剛體平面運動的動力學(xué)方程

1、上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)7.5 剛體平面運動的動力學(xué)剛體平面運動的動力學(xué) 7.5.1 剛體平面運動的基本動力學(xué)方程 7.5.2 作用于剛體上的力 7.5.3 剛體平面運動的動能 7.5.4 滾動摩擦力偶矩 7.5.5 汽車輪的受力汽車的極限速度 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)7.5 剛體平面運動的動力學(xué)剛體平面運動的動力學(xué) 7.5.1 剛體平面運動的基本動力學(xué)方程剛體平面運動的基本動力學(xué)方程 平面運動平面運動 = 平動平動+定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 1.求質(zhì)心的運動求質(zhì)心的運動 根據(jù)質(zhì)心運動定律根據(jù)質(zhì)心運動定律 ci

2、amF cxixmaF cyiymaFm 剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量. 所有外力的矢量和所有外力的矢量和, iF剛體作平面運動，受力必是平面力剛體作平面運動，受力必是平面力 直角坐標(biāo)系中的分量式直角坐標(biāo)系中的分量式 (7.5.1)上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)2. 剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動 在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動. 選質(zhì)心坐標(biāo)系選質(zhì)心坐標(biāo)系 Cxyz ,設(shè)設(shè)z為過質(zhì)心而垂直于固為過質(zhì)心而垂直于固定平面的軸定平面的軸. 在質(zhì)心系中在質(zhì)心系中tLMMzidd 慣慣外外 M外外i 外力對質(zhì)心的力矩外力對質(zhì)心的力矩,又又 M慣慣= 0

3、 M慣慣 慣性力對質(zhì)心力矩慣性力對質(zhì)心力矩. zzczzcziItItLM d)(ddd外外上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)zzciIM 外外 即剛體相對于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動同樣服從定軸轉(zhuǎn)即剛體相對于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動同樣服從定軸轉(zhuǎn)動定律動定律. 式式(7.5.1)和和(7.5.2)稱剛體平面運動的基本動稱剛體平面運動的基本動力學(xué)方程力學(xué)方程.(7.5.2)上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)7.5.2 作用于剛體上的力作用于剛體上的力 1.作用于剛體上力的兩種效果作用于剛體上力的兩種效果 滑移矢量滑移矢量(1) 施于剛體的力的特

4、點施于剛體的力的特點 作用力通過質(zhì)心，對質(zhì)心軸上的作用力通過質(zhì)心，對質(zhì)心軸上的力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動. 力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度生角加速度. 施于剛體的某個點的力施于剛體的某個點的力,決不可以隨便移到另一點去決不可以隨便移到另一點去.AFBF上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)(2) 施于剛體的力是滑移矢量施于剛體的力是滑移矢量 右圖中右圖中,施于施于A點的力點的力F 可用施于可用施于B點的力點的力F 代替代替,即力可沿作用線滑移即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：作用于剛體的力的三要素

5、： FFF大小、方向和作用線大小、方向和作用線. 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對力大小相等方向相反彼此平行的一對力. 21FF 2211FrFrM 力偶力偶121)(Frr 112Fr 大小大小 FdFrMsin12力偶與參考點的選擇無關(guān)與參考點的選擇無關(guān). Odm1m22r12r1r2F1F 一般作用于剛體的力等效一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對力相同，而力偶矩等于

6、原力對質(zhì)心軸的力矩質(zhì)心軸的力矩. 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)7.5.3 剛體平面運動的動能剛體平面運動的動能 22k2121 ccImvE 動能動能 動能定理動能定理 )2121(22 ccImvA 外外222121 cccImvmghE 機械機械 如果剛體不太大，若剛體在運動中只有保守力如果剛體不太大，若剛體在運動中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機械能也守恒作功，則系統(tǒng)的機械能也守恒.上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)例題例題1如圖，固定斜面傾角為如圖，固定斜面傾角為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 半徑為半徑為 R 的均質(zhì)圓柱

7、體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質(zhì)心的的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質(zhì)心的加速度加速度ac 及斜面作用于柱體的摩擦力及斜面作用于柱體的摩擦力F .x yOCx y 解解NFFW根據(jù)質(zhì)心運動定理根據(jù)質(zhì)心運動定理camFWF Ny 軸上投影軸上投影cmaFW sin對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理 Rac sin31 sin32mgFgac 221mRIFR 無滑滾動無滑滾動上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)例題例題2質(zhì)量為質(zhì)量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉(zhuǎn)動停止轉(zhuǎn)動. 前后輪相距前后輪相距L，與地

8、面的摩擦因數(shù)為，與地面的摩擦因數(shù)為 .汽車質(zhì)汽車質(zhì)心離地面高度為心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為，與前輪軸水平距離為l .求前后車輪對求前后車輪對地面的壓力地面的壓力.上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)OCxyx y 1F2F1NF2NF解解 汽車受力如圖汽車受力如圖. camFFFFW 2N1N02N1N WFFy 軸投影軸投影2N21N1 FFFF 0)()(1N2N21 lFlLFhFF對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理根據(jù)質(zhì)心運動定理根據(jù)質(zhì)心運動定理上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)LhlmgFLhlLmgF

