第三章-晶體定向和晶體學(xué)符號(hào)

1、晶體學(xué)晶體學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)第三章第三章 晶體定向和晶體學(xué)符號(hào)晶體定向和晶體學(xué)符號(hào) Chapter Outline 晶胞選取原則晶胞選取原則 晶體學(xué)坐標(biāo)系晶體學(xué)坐標(biāo)系 各晶系的定向方法各晶系的定向方法 原子坐標(biāo)原子坐標(biāo) 晶向指數(shù)晶向指數(shù) 晶面指數(shù)晶面指數(shù) 晶帶指數(shù)晶帶指數(shù) 晶面間距與晶面夾角晶面間距與晶面夾角) 反應(yīng)點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性；）平行六面體內(nèi)的棱和角相等的數(shù)目應(yīng)最多；）棱與棱之間直角的數(shù)目應(yīng)最多；）包含陣點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)最少。 空間點(diǎn)陣按照平行六面體劃分為許多形狀和大小相同的網(wǎng)格，此平行六面體稱(chēng)為點(diǎn)陣晶胞或單元晶胞（Unit cell）。選取晶胞的原則：選取晶胞的原則： 三個(gè)基矢構(gòu)成的平行六面體稱(chēng)為初基晶胞

2、。三個(gè)基矢構(gòu)成的平行六面體稱(chēng)為初基晶胞。初基晶胞包含一個(gè)陣點(diǎn)，只在平行六面體頂初基晶胞包含一個(gè)陣點(diǎn)，只在平行六面體頂角上有陣點(diǎn)。角上有陣點(diǎn)。 點(diǎn)陣晶胞和結(jié)構(gòu)晶胞都稱(chēng)為晶胞。點(diǎn)陣晶胞和結(jié)構(gòu)晶胞都稱(chēng)為晶胞。點(diǎn)陣晶胞的結(jié)點(diǎn)代表空間點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)位置。點(diǎn)陣晶胞的結(jié)點(diǎn)代表空間點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)位置。 結(jié)構(gòu)晶胞的結(jié)點(diǎn)代表晶體中原子所在的位置。結(jié)構(gòu)晶胞的結(jié)點(diǎn)代表晶體中原子所在的位置。復(fù)雜晶胞：除在頂角外，在復(fù)雜晶胞：除在頂角外，在體心、面心或底心上有陣點(diǎn)體心、面心或底心上有陣點(diǎn)。晶胞的兩個(gè)要素確定空間結(jié)構(gòu)晶胞的兩個(gè)要素確定空間結(jié)構(gòu) (2) 各個(gè)原子的位置，由原子坐標(biāo)表示。各個(gè)原子的位置，由原子坐標(biāo)表示。(1) 大小

3、和形狀，由大小和形狀，由6個(gè)點(diǎn)陣常數(shù)個(gè)點(diǎn)陣常數(shù)a, b, c以及夾角以及夾角, , 確定；確定；建立坐標(biāo)系，簡(jiǎn)單明確地描述晶體中平面（晶面）、直線建立坐標(biāo)系，簡(jiǎn)單明確地描述晶體中平面（晶面）、直線（晶棱及晶列）的空間方位。為研究晶體的結(jié)構(gòu)特性提供（晶棱及晶列）的空間方位。為研究晶體的結(jié)構(gòu)特性提供定量標(biāo)記。定量標(biāo)記。晶體的定向：晶體的定向： 在晶體中設(shè)置符合晶體對(duì)稱(chēng)特征或與晶體點(diǎn)陣參數(shù)一在晶體中設(shè)置符合晶體對(duì)稱(chēng)特征或與晶體點(diǎn)陣參數(shù)一致的坐標(biāo)系，并將晶體按相應(yīng)的空間取向關(guān)系進(jìn)行安置。致的坐標(biāo)系，并將晶體按相應(yīng)的空間取向關(guān)系進(jìn)行安置。晶體中平行直線簇晶體中平行直線簇 晶列晶列晶體定向的目的：晶體定向

