數(shù)值微分 計(jì)算方法

1、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分 在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到某函數(shù)在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到某函數(shù)f f( (x x) ) 是是用表格用表格表示的表示的, ,用通常的導(dǎo)數(shù)定義無法求導(dǎo)用通常的導(dǎo)數(shù)定義無法求導(dǎo), ,因此要尋求其他因此要尋求其他方法近似求導(dǎo)。常用的數(shù)值微分方法有方法近似求導(dǎo)。常用的數(shù)值微分方法有: :一一. . 運(yùn)用差商求數(shù)值微分運(yùn)用差商求數(shù)值微分2 2運(yùn)用插值函數(shù)求數(shù)值微分運(yùn)用插值函數(shù)求數(shù)值微分三三. . 運(yùn)用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分運(yùn)用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分四四. . 運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分?jǐn)?shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析一一. .

2、 運(yùn)用差商求數(shù)值微分運(yùn)用差商求數(shù)值微分最簡單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商最簡單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商. .可可用用差差商商來來逼逼近近導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)充充分分小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),hhhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfxiihiihiihii)2()2(lim)()(lim)()(lim)( ,000 處處在在點(diǎn)點(diǎn)根根據(jù)據(jù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1()()():.iiiiiiiif xf xhffxhhffffx 稱稱為為 在在 點(diǎn)點(diǎn)的的一一一一階階階階向向后后差差商商式式向向后后差差分分公公1()()():.iiiiiiiif xhf xffxhhffff

3、x 稱稱為為 在在 點(diǎn)點(diǎn)的的一一一一階階階階向向前前差差商商式式向向前前差差分分公公1122()()2:2().iiiiiiiihhfxfxffxhhffffx 一一 階階 中中 心心稱稱 為為在在的的 一一 階階 中中差差 商商 公公心心 差差 分分式式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析11112222()( )( )()( )( )()()()iiiiiiiiiiiiffffxO hO hhhffffxO hO hhhffffxO hO hhh 一一階階向向前前差差商商公公式式一一階階向向后后差差商商公公式式一一階階中中心心差差商商公公式式利用利用Taylor展開可導(dǎo)出數(shù)值微分公式并估計(jì)誤差

4、展開可導(dǎo)出數(shù)值微分公式并估計(jì)誤差.()()()( )2iiif xhf xhfxfh 得得一一階階向向前前差差商商公公式式2( )()()()( )2iiiif xxhTaylorhf xhf xfx hf 對(duì)對(duì)在在點(diǎn)點(diǎn) 以以 為為增增量量作作展展開開有有證證明明: :數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析一階導(dǎo)數(shù)的三點(diǎn)公式一階導(dǎo)數(shù)的三點(diǎn)公式：2121( 34)()2iiiiffffO hh 證明證明: :231232( )2()(1)242()(2)2iiiiiiiiif xxhhTaylorhffhffO hhffhffO h 將將在在點(diǎn)點(diǎn) 處處分分別別以以增增量量 和和作作展展開開，有有412

5、if 由由 （ ）（ ）可可消消去去可可得得到到三三點(diǎn)點(diǎn)公公式式同樣的方法可以得到其它的三點(diǎn)公式是：同樣的方法可以得到其它的三點(diǎn)公式是：21222121()()21(43)()2iiiiiiifffO hhffffO hh 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析22211222()()()iiiiifffffxO hO hhh 二二階階中中心心差差商商公公式式211221111:()()()():(12)iiiiiiiiiiifffffffffff 證證驗(yàn)驗(yàn)證證明明23342334( )11()()()()()()23!11()()()()()()(223!iiiiiiiiiiif xxhTaylo

6、rf xhf xfx hfx hfx hO hf xhf xfx hfx hfx hO h （ ）（ ）對(duì)對(duì)在在點(diǎn)點(diǎn) 以以 為為增增量量作作展展開開有有)(2)(2211 2hOhfffxfhiiii 得得：兩兩式式相相加加除除以以數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析二、運(yùn)用插值函數(shù)求數(shù)值微分二、運(yùn)用插值函數(shù)求數(shù)值微分baxxLxfnxnnfn )()()(1)1()!1()(設(shè)設(shè)Ln(x)是是f(x)的過點(diǎn)的過點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的的 n 次插值多項(xiàng)式，由次插值多項(xiàng)式，由Lagrange插值余項(xiàng)插值余項(xiàng),有對(duì)任意給有對(duì)任意給定的定的x a，b，總存在，總存在如下關(guān)系式如下關(guān)系式

