知識講解導數(shù)的計算基礎(chǔ)

1、導數(shù)的計算【學習目標】1.牢記幾個常用函數(shù)的導數(shù)公式，并掌握其推導過程。2 .熟記八個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，并能準確運用。3 .能熟練運用四則運算的求導法則，4 .理解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，掌握求復合函數(shù)的求導法則：”由外及內(nèi), 層層求導”.【要點梳理】知識點一：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1) f(x) C (C 為常數(shù))，f'(x) 0(2) f(x) xn (n為有理數(shù))，f'(x) n xn .(8) f (x) log a x, f '(x) Togae 。x(3) f (x) sin x , f'(x) cosx(4) f (x) cosx, f'

2、;(x) sin x(5) f(x) ex, f '(x) ex(6) f (x) ax, f '(x) ax In a1(7) f (x) ln x , f '(x) 一x要點詮釋:1 .常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0,即C/ =0 （C為常數(shù)）.其幾何意義是曲線f（x） C （C為常 數(shù)）在任意點處的切線平行于x軸.2 .有理數(shù)幕函數(shù)的導數(shù)等于幕指數(shù) n與自變量的（n1）次幕的乘積，即（xn） nxn 1有時也把（log ax）' loga e 記作：（log a x）' xx ln a以上常見函數(shù)的求導公式不需要證明，只需記住公式即可.知識點二：函數(shù)的和、差、

3、積、商的導數(shù)運算法則：(1)和差的導數(shù):f(x) g(x)'f'(x) g'(x)(2)積的導數(shù)：f(x) g(x)' f '(x)g(x) f(x)g'(x) （nC Q）.一， 1特別地1 x(G)'12 ,x3 .正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù)，即（sin x）/ =cos x.4 .余弦函數(shù)的導數(shù)等于負的正弦函數(shù)，即（cos x）/ = sin x.5 .指數(shù)函數(shù)的導數(shù)：（ax）' axina, （ex）' ex.6 .對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：（log a x）' 1logae, （ln x）'-. xx(3)

4、商的導數(shù)：工區(qū) g(x)f'(x) g(x) f(x) g'(x)g(x)2(g(x) 0)要點詮釋:1 .上述法則也可以簡記為:(i)和(或差)的導數(shù)：(u v) u' v',推廣：(u1 u2 UI un) u'1 u'2 1M u'n .(ii)積的導數(shù)：(u v)' u'v uv',特別地：(cu)' cu' (c為常數(shù)).(iii)商的導數(shù)：u ' u'v2uv'(v 0), v v兩函數(shù)商的求導法則的特例f(x) , f '(x)g(x) f(x)g

5、9;(x)g(x)g2(x)(g(x) 0),當f(x) 1時,1, 1' g(x) 1 g'(x)g(x)g2(x)這是一個函數(shù)倒數(shù)的求導法則.2 .兩函數(shù)積與商求導公式的說明u'v uv'2v(VW0),注意差異，加以區(qū)分./C、遼 u , u' 口 u , u 'v uv'(2)注意： '一且'2 (vw0).v v' v v3.求導運算的技巧在求導數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導前利用代數(shù)或三 角包等變形可將函數(shù)先化簡(可能化去了商或積)，然后進行求導，可避免使用積、商 的求導法則，減少

6、運算量.知識點三：復合函數(shù)的求導法則1 .復合函數(shù)的概念對于函數(shù)y f (x),令u (x),則y f(u)是中間變量u的函數(shù)，u (x)是自變 量x的函數(shù)，則函數(shù)y f (x)是自變量x的復合函數(shù).要點詮釋：常把u (x)稱為“內(nèi)層”，y f(u)稱為“外層”。2 .復合函數(shù)的導數(shù)設(shè)函數(shù)u (x)在點x處可導，u'x '(x),函數(shù)y f(u)在點x的對應點u處也可導 y'u f '(u),則復合函數(shù)y f (x)在點x處可導，并且y'x y'u u'x ,或?qū)懽?f'x (x) f'(u)'(x).3 .掌握復