4、的目的：3.1 3.1 晶體學(xué)坐標(biāo)系晶體學(xué)坐標(biāo)系晶體定向的幾個(gè)基本概念晶體定向的幾個(gè)基本概念（2）軸角軸角：兩個(gè)結(jié)晶軸：兩個(gè)結(jié)晶軸正向正向之夾角。用之夾角。用a a，b b，g g 表示。表示。 （1）結(jié)晶軸結(jié)晶軸：晶體坐標(biāo)系中的：晶體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸，需滿(mǎn)足晶體對(duì)稱(chēng)性特坐標(biāo)軸，需滿(mǎn)足晶體對(duì)稱(chēng)性特征。征。用用x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸或或X X軸、軸、Y Y軸、軸、Z Z軸軸表示。表示。（3）軸單位軸單位：晶體坐標(biāo)系中結(jié)晶軸的長(zhǎng)度單位。：晶體坐標(biāo)系中結(jié)晶軸的長(zhǎng)度單位。是相應(yīng)是相應(yīng)晶體點(diǎn)陣中平行于晶軸的行列上相鄰節(jié)點(diǎn)間距。晶體點(diǎn)陣中平行于晶軸的行列上相鄰節(jié)點(diǎn)間距。用用a, b, c分

5、分別表示別表示x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸的軸單位。的軸單位。（4）軸率軸率：結(jié)晶軸的軸單位之連比。用：結(jié)晶軸的軸單位之連比。用a:b:c 表示。表示。（5）晶體幾何常數(shù)晶體幾何常數(shù)：軸率：軸率a:b:c和軸角和軸角a a，b b，g g的合稱(chēng)。表的合稱(chēng)。表示晶體坐標(biāo)系特征的一組參數(shù)，用以區(qū)分不同的晶系。示晶體坐標(biāo)系特征的一組參數(shù)，用以區(qū)分不同的晶系。晶體定向的幾個(gè)基本概念晶體定向的幾個(gè)基本概念三軸定向三軸定向（Millers orientation） 可用于所有晶系?？捎糜谒芯?。選擇三個(gè)不共面的坐標(biāo)選擇三個(gè)不共面的坐標(biāo)軸軸 x, y, z安置晶體。安置晶體。3.2 3.2 各晶

6、系的定向方法各晶系的定向方法 適用適用于六方晶系。于六方晶系。 (why?)一個(gè)直立軸，三個(gè)水平軸。一個(gè)直立軸，三個(gè)水平軸。四軸定向（四軸定向（BravaisBravais orientation orientation）1.1.等軸晶系定向等軸晶系定向Yl三個(gè)互相垂直的三個(gè)互相垂直的L4, Li4或或L2為為 x, y, z 軸；軸；lz 軸直立，軸直立，y 軸左右水軸左右水平，平，x 軸前后水平。軸前后水平。l如此定向完全符合等如此定向完全符合等軸晶系幾何常數(shù)的特軸晶系幾何常數(shù)的特征，選軸原則。征，選軸原則。a = b = c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = b b = g g = 9

7、0 2. 四方晶系晶體定向四方晶系晶體定向唯一的唯一的L4或或Li4為為 z 軸軸; 相互垂直的相互垂直的L2, 或相互或相互垂直的對(duì)稱(chēng)面法線垂直的對(duì)稱(chēng)面法線, 或適當(dāng)?shù)木Ю鉃榛蜻m當(dāng)?shù)木Ю鉃?x, y 軸；軸； z 軸直立，軸直立， y 軸左右水平，軸左右水平，x 軸前后水平。軸前后水平。a = b c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = b b = g g = 90 3. 正交（斜方）晶系晶體定向正交（斜方）晶系晶體定向l三個(gè)相互垂直的三個(gè)相互垂直的L2為為 z, x, y 軸軸; 或或L2為為z軸軸, 相互垂直的對(duì)稱(chēng)面法線為相互垂直的對(duì)稱(chēng)面法線為 x, y 軸軸lz 軸直立，軸直立， y

