線性系統(tǒng)第4章

1、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個基本能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個基本特性，對于系統(tǒng)控制和系統(tǒng)估計問題的研究具有重要作用。特性，對于系統(tǒng)控制和系統(tǒng)估計問題的研究具有重要作用。 uxy從物理直觀性看，從物理直觀性看，能控性研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)能控性研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)“是否可由輸入影響是否可由輸入影響”的問題；的問題；能觀測性研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)能觀測性研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)“是否可由輸出反映是否可由輸出反映”的問題。的問題。第第4章章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章定義定義:線

2、性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)(A,B,C)，對任意給定的一個初始狀態(tài)，對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在如果在t1 t0的有限時間區(qū)間的有限時間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個無約束的控制矢內(nèi)，存在一個無約束的控制矢量量u(t)，使，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。控的。系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 s1s12) 0 (1x1xy1x ) 0(2x2x2x u4.1 能控性和能觀測性的定義能控性和

3、能觀測性的定義線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章 使系統(tǒng)狀態(tài)由使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀，則稱非零狀態(tài)態(tài)x0在在t0時刻為時刻為能控能控。 能控性，能達(dá)性定義能控性，能達(dá)性定義 對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) JtutBxtAx,)()(如果存在一個時刻如果存在一個時刻 011,ttJt以及一個無約束的容許控制以及一個無約束的容許控制u(t) ,10ttt 如果存在一個時刻如果存在一個時刻t1J,t1t0,以及一個無約束的容許控制以及一個無約束的容許控制u(t)，tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到x(t1)=

4、xf0,則稱非零狀態(tài)則稱非零狀態(tài)xf在在t0時刻為時刻為能達(dá)能達(dá)。 對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價；對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價；對離散時間系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價；對離散時間系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價；對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價。對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價。 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章定義：定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) JtutBxtAx,)()(和指定初始時刻和指定初始時刻t0J，如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一，如果狀態(tài)空間中存在一個非

5、零狀態(tài)或一個非空狀態(tài)集合在時刻個非空狀態(tài)集合在時刻t0J為不能控為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為為不完全能控不完全能控/能達(dá)能達(dá)。 定義定義：若系統(tǒng)的能控：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時刻能達(dá)性與初始時刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時刻在任意初始時刻t0J均為完全能控均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全一致完全能控能控/能達(dá)能達(dá)。定義定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) JtutBxtAx,)()(和指定初始時刻和指定初始時刻t0J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0J都為能控都為能控

6、/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為為完全能控完全能控/能達(dá)能達(dá)。 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章能觀測性定義能觀測性定義對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻t0J,如果存在一個時刻如果存在一個時刻t1J，t1t0，使系統(tǒng)以，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即恒為零，即y(t)0，tt0,t1，則稱非零狀態(tài)，則稱非零狀態(tài)x0在時刻在時刻t0為不能觀測；為不能觀測；如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0都不為不能觀測，則稱系都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻統(tǒng)在時刻t0為為完全能觀

7、測完全能觀測；如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為為不完全能觀測不完全能觀測；如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測一致完全能觀測。 s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章一一. GRAM. GRAM（格拉姆）矩陣判據(jù)（格拉姆）矩陣判據(jù) 證：證： 充分性：若充分性：若 非奇異，則

8、系統(tǒng)應(yīng)完全能控。非奇異，則系統(tǒng)應(yīng)完全能控。 , 01tWc對于任一非零初始狀態(tài)對于任一非零初始狀態(tài) 構(gòu)造一個控制構(gòu)造一個控制 0 x)t (u, 0, 0)()(1011TttxtWBetucAt，在在 作用下，系統(tǒng)在時刻作用下，系統(tǒng)在時刻 的狀態(tài)的狀態(tài) 為：為： )t (u1t)(1tx000t,x)( x,BuAxx 為完全能控的充分必要條件為：存在時刻為完全能控的充分必要條件為：存在時刻 使如下定義的使如下定義的GRAMGRAM矩陣矩陣 01t10T1)(, 0tAtAtcdtBeBetW為非奇異。為非奇異。 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng): :4.2 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)連續(xù)時

