第三章-晶體定向和晶體學符號

1、晶體學晶體學基礎(chǔ)基礎(chǔ)第三章第三章 晶體定向和晶體學符號晶體定向和晶體學符號 Chapter Outline 晶胞選取原則晶胞選取原則 晶體學坐標系晶體學坐標系 各晶系的定向方法各晶系的定向方法 原子坐標原子坐標 晶向指數(shù)晶向指數(shù) 晶面指數(shù)晶面指數(shù) 晶帶指數(shù)晶帶指數(shù) 晶面間距與晶面夾角晶面間距與晶面夾角) 反應點陣的對稱性；）平行六面體內(nèi)的棱和角相等的數(shù)目應最多；）棱與棱之間直角的數(shù)目應最多；）包含陣點的點數(shù)最少。 空間點陣按照平行六面體劃分為許多形狀和大小相同的網(wǎng)格，此平行六面體稱為點陣晶胞或單元晶胞（Unit cell）。選取晶胞的原則：選取晶胞的原則： 三個基矢構(gòu)成的平行六面體稱為初基晶胞

2、。三個基矢構(gòu)成的平行六面體稱為初基晶胞。初基晶胞包含一個陣點，只在平行六面體頂初基晶胞包含一個陣點，只在平行六面體頂角上有陣點。角上有陣點。 點陣晶胞和結(jié)構(gòu)晶胞都稱為晶胞。點陣晶胞和結(jié)構(gòu)晶胞都稱為晶胞。點陣晶胞的結(jié)點代表空間點陣中的陣點位置。點陣晶胞的結(jié)點代表空間點陣中的陣點位置。 結(jié)構(gòu)晶胞的結(jié)點代表晶體中原子所在的位置。結(jié)構(gòu)晶胞的結(jié)點代表晶體中原子所在的位置。復雜晶胞：除在頂角外，在復雜晶胞：除在頂角外，在體心、面心或底心上有陣點體心、面心或底心上有陣點。晶胞的兩個要素確定空間結(jié)構(gòu)晶胞的兩個要素確定空間結(jié)構(gòu) (2) 各個原子的位置，由原子坐標表示。各個原子的位置，由原子坐標表示。(1) 大小

3、和形狀，由大小和形狀，由6個點陣常數(shù)個點陣常數(shù)a, b, c以及夾角以及夾角, , 確定；確定；建立坐標系，簡單明確地描述晶體中平面（晶面）、直線建立坐標系，簡單明確地描述晶體中平面（晶面）、直線（晶棱及晶列）的空間方位。為研究晶體的結(jié)構(gòu)特性提供（晶棱及晶列）的空間方位。為研究晶體的結(jié)構(gòu)特性提供定量標記。定量標記。晶體的定向：晶體的定向： 在晶體中設(shè)置符合晶體對稱特征或與晶體點陣參數(shù)一在晶體中設(shè)置符合晶體對稱特征或與晶體點陣參數(shù)一致的坐標系，并將晶體按相應的空間取向關(guān)系進行安置。致的坐標系，并將晶體按相應的空間取向關(guān)系進行安置。晶體中平行直線簇晶體中平行直線簇 晶列晶列晶體定向的目的：晶體定向

4、的目的：3.1 3.1 晶體學坐標系晶體學坐標系晶體定向的幾個基本概念晶體定向的幾個基本概念（2）軸角軸角：兩個結(jié)晶軸：兩個結(jié)晶軸正向正向之夾角。用之夾角。用a a，b b，g g 表示。表示。 （1）結(jié)晶軸結(jié)晶軸：晶體坐標系中的：晶體坐標系中的坐標軸，需滿足晶體對稱性特坐標軸，需滿足晶體對稱性特征。征。用用x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸或或X X軸、軸、Y Y軸、軸、Z Z軸軸表示。表示。（3）軸單位軸單位：晶體坐標系中結(jié)晶軸的長度單位。：晶體坐標系中結(jié)晶軸的長度單位。是相應是相應晶體點陣中平行于晶軸的行列上相鄰節(jié)點間距。晶體點陣中平行于晶軸的行列上相鄰節(jié)點間距。用用a, b, c分