8、軸左右水平，軸左右水平，x 軸前后水平軸前后水平a b c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = b b = g g = 90 4. 單斜晶系晶體定向單斜晶系晶體定向L2為為 y 軸軸; 或?qū)ΨQ(chēng)面法線為或?qū)ΨQ(chēng)面法線為 y 軸；軸； x 軸和軸和z軸只能軸只能選擇適當(dāng)?shù)木Ю夥较?。選擇適當(dāng)?shù)木Ю夥较颉 軸起立，軸起立， y 軸左右水平，軸左右水平， x 軸前后向前下傾斜；軸前后向前下傾斜；a b c晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: :a a = g g = 90 b b 90 5. 5. 三斜晶系晶體定向三斜晶系晶體定向晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: a a b b g g 90 , a b c 沒(méi)有合適的對(duì)稱(chēng)元素

9、可供沒(méi)有合適的對(duì)稱(chēng)元素可供選擇作為結(jié)晶軸。只有選擇選擇作為結(jié)晶軸。只有選擇3個(gè)適當(dāng)大的晶棱方向，即個(gè)適當(dāng)大的晶棱方向，即選擇選擇3個(gè)相互間夾角接近于個(gè)相互間夾角接近于90度的晶棱方向作為結(jié)晶軸。度的晶棱方向作為結(jié)晶軸。二、晶體的四軸定向二、晶體的四軸定向-六方晶系晶體定向六方晶系晶體定向選擇唯一的高次軸作為直立結(jié)晶軸選擇唯一的高次軸作為直立結(jié)晶軸c軸，在垂直軸，在垂直 z 軸的平面內(nèi)選擇三個(gè)相同的、即互成軸的平面內(nèi)選擇三個(gè)相同的、即互成120交交角的角的L2或或P的法線，或適當(dāng)?shù)娘@著晶棱方向作為的法線，或適當(dāng)?shù)娘@著晶棱方向作為水平結(jié)晶軸，即水平結(jié)晶軸，即x 軸、軸、 y 軸以及軸以及 d 軸軸

10、(u軸軸)。晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為: a a = b b = 90, g g =120, a = b c六方晶系四軸定向水平軸的安置六方晶系四軸定向水平軸的安置 以以晶胞基矢晶胞基矢為單位矢量建為單位矢量建立晶體學(xué)坐標(biāo)系，以立晶體學(xué)坐標(biāo)系，以晶胞基晶胞基矢長(zhǎng)度矢長(zhǎng)度為單位，以數(shù)字表示為單位，以數(shù)字表示晶胞中原子中心所處的位置。晶胞中原子中心所處的位置。體心立方晶胞體心立方晶胞 面心立方晶胞面心立方晶胞原子坐標(biāo)原子坐標(biāo) 也可以將原子的位置投影到晶胞底面上，以數(shù)字也可以將原子的位置投影到晶胞底面上，以數(shù)字標(biāo)明原子的高度；標(biāo)明原子的高度； 原子坐標(biāo)常在立方晶系的晶胞中使用。原子坐標(biāo)常在立方晶系的晶胞中

11、使用。 在晶體中作一簇在晶體中作一簇平行的直線，這些平平行的直線，這些平行直線可以將所有的行直線可以將所有的格點(diǎn)包括無(wú)遺；格點(diǎn)包括無(wú)遺；平行直線簇平行直線簇 晶列晶列一、晶向符號(hào)：晶向指數(shù)一、晶向符號(hào)：晶向指數(shù)3.4 3.4 晶體學(xué)符號(hào)晶體學(xué)符號(hào) 在一個(gè)平面里，相鄰晶列之間的距離相等在一個(gè)平面里，相鄰晶列之間的距離相等 每一簇晶列定義了一個(gè)方向每一簇晶列定義了一個(gè)方向 晶向晶向晶向的標(biāo)志晶向的標(biāo)志-晶向指數(shù)晶向指數(shù)取某一原子為原點(diǎn)取某一原子為原點(diǎn)O O，晶胞的三個(gè)基矢晶胞的三個(gè)基矢321,aaa 沿晶向到沿晶向到最近的一個(gè)格點(diǎn)最近的一個(gè)格點(diǎn)的位矢的位矢321awavauwvu, 一組整數(shù)一組整