9、/ )(/ )(2N1N 由上面方程可解出由上面方程可解出根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為FN1、FN2 ，但方向向下，但方向向下.上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)例題例題3 在例題在例題1中，設(shè)圓柱體自靜止開始滾下，求質(zhì)中，設(shè)圓柱體自靜止開始滾下，求質(zhì)心下落高度心下落高度 h 時，圓柱體質(zhì)心的速率時，圓柱體質(zhì)心的速率.x yOCx y NFFW解解 因為是無滑滾動，靜摩因為是無滑滾動，靜摩擦力擦力F 不做功，只有重力不做功，只有重力W做功，機械能守恒做功，機械能守恒.2224121 mRmvc

10、Rvc ghvc332 222)21(2121 mRmvmghc 無滑滾動條件無滑滾動條件上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)7.5.4 滾動摩擦力偶矩滾動摩擦力偶矩 滾動摩擦發(fā)生的原因：滾動摩擦發(fā)生的原因：是物體與接觸面處的非彈是物體與接觸面處的非彈性形變引起性形變引起. 設(shè)滾輪在接觸區(qū)無形變，地面有非彈性形變設(shè)滾輪在接觸區(qū)無形變，地面有非彈性形變.ONFWONFW PFN FONFWPFM滾滾如圖如圖 對質(zhì)心產(chǎn)生反向力矩對質(zhì)心產(chǎn)生反向力矩 滾動摩擦力矩滾動摩擦力矩M滾滾NF NFM 滾滾 摩擦因數(shù)，由實驗測摩擦因數(shù)，由實驗測. 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束

11、束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)M滾滾 使物體角速度減小，則接觸面各點有向前滑動趨勢，使物體角速度減小，則接觸面各點有向前滑動趨勢，從而產(chǎn)生反向摩擦力（滾動摩擦）使物體減速從而產(chǎn)生反向摩擦力（滾動摩擦）使物體減速.滾動阻力因數(shù)滾動阻力因數(shù) ,/r r是輪半徑是輪半徑. 路面類型路面類型良好的瀝青或混凝土路面良好的瀝青或混凝土路面0.0100.018一般的瀝青或混凝土路面一般的瀝青或混凝土路面0.0180.020坑洼的卵石路面坑洼的卵石路面0.0350.050泥濘土路（雨季或解凍）泥濘土路（雨季或解凍）0.1000.250結(jié)冰路面結(jié)冰路面0.0100.030表表7.2常見汽車輪在幾種典

12、型路面上的常見汽車輪在幾種典型路面上的 值值 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)滾動摩擦滾動摩擦 滑動摩擦滑動摩擦 CNFWM滾滾FfFCFA設(shè)滾子勻速滾動，則阻力和阻力矩分別為設(shè)滾子勻速滾動，則阻力和阻力矩分別為 FF f0f 滾滾MrF NFM 滾滾聯(lián)立得聯(lián)立得 WWrFrFF Nf若滾子勻速平動若滾子勻速平動WFF N表表7.2與表與表3.2相比，有相比，有 FF 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)7.5.5 汽車輪的受力汽車的極限速度汽車輪的受力汽車的極限速度 CNFWM滾滾NF F M驅(qū)驅(qū)fF M滾驅(qū)滾驅(qū)CNFW

13、M滾滾FfF驅(qū)動輪驅(qū)動輪 被動輪被動輪 NfFrF 0f 滾滾驅(qū)驅(qū)MrFMrMrMMF/ )(f驅(qū)驅(qū)滾滾驅(qū)驅(qū) rM/驅(qū)驅(qū)汽車牽引力汽車牽引力 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)例題例題4桑塔納汽車勻速行駛桑塔納汽車勻速行駛,汽車橫截面積為汽車橫截面積為 S=1.89m2,空氣阻力因數(shù)空氣阻力因數(shù)Cv=0.425. 發(fā)動機功率為發(fā)動機功率為P發(fā)發(fā)=60kW,設(shè)經(jīng)內(nèi)設(shè)經(jīng)內(nèi)部傳動機構(gòu)能量損失部傳動機構(gòu)能量損失10%,空氣密度空氣密度 =1.2258 Ns2/m4.汽車行駛所受空氣阻力汽車行駛所受空氣阻力 求汽車沿水平路求汽車沿水平路面行駛的最高速率面行駛的最高速率vmax2f21SvCFv 解解 取發(fā)動機燃燒物以外的整個汽車為質(zhì)點系取發(fā)動機燃燒物以外的整個汽車為質(zhì)點系 功功0 內(nèi)內(nèi)外外AA功率功率 0 內(nèi)內(nèi)外外PP P外外= P發(fā)發(fā)+滾動摩擦力偶矩功率滾動摩擦力偶矩功率+空氣阻力功率空氣阻力功率P阻阻 上上 頁頁下下 頁頁結(jié)結(jié) 束束返返 回回第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué)不計滾動