣例,上式重復(fù)下標(biāo)表示求和.2.2 二體問題傳統(tǒng)解二體問題是各類天體真實(shí)運(yùn)動的第一次近似結(jié)果,也是研究天體在有心力場的引力作用下的運(yùn)動.根據(jù)牛頓絕對時空觀念、牛頓動力學(xué)根本定律和牛頓萬有引力定律,運(yùn)動方程具有如下形式

13、dvm-=F(2.4)上式中,m表示天體質(zhì)量,v表示天體運(yùn)動速度,F表示太陽和天體之間的引力,t表示時間.在解方程(2.4)時,二體問題采用了下述的邏輯推理：第一、選擇質(zhì)心參照系描述二體運(yùn)動,以折合質(zhì)量-=Mm代替天體質(zhì)量m,Mm折合質(zhì)量也稱約化質(zhì)量,約化質(zhì)量既小于M,也小于m,主要由兩者中質(zhì)量較小者決定；第二、引進(jìn)勢函數(shù)描述質(zhì)點(diǎn)與球形物體之間作用力,勢函數(shù)對空間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)正比于質(zhì)點(diǎn)所受總引力的相應(yīng)分力.把中央天體看成是質(zhì)量密度均勻分布的球體,以*表示勢函數(shù),GF那么巾等于4=,單位質(zhì)量體元受的作用力為,這樣,萬程(2.4)可以寫成rm如下形式業(yè)=-6(2.5)dt根據(jù)上述邏輯形式,行星對太

14、陽運(yùn)動,就像是在以太陽為中央的慣性參照系中運(yùn)動一樣,只是要用約化質(zhì)量代替行星質(zhì)量.在太陽系黃道面上選擇極坐標(biāo)系,以太陽白質(zhì)量中央為極坐標(biāo)系的原點(diǎn),r表示矢徑(描述天體相對太陽的位置),r表示矢徑的長度,日表示矢徑的角度,那么方程(2.4)有如下形式-2m(r-r9)=F(2.6)二md2-、m(r二2r1)(r1)=0(2.7)rdt令r2¥=h,沿徑r方向和沿8方向的兩個方程分別為至手Gr-r-=一-2-r(2.8)1dhrdt(2.9上式中h為單位質(zhì)量的角動量,2.h為一個積分常數(shù),mr日=mh即天體單位質(zhì)量的動量矩守恒.物體受有心力作用時,時間t可以從微分方程消去,人1口,令u

15、=可以得出r-h-hu2r士二di1duu2dudF,2,du.22r-h71=-hudu2d2u將r和8代入(2.8)式,有h2u2(d-uu);GLu2du2(2.10)d2udVu=h2(2.11其解為Acos(二-%)(2.12r二1®h2G2(2.13Gcos(0)如果將基線轉(zhuǎn)過一個角度,可使e0=0,那么(2.13)式可以寫為(2.141ecosF1ecosia(1-e2)(2.14)式所描述的是圓錐截線,式中h2八h2aA3=Ap=e其中,p為半正焦弦的長,e為偏心率；此時日應(yīng)該從焦點(diǎn)至準(zhǔn)線所垂線量起,上述圓錐曲線,可依能量E和偏心率e的數(shù)值分為三種類型:橢圓:p=a(

16、1-e2),h=jGNa(1_e2)=jGNp拋物線:p=2q,h=72Gq,E=0,雙曲線:p=a(e2-1),h=jG%(e2-1),E>0,e>1；根據(jù)二體問題傳統(tǒng)解修正的開普勒第三定律形式是(2.15(2.16a3G24二2二體運(yùn)動方程一個積分2,21v=G-(一)ra稱為活力公式或活力積分；G天體能量表達(dá)式為E=-G(2.172a2.3天體力學(xué)熟悉中的誤區(qū)天體力學(xué)取得了巨大的成功,人們通過觀測實(shí)踐和人類的哲學(xué)、邏輯學(xué)和物理學(xué)根本理論可以發(fā)現(xiàn)天體力學(xué)盡管有極高的可靠性,但是天體力學(xué)并不是一個完整的理論體系,更確切地說牛頓引力理論是一個有待于開展成一個和諧的、統(tǒng)一的引力理論體