5、分別表示別表示x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸的軸單位。的軸單位。（4）軸率軸率：結(jié)晶軸的軸單位之連比。用：結(jié)晶軸的軸單位之連比。用a:b:c 表示。表示。（5）晶體幾何常數(shù)晶體幾何常數(shù)：軸率：軸率a:b:c和軸角和軸角a a，b b，g g的合稱。表的合稱。表示晶體坐標系特征的一組參數(shù)，用以區(qū)分不同的晶系。示晶體坐標系特征的一組參數(shù)，用以區(qū)分不同的晶系。晶體定向的幾個基本概念晶體定向的幾個基本概念三軸定向三軸定向（Millers orientation） 可用于所有晶系?？捎糜谒芯?。選擇三個不共面的坐標選擇三個不共面的坐標軸軸 x, y, z安置晶體。安置晶體。3.2 3.2 各晶

6、系的定向方法各晶系的定向方法 適用適用于六方晶系。于六方晶系。 (why?)一個直立軸，三個水平軸。一個直立軸，三個水平軸。四軸定向（四軸定向（BravaisBravais orientation orientation）1.1.等軸晶系定向等軸晶系定向Yl三個互相垂直的三個互相垂直的L4, Li4或或L2為為 x, y, z 軸；軸；lz 軸直立，軸直立，y 軸左右水軸左右水平，平，x 軸前后水平。軸前后水平。l如此定向完全符合等如此定向完全符合等軸晶系幾何常數(shù)的特軸晶系幾何常數(shù)的特征，選軸原則。征，選軸原則。a = b = c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = b b = g g = 9

7、0 2. 四方晶系晶體定向四方晶系晶體定向唯一的唯一的L4或或Li4為為 z 軸軸; 相互垂直的相互垂直的L2, 或相互或相互垂直的對稱面法線垂直的對稱面法線, 或適當?shù)木Ю鉃榛蜻m當?shù)木Ю鉃?x, y 軸；軸； z 軸直立，軸直立， y 軸左右水平，軸左右水平，x 軸前后水平。軸前后水平。a = b c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = b b = g g = 90 3. 正交（斜方）晶系晶體定向正交（斜方）晶系晶體定向l三個相互垂直的三個相互垂直的L2為為 z, x, y 軸軸; 或或L2為為z軸軸, 相互垂直的對稱面法線為相互垂直的對稱面法線為 x, y 軸軸lz 軸直立，軸直立， y

8、軸左右水平，軸左右水平，x 軸前后水平軸前后水平a b c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = b b = g g = 90 4. 單斜晶系晶體定向單斜晶系晶體定向L2為為 y 軸軸; 或?qū)ΨQ面法線為或?qū)ΨQ面法線為 y 軸；軸； x 軸和軸和z軸只能軸只能選擇適當?shù)木Ю夥较?。選擇適當?shù)木Ю夥较?。z 軸起立，軸起立， y 軸左右水平，軸左右水平， x 軸前后向前下傾斜；軸前后向前下傾斜；a b c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = g g = 90 b b 90 5. 5. 三斜晶系晶體定向三斜晶系晶體定向晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: a a b b g g 90 , a b c 沒有合適的對稱元素

9、可供沒有合適的對稱元素可供選擇作為結(jié)晶軸。只有選擇選擇作為結(jié)晶軸。只有選擇3個適當大的晶棱方向，即個適當大的晶棱方向，即選擇選擇3個相互間夾角接近于個相互間夾角接近于90度的晶棱方向作為結(jié)晶軸。度的晶棱方向作為結(jié)晶軸。二、晶體的四軸定向二、晶體的四軸定向-六方晶系晶體定向六方晶系晶體定向選擇唯一的高次軸作為直立結(jié)晶軸選擇唯一的高次軸作為直立結(jié)晶軸c軸，在垂直軸，在垂直 z 軸的平面內(nèi)選擇三個相同的、即互成軸的平面內(nèi)選擇三個相同的、即互成120交交角的角的L2或或P的法線，或適當?shù)娘@著晶棱方向作為的法線，或適當?shù)娘@著晶棱方向作為水平結(jié)晶軸，即水平結(jié)晶軸，即x 軸、軸、 y 軸以及軸以及 d 軸軸