9、間線性時不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章00011xexeAtAt1110)(01)()(tttAAtdttBuexetx1110011T)(0, 0)(tcAtttAAtdtxtWBeBexe1110011T0, 0)(tcAtAtAtAtxtWdtBeBeexe01110, 0, 011xtWtWexeccAtAt則表明對于任一初始狀態(tài)則表明對于任一初始狀態(tài) ，總存在控制，總存在控制 ，在時刻，在時刻 ，使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到 ，即系統(tǒng)是完全能控的，充分性得證。，即系統(tǒng)是完全能控的，充分性得證。 00 x)(tu1t0)(1tx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第

10、第4章章必要性：若系統(tǒng)應(yīng)完全能控，則必要性：若系統(tǒng)應(yīng)完全能控，則 非奇異。非奇異。 , 01tWc采用反證法，反設(shè)系統(tǒng)應(yīng)完全能控，但采用反證法，反設(shè)系統(tǒng)應(yīng)完全能控，但 奇異。奇異。 , 01tWc由于由于 奇異，故存在某個非零狀態(tài)奇異，故存在某個非零狀態(tài) ，使，使 , 01tWc0 x0, 001T0 xtWxc成立。因此有成立。因此有： 100TT001T0)(, 0tAtAtcxdtBeBexxtWx100TT0)(tAtAtdtxBeBex1TT00TT0TttAtAdtxeBxeB0100dtxeBttATT線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章因此有：因此有： 00TTxeBtA, 0

11、1tt由于系統(tǒng)完全能控，故存在控制使系統(tǒng)由非零初始狀態(tài)由于系統(tǒng)完全能控，故存在控制使系統(tǒng)由非零初始狀態(tài) ，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)移到零，即移到零，即 0 x111111000010tAtAtAtt)tt (AAtdt) t (Bueexedt) t (Buexe)t ( x故有：故有： 100tAtdt)t (Buex0)()(|1T100TT0T00T00ttAtAtdtxeBtuxdttBuexxx可得：可得：00 x，這與，這與 的假設(shè)矛盾，故反設(shè)不成立；的假設(shè)矛盾，故反設(shè)不成立；00 x這與這與 的假設(shè)矛盾，故反設(shè)不成立，即的假設(shè)矛盾，故反設(shè)不成立，即 奇異。奇異。00 x, 01tWc必要性得證。必

12、要性得證。 得證。得證。 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章二二. . 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性時不變系統(tǒng)完全能控的充要條件是矩陣線性時不變系統(tǒng)完全能控的充要條件是矩陣 1ncQB ABAB的秩的秩rankQc=n。其中，。其中，n為系統(tǒng)矩陣為系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)。的維數(shù)。 證：充分性：若證：充分性：若rankQc=n，則系統(tǒng)完全能控，則系統(tǒng)完全能控 反設(shè)反設(shè)rankQc=n，系統(tǒng)不完全能控。，系統(tǒng)不完全能控。 根據(jù)根據(jù)GRAMGRAM矩陣判據(jù)矩陣判據(jù), ,有有 奇異。因此存在一個非零的奇異。因此存在一個非零的n維向量維向量, 01tWc使使 0, 01TtWc即即 0110TTT0TTttdtBeB

13、edtBeBeAtAtAtAt線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章故故 0TBeAt, 01tt對上式求導(dǎo)直至對上式求導(dǎo)直至n1 1次，可得次，可得 , 0TBeAt, 0TBAeAt0) 1(1T1BeAAtnn令令t=0=0，可得，可得 , 0BT, 0 ABT0) 1(11BAnTn01BAABBnT故故 ,0TcQ由于由于 為非零向量，故為非零向量，故Qc行向量線性相關(guān)，即行向量線性相關(guān)，即rank rank Qc n，這與，這與已知矛盾，故系統(tǒng)完全能控，充分性得證。已知矛盾，故系統(tǒng)完全能控，充分性得證。 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章必要性：若系統(tǒng)完全能控，則必要性：若系統(tǒng)完全