12、數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)wvu 對(duì)于單胞，也有類(lèi)對(duì)于單胞，也有類(lèi)似的晶向指數(shù)似的晶向指數(shù)三軸定向：三軸定向： 一種表示晶體中面和方一種表示晶體中面和方向的符號(hào)，密氏指數(shù)（英向的符號(hào)，密氏指數(shù)（英晶體學(xué)家晶體學(xué)家Miller,1939Miller,1939）。）。1233ARaaa1223ARaa晶向指數(shù)晶向指數(shù)311晶向指數(shù)晶向指數(shù)2301 1）確定坐標(biāo)系，）確定坐標(biāo)系，過(guò)原點(diǎn)作平行過(guò)原點(diǎn)作平行于欲求晶向的于欲求晶向的直線直線；2 2）求該直線上任一點(diǎn)的）求該直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)（a a，b b，c c）；）；3 3）將此）將此3 3個(gè)坐標(biāo)值個(gè)坐標(biāo)值化成最小整數(shù)化成最小整數(shù) u u，v v，w w

13、；4 4）加以）加以方括號(hào)方括號(hào)，即，即u v wu v w。 確定晶向指數(shù)確定晶向指數(shù)4步驟步驟簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志 立方邊立方邊OA的晶向的晶向100100,001,010010,001,100立方邊共有立方邊共有6個(gè)不同的晶向個(gè)不同的晶向晶向族代表由對(duì)稱(chēng)性聯(lián)系的一系列等同晶向晶向族代表由對(duì)稱(chēng)性聯(lián)系的一系列等同晶向的組合。的組合。100, 010, 001, 100, 010, 001 :晶向族晶向族面對(duì)角線面對(duì)角線OB的晶向的晶向 面對(duì)角線晶向面對(duì)角線晶向 共有共有12個(gè)個(gè) 110體對(duì)角線體對(duì)角線OC的晶向的晶向111體對(duì)角線晶向共有體對(duì)角線晶向共有8個(gè)個(gè) 在晶體

14、中作一簇平行的平面，這些相互平行、等在晶體中作一簇平行的平面，這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點(diǎn)包括無(wú)遺。間距的平面可以將所有的格點(diǎn)包括無(wú)遺。 這些相互平行的平面稱(chēng)為晶體的晶面這些相互平行的平面稱(chēng)為晶體的晶面二、晶面符號(hào)：晶面指數(shù)二、晶面符號(hào)：晶面指數(shù)取某一原子為原點(diǎn)取某一原子為原點(diǎn)O O，晶胞的三個(gè)基矢晶胞的三個(gè)基矢123,a aa為坐標(biāo)系的三個(gè)軸不一定相互正交；為坐標(biāo)系的三個(gè)軸不一定相互正交； 晶格中一族的晶面不僅平行，并且相鄰晶面之間的距晶格中一族的晶面不僅平行，并且相鄰晶面之間的距離相等。離相等。 一族晶面必包含了一族晶面必包含了所有格點(diǎn)而無(wú)遺漏。所有格點(diǎn)而無(wú)遺漏。晶面的標(biāo)志晶

15、面的標(biāo)志-晶面指數(shù)晶面指數(shù) 設(shè)設(shè)末端上的格點(diǎn)分別落在離原點(diǎn)的距離末端上的格點(diǎn)分別落在離原點(diǎn)的距離321,aaa的晶面上的晶面上ldkdhd, 最靠近原點(diǎn)的晶面最靠近原點(diǎn)的晶面 在坐標(biāo)軸上的截距。在坐標(biāo)軸上的截距。lakaha321, 整數(shù)整數(shù)lkh, 晶面間距晶面間距d的倒數(shù)是晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面的截距；的倒數(shù)是晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面的截距；lkh, 以單胞的基矢為參考，以單胞的基矢為參考，所得出的晶面的密勒指數(shù)，所得出的晶面的密勒指數(shù)，有著重要的意義。有著重要的意義。)100()010()111( 同族中其它晶面的截距是同族中其它晶面的截距是 的整數(shù)倍的整數(shù)倍lakaha321,)(l

