我所認(rèn)識(shí)的均布?jí)毫ψ饔孟碌暮癖趫A筒的彈塑性分析

1、我所認(rèn)識(shí)的均布?jí)毫ψ饔孟碌暮癖趫A筒的彈塑性分析 一 背景簡介何謂均布?jí)毫ο碌暮癖趫A筒指的是忽略其他力系，只考慮圓筒壓力和溫度載荷，且壓力在各個(gè)點(diǎn)平均分布，并且圓筒的外直徑與內(nèi)直徑之比常大于1.11.2。在化學(xué)工程和反應(yīng)堆工程等工程實(shí)際中，由于承受高溫高壓，某些設(shè)備的器壁厚度較大。例如，合成氨、合成甲醇、合成尿素、油類加氫及壓水反應(yīng)堆等工程中使用的容器。二 問題描述 內(nèi)半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒，在外表面處作用有均勻壓力p（如圖1（a），圓筒材料為理想彈塑性的（如圖1（b）。隨著壓力p的增加，圓筒內(nèi)的及都不斷增加，若圓筒處于平面應(yīng)變狀態(tài)下，其也在增加。當(dāng)應(yīng)力分量的組合達(dá)到某一臨界值時(shí)，該處材

2、料進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，并逐漸形成塑性區(qū)，隨著壓力的繼續(xù)增加，塑性區(qū)不斷擴(kuò)大，彈性區(qū)相應(yīng)減小，直至圓筒的截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)即為圓筒的塑性極限狀態(tài)。當(dāng)圓筒達(dá)到塑性極限狀態(tài)時(shí)，其外壓達(dá)到最大值，即載荷不能繼續(xù)增加，而圓筒的變形也處于無約束變形狀態(tài)下，即變形是個(gè)不定值，或者說瞬時(shí)變形速度無窮大。為了使討論的問題得以簡化，本文中限定討論軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題，并設(shè)。 （a） （b）圖1 厚壁圓筒三 彈性分析1.基本方程平面軸對(duì)稱問題中的未知量為，u，它們應(yīng)該滿足基本方程及相應(yīng)的邊界條件，其中平衡方程為 （1）幾何方程為 ， （2）本構(gòu)方程為 （3）邊界條件為 ，在力的邊界上 （4） 2.應(yīng)力的求解取應(yīng)力分

3、量，為基本未知函數(shù)，利用平衡方程和以應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程聯(lián)立求解，可以求得應(yīng)力分量的表達(dá)式為 （5）如圖1（a）所示內(nèi)半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒，在外表面處受外壓p，內(nèi)表面沒有壓力，相應(yīng)的邊界條件為 ，將以上邊界條件代入式（5），則可以求得兩個(gè)常數(shù)為 ， 則應(yīng)力分量為 （6）上式和彈性常數(shù)無關(guān)，因而適用于兩類平面問題。四 彈塑性分析1. 屈服條件在塑性理論中，常用的屈服條件是米澤斯（Mises）屈服條件，其表達(dá)式為： （7）由于厚壁圓筒為軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題，則有，即，均為主應(yīng)力，且由以及，可以得到，代入Mises屈服條件其表達(dá)式為 （8） 2彈塑性分析當(dāng)壓力p較小時(shí)，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)

4、，由式（6）可求出應(yīng)力分量 （9）在處有最大值，即筒體由內(nèi)壁開始屈服，若此時(shí)的壓力為，由式（8）和（9）可以求得彈性極限壓力為 （10）當(dāng)時(shí)，圓筒處于彈性狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，在圓筒內(nèi)壁附近出現(xiàn)塑性區(qū)，并且隨著壓力的增大，塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)展，而外壁附近仍然為彈性區(qū)。由于應(yīng)力組合的軸對(duì)稱性，塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界面為圓柱面。設(shè)筒體處于彈塑性狀態(tài)下的壓力為，彈塑性分界半徑為，分別考慮兩個(gè)變形區(qū)（圖2），也可將兩個(gè)區(qū)域按兩個(gè)厚壁圓筒分別進(jìn)行討論，設(shè)彈性區(qū)和塑性區(qū)的相互作用力為，即。圖2 彈塑性分析為求彈性區(qū)的應(yīng)力分量，將彈性區(qū)作為內(nèi)半徑為，外半徑為b，承受外壓，內(nèi)壓的厚壁圓筒。由圓筒的彈性分析公式可以求得彈性區(qū)

5、（）的應(yīng)力分量為 （11）為求解塑性區(qū)的應(yīng)力分量，將彈性區(qū)作為內(nèi)半徑為a，外半徑為，承受外壓的厚壁圓筒。應(yīng)滿足平衡方程和屈服條件，即 由上面兩式可得 由于在r=處壓力為，即，代入可得，代入表達(dá)式，并利用屈服條件求得，即塑性區(qū)（）的應(yīng)力分量為 （12）上式（11）和（12）中的和是未知量，由徑向應(yīng)力邊界條件確定他們之間的關(guān)系。在塑性區(qū)的r=a處壓力為0，即，代入式（12）的第一式可得 （13）在彈性區(qū)的r=處剛達(dá)到屈服，由屈服條件可得 （14）上式給出了，當(dāng)給定可以確定，或者給定后也可以確定。 將式（13）、（14）確定的代入式（11）、（12），則可以得到表示的彈性區(qū)（）和塑性區(qū)（）的應(yīng)力分量。 （15） （16）隨著壓力的增加，塑性區(qū)不斷擴(kuò)大，當(dāng)=b時(shí)，整個(gè)截面進(jìn)入塑性狀態(tài)，即圓筒達(dá)到塑性極限狀態(tài)，此時(shí)的壓力不能繼續(xù)增加，該臨界值稱為塑性極限壓力，以表示。將=b代入式（14），得 （17）令式（16）中的=b，則得壓力達(dá)到時(shí)的應(yīng)力分量，此時(shí)整個(gè)截面進(jìn)入塑性狀態(tài)。 （18）取，則由式（10）、（13）、（14）、（17）可得， （19）將式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在、作用下的應(yīng)力分布如圖3所示。（a）作用下的應(yīng)力分布（b）作用下的應(yīng)力分布（c）作用下的