7、:若取數(shù)值微分公式若取數(shù)值微分公式)()(xLxfn 誤差為誤差為: :)!1()()()()!1()()()()() 1(11) 1( ndxdxxnxLxfxRxnnnxnnffn 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析(1)(1)10( )( )()()()()()(1)!(1)!nnniiniininiikkk iRxfxL xxxxnnff (1)1(1)1()( ),(1)!()()0,(1)!nxnxnxnidxdxndxdxnff 中中是是未未知知的的 其其誤誤差差不不能能估估計(jì)計(jì)注注意意到到在在插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處此此時(shí)時(shí)的的余余項(xiàng)項(xiàng)為為因此插值型求導(dǎo)公式常用于求節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值因此

8、插值型求導(dǎo)公式常用于求節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值0110101()( )( )() ( )0,1,.,)()( )()()()()kknkkkknkkkninikkikxxxxxf xL xf x lxxxlxixxxxnxxxxx 稱為稱為n+1點(diǎn)求導(dǎo)公式點(diǎn)求導(dǎo)公式。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析常用的數(shù)值微分公式是常用的數(shù)值微分公式是 n n = 1 ,2 = 1 ,2 的插值型微分公式的插值型微分公式. .當(dāng)當(dāng)n n=1=1時(shí)時(shí), ,有有1 , 0)(!2)()()()(2)2(11 ixxLxfxRiiiiif 1 , 0)()()()(01011 ixxxfxfxLxfii1000011112

9、010()()()()(1)2()()()()(2)21(2)hxxf xhf xhfxfhf xf xhhfxfhxx 令令（ ）稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)的的向向前前差差商商公公式式，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)的的向向后后差差商商公公式式。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析例例1 設(shè)設(shè)f(x)=lnx，x0=1.8，用，用2點(diǎn)公式計(jì)算點(diǎn)公式計(jì)算f(x0)。0222( )(),221.81.81.81.8(1.8)(1.8)(1.8)(1.8)2(1.8)2(1.8)0.10.54067220.01543210.57158410.01730100.010.55401800.00154320.55710450.001560

10、50.0010.5554hfhfxhhfhfhffhhhhhh 計(jì)計(jì)算算的的誤誤差差為為這這里里或或列列表表計(jì)計(jì)算算如如下下：解解：.0130.00015430.555709930.0001545(1.8)0.555f 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),有有2 , 1 , 0)()(61)(2)()(2)()(2)()()(61)()()(20)3(12021022101201201021020)3(20 ixxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxxfxlxfxfikkkiiiiiikkkiiikkki 當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，即有當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，即有 x1=x0+h,

11、 x2= x0+2h, h0,上述公式可簡化為上述公式可簡化為 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2002012)3(221021)3(20210)3(22100,2,)(32)(3)(4)()()(62)()()()(32)()(4)(3)(xxhxxhxxfhhxfxfxfxffhhxfxfxffhhxfxfxfxfi 這這里里有時(shí)，也將有時(shí)，也將xi統(tǒng)一表為統(tǒng)一表為x0,將上述公式寫成如下形式將上述公式寫成如下形式2(3)000002(3)00012(3)00002003()4()(2 )()()(3)23()()()()(4)26(2 )4()3()()()(5)23,0,1,2.(3)

12、 (4) (5)3if xf xhf xhhfxfhf xhf xhhfxfhf xhf xhf xhfxfhxhxh i 、 、 稱稱為為 點(diǎn)點(diǎn)公公式式。n=2時(shí)，計(jì)算時(shí)，計(jì)算f(x0)的誤差是的誤差是O(h2),且（且（4）的誤差最小。的誤差最小。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2(3)000002(3)00012(3)000023()4()(2 )()()(3)23()()()()(4)26(2 )4()3()()()(5)23fxfxhfxhhfxfhfxhfxhhfxfhfxhfxhfxhfxfh 例例2 設(shè)設(shè)f(x)=xex，x0=2，用，用3點(diǎn)公式計(jì)算點(diǎn)公式計(jì)算f(x0)。211