14、能控，則rank Qc =n 反設(shè)系統(tǒng)完全能控，但反設(shè)系統(tǒng)完全能控，但rankQcn 由于由于rankQct0，,使使 ntMtMtMrankn)(,),(),(1111102. 2. 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章例例. . 設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：uxtx10000判斷系統(tǒng)的能控性。判斷系統(tǒng)的能控性。10)()(0tBtM00010000)()()()(001tttMtMtAtM010)()()(10ttMtMtM;)(det(ttM故當(dāng)故當(dāng) 時時 ，系統(tǒng)完全能控。，系統(tǒng)完全能控。0t2)(trankM解：解：線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第

15、第4章章1. GRAM1. GRAM矩陣判據(jù)矩陣判據(jù) 在時刻在時刻 為完全能觀的充要條件為，存在一個有限時刻為完全能觀的充要條件為，存在一個有限時刻 ，使如下定義的使如下定義的GRAMGRAM矩陣：矩陣： 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng) xtCyJttxtxxtAx)(,)()(00001tt 0t10),()()(),(,0010ttTTodttttCtCttttW為非奇異。為非奇異。 二二. . 能觀性判據(jù)能觀性判據(jù) 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章n 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對對t為為n-1階連續(xù)可微，定義階連續(xù)可微，定義 則系統(tǒng)在時刻則系統(tǒng)在時刻

16、t0J完全能觀測的一個完全能觀測的一個充分條件充分條件為，存在一個為，存在一個有限時刻有限時刻t1J，t1t0，,使使 )()()()()()()()()(2210010tNdtdtAtNNtNdtdtAtNtNtCtNnnnntNtNtNrankn)()()(1111102.2.秩判據(jù)秩判據(jù) 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章例例. . 設(shè)線性時變系統(tǒng)的設(shè)線性時變系統(tǒng)的 為：為：2000001)(ttttA判斷系統(tǒng)的能觀性。判斷系統(tǒng)的能觀性。)()(tCtA、101)(tC解：解：101)()(0tCtN220011000000001101)()()()(ttttttNtAtNtN線性系統(tǒng)

17、理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章故故422102211101)()()()(tttttttNtNtNtN4221122212010000011)()()()(tttttttttttNtAtNtN只要只要 ，故系統(tǒng)完全能觀。，故系統(tǒng)完全能觀。3, 0rankNt有線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義定義 離散時間線性時變系統(tǒng)離散時間線性時變系統(tǒng) kJkkukHkXkGkX)()()()() 1(如果對初始時刻如果對初始時刻hJk 和任意非零初始狀態(tài)和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時刻都存在時刻lJk,lh和對應(yīng)輸入和對應(yīng)輸入u(k),

18、使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻lJk達(dá)到達(dá)到原點，即有原點，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時刻則稱系統(tǒng)在時刻h完全能控完全能控； 如果對初始時刻如果對初始時刻h和任意非零狀態(tài)和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時刻，都存在時刻lJk,lh和對應(yīng)和對應(yīng)輸入輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運動在時刻出發(fā)的系統(tǒng)運動在時刻lJk達(dá)到達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時刻，則稱系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)完全能達(dá)。結(jié)論結(jié)論1 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)的充分必要條件完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻為，存在時刻lJk,lh，使格蘭

19、姆矩陣，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkTTcklkHkHkllhW為非奇異為非奇異 4.5 離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性判據(jù)離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性判據(jù)線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有對所有 kh,l-1 非奇異，則離散時間非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能控的充分必要條件為，存在時完全能控的充分必要條件為，存在時刻刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkTTcklkHkHkllhW為非奇異為非奇異 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G(k)對一個