17、系.天體力學(xué)認(rèn)為二體問題已經(jīng)完全解決.這是一個熟悉誤區(qū).根據(jù)天體力學(xué)二體問題傳統(tǒng)理論,二體問題主要結(jié)論是第一運(yùn)動天體軌道是一條圓錐截線,即r=一p一曲線與時間無關(guān)；1ecosi一一一,一.2二一一一,第二運(yùn)動天體單位質(zhì)量的角動量h=r2H是運(yùn)動常數(shù).二體問題上述結(jié)論不符合天文學(xué)大量觀測數(shù)據(jù).例如,許多天文家對水星近日點(diǎn)進(jìn)動.».,.一一"一、.的研究說明,牛頓理論不解釋水星近日點(diǎn)的進(jìn)動偏差-43/世紀(jì),這是牛頓理論一個疵點(diǎn).走出天體力學(xué)熟悉中的誤區(qū),這個疵點(diǎn)就會變成為光榮奪目的亮點(diǎn).3二體問題與時間有關(guān)的解3.1天體引力場的時空結(jié)構(gòu)時間和空間是運(yùn)動著的物質(zhì)存在的根本形式,是

18、物質(zhì)固有的普遍屬性,時間和空間與運(yùn)動著的物質(zhì)是不可分的.天體力學(xué)在解二體問題時采用巧妙的方法消去了時間t,得到了二體問題的傳統(tǒng)解,消去了時間t也就是消去了天體的歷史和將來,二體問題的傳統(tǒng)解即天體運(yùn)動的圓錐截線,只是Euclid幾何空間中不隨時間變化的圓錐截線,它把天體約束在這條曲線上面,我們把這個傳統(tǒng)解稱為幾何解,幾何解不能全面地、真實(shí)地描述天體的實(shí)際運(yùn)動,根據(jù)引電統(tǒng)一理論,在(2.14)式和(2.9)式中隱藏時間因子,根據(jù)引電統(tǒng)一理論,天體引力場可以近似地看成平面匯源場和虛旋渦場,其速度場強(qiáng)度等于.八'v=2H(3.1)17.1H稱Hubble系數(shù),太陽系中H之10s.二體問題有關(guān)物

19、理量應(yīng)該參加時間因子,如軌道長半軸at等于at=a0exp(-Ht)(3.2)天體運(yùn)動周期1等于(3.3),3一、t=0exp(-Ht)2二體問題的傳統(tǒng)解(2.14)式和(2.9)式應(yīng)該修改為Pn一.rtexp(-Ht)(3.4)(3.5)1ecosiHh2r,一1其中,h=ht=hnexp(-Ht)(3.4)式和(3.5)式正是二體問題與時間有關(guān)的解,由(3.5)式可以看出天體單位質(zhì)量角動量h=h不是運(yùn)動常量.3.2二體問題與時間相關(guān)的解為了完整地描述天體真實(shí)運(yùn)動,必須尋求二體問題的與時間有關(guān)的解根據(jù)?伯力克物理教程?第一卷?力學(xué)?(第402頁)高級課題介紹,不用解微分方程,同樣可以得出上述結(jié)論.具體表達(dá)如下二體問題偏心率e是運(yùn)動常數(shù),e等于JPrG.Lm2r(3.6)上式中,r是矢徑,J是運(yùn)動天體角動量,P是運(yùn)動天體動量,G是引力常數(shù),N是系統(tǒng)約化質(zhì)量,m是運(yùn)動天體質(zhì)量.將(3.6)式乘以r,得出=；rcos?JPrG-m2j2卜2r(1-cos?)=p()Gm2Gpr=(1Cos)(3.7)上式是圓錐截線數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)形式.而(2.14)式與(3.7)式分母中偏心率W差一個負(fù)號.這是由于兩式e選取方向相反.2在上面推導(dǎo)過程中,并沒有要求運(yùn)動天體單位質(zhì)量的角動量h=r6等于常量,將(3.5)1式h=hne