13、13450.122.03231022.22879022.0545250.222.4141636.16101.35101.13102.4710()(1),(2)22.167168xhfxxef 公公式式（ ）公公式式（ ）公公式式（ ）誤誤差差()1.810.8893651.912.7031992.014.7781122.117.1489572.219.855030 xfx數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析由（由（6），）， f(2) 22.166996，誤差為：，誤差為：1.6910-4公式公式(4)計(jì)算計(jì)算f(2)較準(zhǔn)確。較準(zhǔn)確。用用5點(diǎn)公式計(jì)算點(diǎn)公式計(jì)算f(2) ：當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)時(shí),可得到可得

14、到5點(diǎn)公式點(diǎn)公式：000004(5)00(2 )8 ()8 ()(2 )()12()(6),22 ,030f xhf xhf xhf xhfxhhfxhxhh 中點(diǎn)求導(dǎo)公式：中點(diǎn)求導(dǎo)公式：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析00004(5)00200001() 25()48()36(2 )1216(3 )3(4 )()(7)54 ,04,0fxf xf xhf xhhhf xhf xhfxxhhxhxh 端端點(diǎn)點(diǎn)求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式：計(jì)計(jì)算算左左端端點(diǎn)點(diǎn)：，計(jì)計(jì)算算右右端端點(diǎn)點(diǎn)：5 5點(diǎn)公式計(jì)算點(diǎn)公式計(jì)算f f(x x0 0) )的誤差是的誤差是O(O(h h4 4), ),且中點(diǎn)公式且中點(diǎn)公式（6

15、6）的誤差小于端點(diǎn)公式（）的誤差小于端點(diǎn)公式（7 7）。）。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 在構(gòu)造數(shù)值微分公式時(shí)，不僅要考慮公式的截?cái)嘣跇?gòu)造數(shù)值微分公式時(shí)，不僅要考慮公式的截?cái)嗾`差，而且還要考慮公式的舍入誤差。誤差，而且還要考慮公式的舍入誤差。2(3)0001()()()()(4)26f xhf xhhfxfh 考考察察公公式式：000000()()()()()()f xhf xhe xhf xhf xhe xh 設(shè)設(shè)000002(3)1(4)()()()()()22()6f xhf xhe xhe xhfxhhhf 則則式式為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析計(jì)算計(jì)算f f ( (x x0

16、 0) )的總誤差是：的總誤差是：2(3)000001()()()()()( )226f xhf xhe xhe xhhf xfhh 從截?cái)嗾`差從截?cái)嗾`差 ( (h h2 2/6)/6)f f(3)(3)( (1 1）的角度看，的角度看，h h 越小誤差越小。越小誤差越小。但從舍入誤差的角度看，但從舍入誤差的角度看，h h不能太小。不能太小。誤差界為：誤差界為：e e( (h h)=)=e e/ /h h +( +(h h2 2/6)M, /6)M, 這里這里 e e=max=maxe e( (x x0 0h h) ) ,M= max ,M= max f f(3)(3)( (x x) )例例3

17、 設(shè)設(shè) f(x)=sin x ，計(jì)算，計(jì)算f(0.900)=cos0.900的近似值。的近似值。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析解：利用公式解：利用公式(0.900)(0.900)(0.900)2fhfhfh 計(jì)算。計(jì)算。(0.900)0.0010.625000.003390.0020.622500.000890.0050.622000.000390.0100.621500.000110.0200.621500.000110.0500.621400.000210.1000.620550.00106hf 近近 似似誤誤 差差數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析三三. . 運(yùn)用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分運(yùn)

18、用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分 用三轉(zhuǎn)角方程和三彎矩方程可以分別求出在節(jié)用三轉(zhuǎn)角方程和三彎矩方程可以分別求出在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)點(diǎn)處函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的近似值的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的近似值.(0,1, )(0,1, )iiiifminfMin 四四. . 運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分( )( )( )( )( )( )( )( )xxyf xF xF xfxf xxRf xf xF t dt 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)是是，即即，則則可可將將函函數(shù)數(shù)用用定定積積分分的的形形式式表表示示出出來來，對(duì)對(duì)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析111111,()()( )(1,2,1)kkkkxkkxxxxxf xf xF t dtkn 取取，得得到到11113( )( )2()()kkkkxxxkxF t dtF t dthF xO h 若若對(duì)對(duì)積積分分用用中中矩矩形形公公式式計(jì)計(jì)算算，即即得到得到311211()()2()()()()()()()2kkkkkkkf xf xhF xO hf xf xF xfxO hh 11,kkxx 這這就就是是在在上上用用中中心心差差商商構(gòu)構(gòu)造造的的數(shù)