20、或一些對一個或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻為系統(tǒng)在時刻h完全能控的一個充分條件。完全能控的一個充分條件。 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G(k) 對所有對所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價。達(dá)性等價。 若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價。散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章時不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)時不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù) 結(jié)論結(jié)論3 離散時間線性時不變系統(tǒng)離散時間線性時不變系統(tǒng) )

21、()() 1(kHukGXkX系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣，使格蘭姆矩陣 10)(, 0lkkTTkcGHHGlW為非奇異。為非奇異。若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時刻時刻l 0，使格蘭姆矩陣，使格蘭姆矩陣10)(, 0lkkTTkcGHHGlW為非奇異。為非奇異。若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。的充分條件。 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論4 n維離散時

22、間線性時不變系統(tǒng)維離散時間線性時不變系統(tǒng) )()() 1(kHukGXkX系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣 HGGHHQnkc1,滿秩。滿秩。 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為 rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G奇異，奇異，rankQkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論5 對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時，可構(gòu)造如下一組輸入控制時，可構(gòu)造如下一組輸

23、入控制 0121,) 1() 1 ()0(XhGhGhGnuuun則系統(tǒng)必可在則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點，通常稱這組控制為最小拍控制。間原點，通常稱這組控制為最小拍控制。 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價。和能達(dá)性等價。 若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價。時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章例：設(shè)單輸入線性離

24、散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為例：設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )(101)(011220001) 1(kukxkx試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使，確定使x(3)=0的控制序列的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究；研究x(2)=0的可能性。的可能性。 解解 33112201112kckcrankQhGGhhQ系統(tǒng)是能控的系統(tǒng)是能控的 )2(101) 1 (121)0(3214122)2()2()3(uuuhuGxx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章令令0)3(x8115)2() 1 ()0(4122)2() 1 ()0(101121

25、321uuuuuu若令若令0)2(x062) 1 ()0(101121uu無解。即不存在控制序列無解。即不存在控制序列u(0)，u(1)能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到x(2)=0。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)結(jié)論結(jié)論6 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能觀測的充分完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻必要條件為，存在一個離散時刻lJk,l h,使格蘭姆矩陣使格蘭姆矩陣 10),()()(),(),(lhkTThkkCkChklhW為非奇異為非奇異 時不變系統(tǒng)的能觀

26、測性判據(jù)時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) 結(jié)論結(jié)論7 離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻存在一個離散時刻l0,使格蘭姆矩陣使格蘭姆矩陣 100)(, 0lkkTkTCGCGlW為非奇異為非奇異 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論8 n 維離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為維離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為 1nokCGCGCQ滿秩滿秩 結(jié)論結(jié)論9 若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)步輸出

27、值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài) ) 1() 1 ()0(110nyyycGcGcXn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章定義：定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) XtcYutBXtAX)()()(其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)TTTTTTTTtBtCtA)()()(其中，狀態(tài)其中，狀態(tài)X為為n維行向量，協(xié)狀態(tài)維行向量，協(xié)狀態(tài)為為n維行向量維行向量 輸入輸入u為為p維列向量，輸入維列向量，輸入為為q 維行向量維行向量 輸出輸出Y為為q維列向量，輸出維列向量，輸出為為p 維行向量維行向量 結(jié)論結(jié)論10 :原構(gòu)系統(tǒng)的狀

28、態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣原構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ),(0tt與對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ),(0ttd之間滿足如下關(guān)系之間滿足如下關(guān)系 ),(),(00ttttTd4.6 對偶性對偶性線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論11 設(shè)設(shè)為原構(gòu)線性系統(tǒng)為原構(gòu)線性系統(tǒng), d為對偶線性系統(tǒng)為對偶線性系統(tǒng),則有則有 完全能控完全能控 d 完全能觀測完全能觀測 完全能觀測完全能觀測 d 完全能控完全能控 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。異變換下保持不變。定義定義