10、(u軸軸)。晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: a a = b b = 90, g g =120, a = b c六方晶系四軸定向水平軸的安置六方晶系四軸定向水平軸的安置 以以晶胞基矢晶胞基矢為單位矢量建為單位矢量建立晶體學坐標系，以立晶體學坐標系，以晶胞基晶胞基矢長度矢長度為單位，以數(shù)字表示為單位，以數(shù)字表示晶胞中原子中心所處的位置。晶胞中原子中心所處的位置。體心立方晶胞體心立方晶胞 面心立方晶胞面心立方晶胞原子坐標原子坐標 也可以將原子的位置投影到晶胞底面上，以數(shù)字也可以將原子的位置投影到晶胞底面上，以數(shù)字標明原子的高度；標明原子的高度； 原子坐標常在立方晶系的晶胞中使用。原子坐標常在立方晶系的晶胞中

11、使用。 在晶體中作一簇在晶體中作一簇平行的直線，這些平平行的直線，這些平行直線可以將所有的行直線可以將所有的格點包括無遺；格點包括無遺；平行直線簇平行直線簇 晶列晶列一、晶向符號：晶向指數(shù)一、晶向符號：晶向指數(shù)3.4 3.4 晶體學符號晶體學符號 在一個平面里，相鄰晶列之間的距離相等在一個平面里，相鄰晶列之間的距離相等 每一簇晶列定義了一個方向每一簇晶列定義了一個方向 晶向晶向晶向的標志晶向的標志-晶向指數(shù)晶向指數(shù)取某一原子為原點取某一原子為原點O O，晶胞的三個基矢晶胞的三個基矢321,aaa 沿晶向到沿晶向到最近的一個格點最近的一個格點的位矢的位矢321awavauwvu, 一組整數(shù)一組整

12、數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)wvu 對于單胞，也有類對于單胞，也有類似的晶向指數(shù)似的晶向指數(shù)三軸定向：三軸定向： 一種表示晶體中面和方一種表示晶體中面和方向的符號，密氏指數(shù)（英向的符號，密氏指數(shù)（英晶體學家晶體學家Miller,1939Miller,1939）。）。1233ARaaa1223ARaa晶向指數(shù)晶向指數(shù)311晶向指數(shù)晶向指數(shù)2301 1）確定坐標系，）確定坐標系，過原點作平行過原點作平行于欲求晶向的于欲求晶向的直線直線；2 2）求該直線上任一點的）求該直線上任一點的坐標坐標（a a，b b，c c）；）；3 3）將此）將此3 3個坐標值個坐標值化成最小整數(shù)化成最小整數(shù) u u，v v，w w

13、；4 4）加以）加以方括號方括號，即，即u v wu v w。 確定晶向指數(shù)確定晶向指數(shù)4步驟步驟簡單立方晶格的晶向標志簡單立方晶格的晶向標志 立方邊立方邊OA的晶向的晶向100100,001,010010,001,100立方邊共有立方邊共有6個不同的晶向個不同的晶向晶向族代表由對稱性聯(lián)系的一系列等同晶向晶向族代表由對稱性聯(lián)系的一系列等同晶向的組合。的組合。100, 010, 001, 100, 010, 001 :晶向族晶向族面對角線面對角線OB的晶向的晶向 面對角線晶向面對角線晶向 共有共有12個個 110體對角線體對角線OC的晶向的晶向111體對角線晶向共有體對角線晶向共有8個個 在晶體

