2013年普通高等學(xué)校全國(guó)招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（廣東卷）理科與答案(3)

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)各省市統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷與答案 PAGE 112013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科） 參考公式:臺(tái)體的體積公式,其中分別是臺(tái)體的上、下底面積,表示臺(tái)體的高.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合,則( )A . B C D2定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù),中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A . B C D3若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )A . B C D4已知離散型隨機(jī)變量的分布列為正視圖俯視圖側(cè)視圖第5題圖 則的數(shù)學(xué)期望 ( )A . B C D5某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,

2、則該四棱臺(tái)的體積是 ( )A . B C D6設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( )A . 若,則 B若,則C若,則 D若,則7已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,離心率等于,在雙曲線的方程是 A . B C D8設(shè)整數(shù),集合.令集合 若和都在中,則下列選項(xiàng)正確的是( )A . , B,C, D, 是否輸入輸出 結(jié)束開(kāi)始第11題圖n二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分(一)必做題(913題)9不等式的解集為_(kāi)10若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,則_.11執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的值為_(kāi).12. 在等差數(shù)列中,已知,則_.13. 給

3、定區(qū)域:,令點(diǎn)集是在上取得最大值或最小值的點(diǎn),則中的點(diǎn)共確定_條不同的直線.（二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計(jì)前一題的得分）.AEDCBO第15題圖14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在點(diǎn)處的切線為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則的極坐標(biāo)方程為_(kāi).15. (幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長(zhǎng)到使,過(guò)作圓的切線交于.若,則_.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16（本小題滿分12分）已知函數(shù),.() 求的值； () 若,求 第17題圖17（本小題滿分

4、12分）某車間共有名工人,隨機(jī)抽取名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).() 根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；() 日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人；() 從該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀工人的概率.18（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點(diǎn),.COBDEACDOBE圖1圖2為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.() 證明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.19（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.() 求的值；() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；() 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.

5、20（本小題滿分14分）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).() 求拋物線的方程；() 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程；() 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)(其中). () 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）解析與答案一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. DC CA B D BB1 設(shè)集合Mx|x22x0，x，Nx|x22x0，x，則MN()A0 B

6、0，2C2，0 D2，0，21【答案】D解析 M2，0，N0，2，MN2，0，2，故選D.2 定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù)yx3，y2x，yx21，y2 sin x中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A4 B3 C2 D12【答案】C解析 函數(shù)yx3，y2sin x是奇函數(shù)3 若復(fù)數(shù)iz24i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(2，4) B(2，4)C(4，2) D(4，2)3【答案】C解析 設(shè)復(fù)數(shù)zabi，a，b，則izi(abi)bai24i，解得b2，a4.故在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，2)，選C.4 已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq f(3,5)eq f(3,10)eq f(1,10

7、)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A.eq f(3,2) B2C.eq f(5,2) D34【答案】A解析 E(X)1eq f(3,5)2eq f(3,10)3eq f(1,10)eq f(3,2)，選A.5 某四棱臺(tái)的三視圖如圖11所示，則該四棱臺(tái)的體積是()圖11A4 B.eq f(14,3)C.eq f(16,3) D65【答案】B解析 棱臺(tái)的上底、下底分別是邊長(zhǎng)為1和2的正方形，高為2，故V臺(tái)eq f(1,3)(S上eq r(S上S下)S下)heq f(14,3)，故選B.6、 設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A若，m，n，則mnB若，m，n，則mnC若mn

8、，m，n，則D若m，mn，n，則6【答案】D解析 m，mn，n，又n，故選D.7 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，離心率等于eq f(3,2)，則C的方程是()A.eq f(x2,4)eq f(y2,r(5)1 B.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,2)eq f(y2,5)1 D.eq f(x2,2)eq f(y2,r(5)17【答案】B解析 設(shè)雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，由題知：c3，eeq f(c,a)eq f(3,2)，解得a2，b2c2a2945，故C的方程是eq f(x2,4)eq f(y2,5)1.8 設(shè)整