29、 一個單輸入系統(tǒng)，如果其一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式：陣具有如下形式： 10001000010000101210baaaaAn則系統(tǒng)一定能控。這種形式的則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形 4.8 能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形情形 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章結(jié)論結(jié)論：對完全能控：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cXybuAXX:0111)det(asasasAsInnn則通過變換矩陣則通過變換矩陣 11112132121nnnnaaaaaabbAbAP線

30、性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即由可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即由XPX1導(dǎo)出導(dǎo)出 XcyubXAXccc11011010010ncaaaAPPA1001bPbc110,nccPccbabcAabcAcbabcAabcAcbacAbcbnnnnnnnnn1211023121121其中其中 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章 nnnnAeAeAeAeeeeeAAPAP121121證明：（證明：（1 1）推導(dǎo)）推導(dǎo) AnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnneaeabaAbAbAeeaebabaAbabAbaAbAAeeaebabaAbabAabAba

31、AbabAabAAAeeababaAbabAabAbaAbabAabAAAe11112222121111112211233122000111122111)()()()()()()(線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章由此：由此： 110110121112110121101010102nnnnnnnnnnnnnaaaPaaaeeeeeaeeaeeaeeaAeAeAeAeAPn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章由此：由此： 1101010naaaA由由 ，可得：，可得： bPb1(2) (2) 推導(dǎo)推導(dǎo) b10010021PeeeebbPnn100b故故 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章（3

32、 3）推導(dǎo)）推導(dǎo) C11012132121111nnnnnaaaaaabbAbACCPC)baAbabAabA(Cnnn122110Cb)baAb(C)baAbabAabA(Cnnnnnn112233121線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章例例. .試將下列狀態(tài)空間表達(dá)式試將下列狀態(tài)空間表達(dá)式 xyuxx100112020113021變換為可控標(biāo)準(zhǔn)型。變換為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 解：解： 判別系統(tǒng)的可控性判別系統(tǒng)的可控性122186116422bAAbbQc3crankQ故系統(tǒng)是可控的。故系統(tǒng)是可控的。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章故有：故有：092100010100010210aaaA計算系

33、統(tǒng)的特征多項式：計算系統(tǒng)的特征多項式： 29)det(3ssAsI即：即： 0, 9, 2210aaa100b123109010001121216824161001010012122aaabAbbACCPC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章定義定義 一個單輸出系統(tǒng)，如果其一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式：陣具有如下形式： 10001000100010001210caaaaAn則系統(tǒng)一定能觀測，此時的則系統(tǒng)一定能觀測，此時的A、c陣稱為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形陣稱為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 結(jié)論結(jié)論：對完全能觀測的：對完全能觀測的n 維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀

34、測規(guī)范形可基于線性非奇異變換變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換 QXX 導(dǎo)出導(dǎo)出 XcyubXAX000線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章其中其中1110011010nQAQA1100nQbb10010cQcccAcAcAaaaaaaQnnnn211231211000100101線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章系統(tǒng)按能控性分解系統(tǒng)按能控性分解 設(shè)不能控系統(tǒng)的動態(tài)方程為設(shè)不能控系統(tǒng)的動態(tài)方程為 CxyBuAxx其能控性矩陣的秩為其能控性矩陣的秩為 rn，選出其中，選出其中r個線性無關(guān)列，再加任意個線性無關(guān)列，再加任意n-r個列，構(gòu)成非奇異變換個列，構(gòu)成非奇異變換T-1 CCxxxx

35、Tx1xCyuBxAx2111221211100CCCTCBTBBAAATATA其中其中 4.10 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解導(dǎo)出導(dǎo)出 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章即，經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為即，經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為 CCCCCCxxCCyuBxxAAAxx21122121100于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為： CCCCxCyuBxAxAx1111211不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 CCCxCyxAx2222線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 第第4章章111100341010121cbA試按能控性進行規(guī)范分解試按能控性進行規(guī)范分解 解解 328310004102 rankbAAbbrank