16、kh密勒指數(shù)密勒指數(shù) 標(biāo)記這個(gè)晶面系標(biāo)記這個(gè)晶面系 如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直線作為如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直線作為坐標(biāo)軸，則晶體上任意兩晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸，則晶體上任意兩晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的對(duì)應(yīng)截距的系數(shù)之比為簡(jiǎn)單整數(shù)比。其倒數(shù)之比即為晶面截距的系數(shù)之比為簡(jiǎn)單整數(shù)比。其倒數(shù)之比即為晶面指數(shù)，也是小的整數(shù)。指數(shù)，也是小的整數(shù)。整數(shù)定律（有理指數(shù)定律）整數(shù)定律（有理指數(shù)定律） 采用整數(shù)定律證明晶面指數(shù)都是小的整數(shù)。采用整數(shù)定律證明晶面指數(shù)都是小的整數(shù)。1 1）以各晶軸點(diǎn)陣常數(shù)為單位，求）以各晶軸點(diǎn)陣常數(shù)為單位，求 晶面與三晶軸的晶面與三晶軸的截距截距m, n,

17、 p;m, n, p;2 2）取截距之）取截距之倒數(shù)倒數(shù)；3 3）化為）化為最小整數(shù)最小整數(shù)h h，k k，l l；4 4）加以）加以圓括號(hào)圓括號(hào)，即（，即（h k lh k l）。）。 確定晶面指數(shù)確定晶面指數(shù)4 4步驟步驟晶面指數(shù)晶面指數(shù)（Indices of Crystallographic PlaneIndices of Crystallographic Plane）a/2a/2a/2a/23 3/ /4 4c立方晶格的幾種主要晶面標(biāo)記立方晶格的幾種主要晶面標(biāo)記 用 h k l 表示對(duì)稱(chēng)性聯(lián)系的一組晶面，稱(chēng)為晶面族Family of planes.110: (110), (110),

18、(110), (110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011) 晶面族晶面族xyz（100）（010）（001）)100(面等效的晶面數(shù)分別為：面等效的晶面數(shù)分別為：3 3個(gè)個(gè)100表示為表示為)110(面等效的晶面數(shù)分別為：面等效的晶面數(shù)分別為：6 6個(gè)個(gè)110表示為表示為)111(面等效的晶面數(shù)分別為：面等效的晶面數(shù)分別為：4 4個(gè)個(gè)111表示為表示為 符號(hào)相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表符號(hào)相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面時(shí)才有意義面時(shí)才有意義, , 在晶體內(nèi)部這些面都是等效的在晶體內(nèi)部這些面都是等效的。不考

19、慮符號(hào)相反的晶面，則不考慮符號(hào)相反的晶面，則 六方系的單胞不能六方系的單胞不能反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性; ;六方晶系指數(shù)及標(biāo)定六方晶系指數(shù)及標(biāo)定(100)(110) 三個(gè)單胞拼成一個(gè)六三個(gè)單胞拼成一個(gè)六面柱體來(lái)研究。面柱體來(lái)研究。(100)(110)六方晶系指數(shù)及標(biāo)定六方晶系指數(shù)及標(biāo)定密氏指數(shù)：密氏指數(shù)：120 3軸坐標(biāo)系（軸坐標(biāo)系（a1, a2, c） 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：同一晶面族或晶向族，其指數(shù)不類(lèi)似。：同一晶面族或晶向族，其指數(shù)不類(lèi)似。 如，如，(100)和和(110)屬于同一晶面族，屬于同一晶面族， 100和和110屬屬于同一晶向族，但是從其指數(shù)上看不出來(lái)。于同一晶向族，但是從其指數(shù)上