14、中作一簇平行的平面，這些相互平行、等在晶體中作一簇平行的平面，這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點包括無遺。間距的平面可以將所有的格點包括無遺。 這些相互平行的平面稱為晶體的晶面這些相互平行的平面稱為晶體的晶面二、晶面符號：晶面指數(shù)二、晶面符號：晶面指數(shù)取某一原子為原點取某一原子為原點O O，晶胞的三個基矢晶胞的三個基矢123,a aa為坐標系的三個軸不一定相互正交；為坐標系的三個軸不一定相互正交； 晶格中一族的晶面不僅平行，并且相鄰晶面之間的距晶格中一族的晶面不僅平行，并且相鄰晶面之間的距離相等。離相等。 一族晶面必包含了一族晶面必包含了所有格點而無遺漏。所有格點而無遺漏。晶面的標志晶

15、面的標志-晶面指數(shù)晶面指數(shù) 設(shè)設(shè)末端上的格點分別落在離原點的距離末端上的格點分別落在離原點的距離321,aaa的晶面上的晶面上ldkdhd, 最靠近原點的晶面最靠近原點的晶面 在坐標軸上的截距。在坐標軸上的截距。lakaha321, 整數(shù)整數(shù)lkh, 晶面間距晶面間距d的倒數(shù)是晶面族中最靠近原點的晶面的截距；的倒數(shù)是晶面族中最靠近原點的晶面的截距；lkh, 以單胞的基矢為參考，以單胞的基矢為參考，所得出的晶面的密勒指數(shù)，所得出的晶面的密勒指數(shù)，有著重要的意義。有著重要的意義。)100()010()111( 同族中其它晶面的截距是同族中其它晶面的截距是 的整數(shù)倍的整數(shù)倍lakaha321,)(l

16、kh密勒指數(shù)密勒指數(shù) 標記這個晶面系標記這個晶面系 如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直線作為如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直線作為坐標軸，則晶體上任意兩晶面在三個坐標軸上的對應坐標軸，則晶體上任意兩晶面在三個坐標軸上的對應截距的系數(shù)之比為簡單整數(shù)比。其倒數(shù)之比即為晶面截距的系數(shù)之比為簡單整數(shù)比。其倒數(shù)之比即為晶面指數(shù)，也是小的整數(shù)。指數(shù)，也是小的整數(shù)。整數(shù)定律（有理指數(shù)定律）整數(shù)定律（有理指數(shù)定律） 采用整數(shù)定律證明晶面指數(shù)都是小的整數(shù)。采用整數(shù)定律證明晶面指數(shù)都是小的整數(shù)。1 1）以各晶軸點陣常數(shù)為單位，求）以各晶軸點陣常數(shù)為單位，求 晶面與三晶軸的晶面與三晶軸的截距截距m, n,

17、 p;m, n, p;2 2）取截距之）取截距之倒數(shù)倒數(shù)；3 3）化為）化為最小整數(shù)最小整數(shù)h h，k k，l l；4 4）加以）加以圓括號圓括號，即（，即（h k lh k l）。）。 確定晶面指數(shù)確定晶面指數(shù)4 4步驟步驟晶面指數(shù)晶面指數(shù)（Indices of Crystallographic PlaneIndices of Crystallographic Plane）a/2a/2a/2a/23 3/ /4 4c立方晶格的幾種主要晶面標記立方晶格的幾種主要晶面標記 用 h k l 表示對稱性聯(lián)系的一組晶面，稱為晶面族Family of planes.110: (110), (110),

18、(110), (110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011) 晶面族晶面族xyz（100）（010）（001）)100(面等效的晶面數(shù)分別為：面等效的晶面數(shù)分別為：3 3個個100表示為表示為)110(面等效的晶面數(shù)分別為：面等效的晶面數(shù)分別為：6 6個個110表示為表示為)111(面等效的晶面數(shù)分別為：面等效的晶面數(shù)分別為：4 4個個111表示為表示為 符號相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表符號相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面時才有意義面時才有意義, , 在晶體內(nèi)部這些面都是等效的在晶體內(nèi)部這些面都是等效的。不考