7、合函數(shù)的求導方法(2)各層求導：對內(nèi)層u(1)分層：將復合函數(shù)y f (x)分出內(nèi)層、外層。(x),外層y f(u)分別求導。得到 (x), f'(u)(3)求積并回代：求出兩導數(shù)的積：f'(u) '(x),然后將u用(x)替換，即可得到y(tǒng) f (x)的導數(shù)。要點詮釋：1.整個過程可簡記為分層一一求導一一回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。2.選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關(guān)鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導,不遺漏。求導后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)?！镜湫屠}】類型一：求簡單初等函數(shù)的導數(shù)例1.求下列函數(shù)的導數(shù)： x3 4

8、(3)Vx (4) y sinx (5) ln x x【解析】(1) (x3)' =3x31=3x2;1 . o .。(2) () =(x 2) =-2x 2 1=-2x 3x111二 11 11(x) (x ) x x222, x y' (sinx)' cosx ；，_、1(5) y' (In x)' ； x【點評】(1)用導數(shù)的定義求導是求導數(shù)的基本方法，但運算較繁。利用常用函數(shù)的導數(shù) 公式，可以簡化求導過程，降低運算難度。(2)準確記憶公式。(3)根式、分式求導時，先將根式、分式轉(zhuǎn)化為幕的形式。舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y = -1

9、3-(2)y = Tx(3) y=2x33x2+5x + 4x(4) y log 2 x2 10g 2 x；1(1) y =(-3-) =(x 3) =-3x 3 1=-3x 4 x11 .一 1 一 1(2y (3 x)(x3)-x331x2 332(3) y' 2(x )' 3(x )' 5(x)'_ 2_(4)' 6x 6x 52(4) - y log 2 x 1og2x 1og2x, . y' (log 2x)'1x In 2類型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)例2. 求下列函數(shù)導數(shù):(1) y= 3x2+ xcosx;(2)y=

10、； (3)y= lgx ex; (4) y= ex tanx.1 x x 1(1)y=6x+cosx xsinx.(2)y =r 2.(3)y = (lgx)(e)=-e.(1 x) (1 x)xln10x' x.e(4)y = e tanx+ 2.cos x【點評】(1)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和靈活運用導數(shù)的四則運算法則，是求導函數(shù)的前 提。(2)先化簡冉求導，是化難為易，化繁為簡的基本原則和策略。舉一反三：【變式11函數(shù)y (x 1)2(x 1)在x 1處的導數(shù)等于()A. 1B. 2 C. 3 D. 4【答案】D法一： y' (x 1)2'(x 1) (x 1

11、)2(x 1)'y'|x 1 4.法二：V y (x 1)2(x 1) (x2 1)(x 1) x3 x2 x 1.32_ 2_.y (x )' (x )' x' 1' 3x 2x 1 y'lxi 4.【變式2】求下列各函數(shù)的導函數(shù)(1) y=(x+1)(x+2)(x+3)。(2) y=x2sinx;xy=7cosx sin x(1) . y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,=3x2+12x+11。y'(3) y=(x2) ' sinx+ x2 (sinx) ' =2xsinx+x2cosx

12、(x cosx) (x sin x) (x cosx)(x sin x)2(x sin x)(1 sin x)(x sin x) (x cosx)(1 cosx)(x sin x)2xcosx xsin x sin x cosx 1z2(x sinx)【變式3】求下列函數(shù)的導數(shù).(1)=(2 x2-5 x +1) ex;(6 1). 1)；(3)_ sinx xcosxcosx xsin x【答案】(1) y'=(2 x2-5 x +1)' ex+(2 x2 5 x +1)(ex)'二(4 x -5) ex + (2 x25 x +1) ex=(2x2 x 4) ex(

13、2) y(G 1311212xx22y'2(cos x x sin x)(sin x x cos x)' (cosx +x sin x)(sin x x cosx) (cox+ x sin x)'1=2 (cos x cos x + x sin x) (cos x(cosx x sin x)+ x sin x) (sin xx cosx) (x cosx)2 , 2.22xsin xcosx x sin x xsin xcosx x cos x-/、2(cos x xsin x)cosx xsin x類型三:求復合函數(shù)的導數(shù)例3求下列函數(shù)的導數(shù):(D y -(1 3x)