20、看不出來(lái)。 由六方系對(duì)稱(chēng)性可看出，很難從三軸坐標(biāo)指數(shù)找出由六方系對(duì)稱(chēng)性可看出，很難從三軸坐標(biāo)指數(shù)找出等價(jià)面指數(shù)間的規(guī)律性。等價(jià)面指數(shù)間的規(guī)律性。 采用采用4軸坐標(biāo)系（軸坐標(biāo)系（a1, a2, a3, c) 。 a1, a2, a3, 軸共面，軸間夾角軸共面，軸間夾角120度，垂直度，垂直C軸軸; 晶面指數(shù)（晶面指數(shù)（h k i l ) 求法與密氏指數(shù)相同；求法與密氏指數(shù)相同； 任一平面的任一平面的a1, a2, a3晶面指數(shù)關(guān)系：晶面指數(shù)關(guān)系：i= -( h+k )六方晶系指數(shù)及標(biāo)定六方晶系指數(shù)及標(biāo)定密布氏晶面指數(shù)：密布氏晶面指數(shù)：同一晶面族具有類(lèi)似的指數(shù)。同一晶面族具有類(lèi)似的指數(shù)。1010:

21、 (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100) 120 120 增加條件，增加條件， ，則只有一個(gè)指數(shù)，則只有一個(gè)指數(shù)，而且同一晶向族具有類(lèi)似指數(shù)。而且同一晶向族具有類(lèi)似指數(shù)。-5/2, -1, 7/2, 0，晶向指數(shù)為，晶向指數(shù)為5270 4軸坐標(biāo)系若按軸坐標(biāo)系若按3軸坐標(biāo)求法，同一晶軸坐標(biāo)求法，同一晶向則有無(wú)數(shù)個(gè)不同指數(shù)。向則有無(wú)數(shù)個(gè)不同指數(shù)。4 4軸坐標(biāo)晶向指數(shù)軸坐標(biāo)晶向指數(shù) u v t w t= -( u+v )OA+OB=-5/2+(-1)=-7/2=-OCOA+OB+OC=3/2 OPOP在在a1, a2, a3軸的垂直投影軸的垂直投影

22、OA, OB, OC430：4300 1030t= -( u+v )滿(mǎn)足：滿(mǎn)足：求密布氏指數(shù)首先求出晶向上任一結(jié)點(diǎn)求密布氏指數(shù)首先求出晶向上任一結(jié)點(diǎn)在四軸的垂直投影；在四軸的垂直投影；然后將前然后將前3個(gè)指數(shù)分別乘以個(gè)指數(shù)分別乘以2/3；再和第四個(gè)數(shù)值化為最小整數(shù)即為密布再和第四個(gè)數(shù)值化為最小整數(shù)即為密布氏指數(shù)。氏指數(shù)。還可以證明：還可以證明：四軸定向：四軸定向：wtvu0tvu四軸定向坐標(biāo)系的晶面指數(shù)：四軸定向坐標(biāo)系的晶面指數(shù)：）（l ikh0ikh三、晶帶與晶帶符號(hào)三、晶帶與晶帶符號(hào)晶帶：晶帶：彼此間相交的彼此間相交的晶列相互平行的（交線平行晶列相互平行的（交線平行的）晶面族的）晶面族的集合，即平行的集合，即平行或相交或相交于同一晶列的于同一晶列的晶面族的總稱(chēng)。晶面族的總稱(chēng)。 晶帶符號(hào)：晶帶符號(hào)：用晶帶軸表示，用晶帶軸表示， 晶帶晶帶晶帶軸晶帶軸晶帶中與晶面交線平行的直線，平行于晶帶晶帶中與晶面交線平行的直線，平行于晶帶中所有的晶面。中所有的晶面。晶帶定律：晶帶定律：任一屬于任一屬于u v w晶帶的晶面晶帶的晶面（h k l）（共（共帶面），必有帶面），必有( (晶帶方程晶帶方程) )：wvu這些晶面稱(chēng)為共帶面。這些晶面