9、數(shù)n4，集合X1，2，3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三條件xyz，yzx，zxy恰有一個(gè)成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，則下列選項(xiàng)正確的是()A(y，z，w)S，(x，y，w)SB(y，z，w)S，(x，y，w)SC(y，z，w)S，(x，y，w)SD(y，z，w)S，(x，y，w)S8【答案】B解析 方法一，特殊值法：不妨令x2，y3，z4，w1，則(y，z，w)(3，4，1)S，(x，y，w)(2，3，1)S，故選B.方法二，直接法：因?yàn)?x，y，z)S，(z，w，x)S，所以xyz，yzx，zxy三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立，zwx，wxz，xzw三個(gè)式子中恰有

10、一個(gè)成立配對(duì)后只有四種情況：第一種：成立，此時(shí)wxyz，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S；第二種：成立，此時(shí)xyzw，于是(y，z，w)S，(x，y，z)S；第三種：成立，此時(shí)yzwx，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S；第四種：成立，此時(shí)zwxy，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S.綜合上述四種情況，可得(y，z，w)S，(x，y，w)S.二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9 不等式x2x20的解集為_(kāi)9【答案】x|2x1解析 x2x2(x2)(x1)0，解得2x1.故不等式的解集是x|2x4，故

11、輸出s7.12 在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_12【答案】20解析 方法一：a3a82a19d10，而3a5a73(a14d)a16d2(2a19d)20.方法二：3a5a72a5(a5a7)2a52a62(a5a6)2(a3a8)20.13 給定區(qū)域D：eq blc(avs4alco1(x4y4，,xy4，,x0，)令點(diǎn)集T(x0，y0)D|x0，y0，(x0，y0)是zxy在D上取值最大值或最小值的點(diǎn)則T中的點(diǎn)共確定_條不同的直線13【答案】6解析 由題畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分，易知線性目標(biāo)函數(shù)zxy在點(diǎn)(0，1)處取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，

12、2)或(3，1)或(4，0)處取得最大值，這些點(diǎn)一共可以確定6條直線14 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xr(2)cos t，,yr(2)sin t)(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1，1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，則l的極坐標(biāo)方程為_(kāi)14【答案】sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)解析 曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是x2y22，點(diǎn)(1，1)在曲線上，易求得過(guò)(1，1)作圓C切線的方程是：xy2，其極坐標(biāo)方程是(cos sin )2，即sineq blc(rc)(avs4alco1

13、(f(,4)eq r(2).15 (幾何證明選講選做題)如圖13所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BCCD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB6，ED2，則BC_圖1315【答案】2 eq r(3)解析 由題知ACB90，又BCCD，ADAB6，BACCAE，AEADED4.CE為切線，ACEABC.ACECAEABCBAC90.在ACD中，ACD90，CEAD，CD2EDDA12，解得CD2 eq r(3)，故BC2 eq r(3).三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16（本小題滿分12分）【解析】()；() 因?yàn)?所以,所以,

14、所以.17（本小題滿分12分）【解析】() 樣本均值為； () 由()知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為,故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人.CDOBEH() 設(shè)事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優(yōu)秀工人,則.18（本小題滿分14分）【解析】() 在圖1中,易得連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知,所以,所以,理可證, 又,所以平面.() 傳統(tǒng)法:過(guò)作交的延長(zhǎng)線于,連結(jié),因?yàn)槠矫?所以,所以為二面角的平面角.結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而CDOxE向量法圖yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值為.向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,所以,設(shè)為平面的法向量,則,即,解得,令,得由() 知,為平面的一個(gè)法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值為.19（本小題滿分14分）【解析】() 依題意,又,所以； () 當(dāng)時(shí), 兩式相減得 整理得,即,又 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以. () 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),此時(shí) 綜上,對(duì)一切正整數(shù),有.20（本小題滿分14分）【解析】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得. 所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得設(shè),(其中),則切線的斜率分別為,所以切線的方程為,即,即同理可得切線的方程為因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn),所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為.() 由拋物線定義可知,所以聯(lián)立方程,消去整理得由