14、4(2) y cos(3x ); 62(3) y ln(2x 3x 1);【解析】(1)設(shè)廠1-3x, y 4,則y'x y45(3)12(1 3x)5(2)設(shè) 3x , y=cosp,則y'x y' 'x sin 3 3sin(3x ) o(3)設(shè) u 2x2 3x 1,則u' 4x 3, y'u In u ln(2x2 3x 1) 【點評】把一部分量或式子暫時當作一個整體，這個整體就是中間變量。求導數(shù)時需要記 住中間變量，注意逐層求導，不能遺漏。求導數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函 數(shù)。舉一反三：【變式】 求下列函數(shù)導數(shù).(1) y ln(

15、x 2)；(2) y e2x1;(3) y cos(2x2 1).【答案】(1) y In u , u x 2 y'x yu u'x(inu)(x2)(2)y eu , u 2x 1. y'x yu u'x (eu)(2x1)2eu2e2x 1(3)2 . y x y u u x (cos u) (2x1)24xsinu 4xsin(2x 1).求下列函數(shù)導數(shù).y (12x2)8;(2) yx1(3) y sin 2(2x ) 3(2) y'_ 21 2x ,y(x .1x2) x , 1(1x2)2252 x 1 2xx :rx2 "rx20

16、(3)設(shè) y 2, p=sinv, v2x 一，則3在熟練掌握復合函數(shù)求導以后，可省略中間步驟:(1)復合函數(shù)求導數(shù)的步驟是:分清復合關(guān)系，適當選定中間變量，正確分解復合關(guān)系(簡稱分解復合關(guān)系)分層求導，弄清每一步中哪個變量對哪個變量求導數(shù)(簡稱分層求導)；將中間變量代回為自變量的函數(shù)。簡記為分解一一求導一一回代，當省加重中間步驟后，就沒有回代這一步了， 即分解(復合關(guān)系)一一求導(導數(shù)相乘)。(2)同一個問題可有多種不同的求導方法，若能化簡的式子，則先化簡，再求導。舉一反三：【變式1】 求y =sin4x +cos 4x的導數(shù).【答案】解法一 y =sin 4x +cos 4x= (sin2

17、x +coSx)2 2sin2co4x= 1- - sin22 x= 1 1 (1cos 4x) = 3 + 1 cos 4x. v' = sin 4 x.444解法二 y' =(sin4x)' + (cos4x)' =4 sin3x(sin x)' +4 cos3x (cosx)'=4 sin3x cos x +4 cos3x ( sin x)=4 sin x cosx (sin2x cos2x)=2 sin 2 x cos 2x= sin 4 x【變式2】求下列函數(shù)導數(shù):2x(2).求函數(shù)cosx2sin x2的導數(shù)sin x0)。設(shè) u=1

18、 2x2,貝 U4x)2(132x2)已4x)2x(1 2x2)2x _ O(1 2x2). 1 2x2(2).方法一：y'c cosx22-sin xcosx , 2cos x.22sin x sin x2, 2(cos x) 'sin x cosx(sin x)'sin2cos x(, 32.、sin x 2cos x sin x)sin 6x2cos x.3- sin x34cos x_._50 sin x方法二：: y2cos x_ 4-， sin xy'(cos2 x)'sin 4cos2 x(sin4 x)'.8sin x2cos x

19、( sin x)sin 4 x23cos x 4sin xcosx一 8sin x2cos x3- sin x34cos x_._50 sin x類型四：利用導數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例 5(1) f (x)3 ax3x21) 4 ,則a的值為(B.133C,坦3(2)設(shè)函數(shù)f (x)cos(、3x)(0),若f(x) f'(x)是奇函數(shù),【解析】 (1) f '(x) 3ax2 6x ,_10 f'( 1) 3a 6 4, . a ,故選 A。3(2)由于 f'(x)>/3sin(x/3x),f(x) f '(x) cos(>/3x)點sin(J3x) 2sin V3x-,65右 f(x) f'(x)是奇函數(shù)，則 f(0) f