19、慮符號相反的晶面，則不考慮符號相反的晶面，則 六方系的單胞不能六方系的單胞不能反映點陣的對稱性反映點陣的對稱性; ;六方晶系指數(shù)及標定六方晶系指數(shù)及標定(100)(110) 三個單胞拼成一個六三個單胞拼成一個六面柱體來研究。面柱體來研究。(100)(110)六方晶系指數(shù)及標定六方晶系指數(shù)及標定密氏指數(shù)：密氏指數(shù)：120 3軸坐標系（軸坐標系（a1, a2, c） 缺點缺點：同一晶面族或晶向族，其指數(shù)不類似。：同一晶面族或晶向族，其指數(shù)不類似。 如，如，(100)和和(110)屬于同一晶面族，屬于同一晶面族， 100和和110屬屬于同一晶向族，但是從其指數(shù)上看不出來。于同一晶向族，但是從其指數(shù)上

20、看不出來。 由六方系對稱性可看出，很難從三軸坐標指數(shù)找出由六方系對稱性可看出，很難從三軸坐標指數(shù)找出等價面指數(shù)間的規(guī)律性。等價面指數(shù)間的規(guī)律性。 采用采用4軸坐標系（軸坐標系（a1, a2, a3, c) 。 a1, a2, a3, 軸共面，軸間夾角軸共面，軸間夾角120度，垂直度，垂直C軸軸; 晶面指數(shù)（晶面指數(shù)（h k i l ) 求法與密氏指數(shù)相同；求法與密氏指數(shù)相同； 任一平面的任一平面的a1, a2, a3晶面指數(shù)關(guān)系：晶面指數(shù)關(guān)系：i= -( h+k )六方晶系指數(shù)及標定六方晶系指數(shù)及標定密布氏晶面指數(shù)：密布氏晶面指數(shù)：同一晶面族具有類似的指數(shù)。同一晶面族具有類似的指數(shù)。1010:

21、 (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100) 120 120 增加條件，增加條件， ，則只有一個指數(shù)，則只有一個指數(shù)，而且同一晶向族具有類似指數(shù)。而且同一晶向族具有類似指數(shù)。-5/2, -1, 7/2, 0，晶向指數(shù)為，晶向指數(shù)為5270 4軸坐標系若按軸坐標系若按3軸坐標求法，同一晶軸坐標求法，同一晶向則有無數(shù)個不同指數(shù)。向則有無數(shù)個不同指數(shù)。4 4軸坐標晶向指數(shù)軸坐標晶向指數(shù) u v t w t= -( u+v )OA+OB=-5/2+(-1)=-7/2=-OCOA+OB+OC=3/2 OPOP在在a1, a2, a3軸的垂直投影軸的垂直投影

22、OA, OB, OC430：4300 1030t= -( u+v )滿足：滿足：求密布氏指數(shù)首先求出晶向上任一結(jié)點求密布氏指數(shù)首先求出晶向上任一結(jié)點在四軸的垂直投影；在四軸的垂直投影；然后將前然后將前3個指數(shù)分別乘以個指數(shù)分別乘以2/3；再和第四個數(shù)值化為最小整數(shù)即為密布再和第四個數(shù)值化為最小整數(shù)即為密布氏指數(shù)。氏指數(shù)。還可以證明：還可以證明：四軸定向：四軸定向：wtvu0tvu四軸定向坐標系的晶面指數(shù)：四軸定向坐標系的晶面指數(shù)：）（l ikh0ikh三、晶帶與晶帶符號三、晶帶與晶帶符號晶帶：晶帶：彼此間相交的彼此間相交的晶列相互平行的（交線平行晶列相互平行的（交線平行的）晶面族的）晶面族的集合，即平行的集合，即平行或相交或相交于同一晶列的于同一晶列的晶面族的總稱。晶面族的總稱。 晶帶符號：晶帶符號：用晶帶軸表示，用晶帶軸表示， 晶帶晶帶晶帶軸晶帶軸晶帶中與晶面交線平行的直線，平行于晶帶晶帶中與晶面交線平行的直線，平行于晶帶中所有的晶面。中所有的晶面。晶帶定律：晶帶定律：任一屬于任一屬于u v w晶帶的晶面晶帶的晶面（h k l）（共（共帶面），必有帶面），必有( (晶帶方程晶帶方程) )：wvu這些晶面稱為共帶面。這些晶面