2022屆哈爾濱師范大學(xué)高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1由曲線圍成的封閉圖形的面積為（ ）ABCD2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）ABCD843已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?）ABCD4已知雙曲線 (a0，

2、b0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）AB(1,2),CD5如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（ ）ABCD6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）ABCD7若ab0，0c1，則AlogaclogbcBlogcalogcbCacbc Dcacb8五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為（ ）ABCD9已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的值為（ ）A1B或0C1或0D2或010如圖，矩形ABCD中，E是

3、AD的中點(diǎn)，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個(gè)命題：對(duì)滿足題意的任意的的位置，；對(duì)滿足題意的任意的的位置，則( ) A命題和命題都成立B命題和命題都不成立C命題成立，命題不成立D命題不成立，命題成立11已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（ ）A4B8C9D2712一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，則_.14已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍為_15已知圓C：經(jīng)過拋物

4、線E：的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是_.16在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，且若，則的值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，CBB1=，點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值18（12分）已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2，記f(x)的最小值為m.（）解不等式f(x)5；（）若正實(shí)數(shù)a，b滿足1a+1b=5，求證：2a2+3b22m.19（12分）如圖，已知在三棱

5、臺(tái)中，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點(diǎn)，且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺(tái)體的體積公式（，分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，為棱臺(tái)的高）.20（12分）2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該

6、正態(tài)分布，求P（）；（2）在（1）的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：（i）得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于則只有1次：（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：贈(zèng)送話費(fèi)（單位：元）1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列.附：，若，則，.21（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由.22（10分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂

7、直，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為，再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.2B【解析】畫出幾何體的直觀圖，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.3A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A考點(diǎn)：函數(shù)的定義域4A

8、【解析】若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，離心率，故選：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件5A【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考

9、查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.7B【解析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?/p>

10、數(shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.8D【解析】三個(gè)單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、乙兩

11、人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.9C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷；【詳解】解：（），當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，只需，即.令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，的值是1或0.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.10A【解析】作出二面角的補(bǔ)角、線面角、線線角的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，所以，所以正確.由

12、于，所以與所成角，所以，所以正確.綜上所述，都正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11D【解析】設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，在中，由勾股定理得：，解得， 故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球

13、的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.12B【解析】根據(jù)正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長為，高為，所以 ， 到 的距離為，同理到 的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132【解析】由得，算出，再代入算出即可.【詳解】，解得：，則.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計(jì)算.14【解析】?jī)珊瘮?shù)圖象上存在關(guān)

14、于軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解，化簡(jiǎn)方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時(shí)， 為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得： ，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題, 函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展. 由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決. 此類問題的切入點(diǎn)是借助

15、函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.15【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長的一半，進(jìn)而求出弦長【詳解】拋物線E: 的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為（0，1），把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為5，則圓心到準(zhǔn)線的距離為1，所以弦長【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式16【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義表示出，由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合求得，而，展開后即可由余弦差角公式求得的值.【詳解】點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，由三角函數(shù)定義可知，因?yàn)?，則，所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，所以 故答案為：.

16、【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，余弦差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析（2）【解析】（1）通過勾股定理得出，又，進(jìn)而可得平面，則可得到，問題得證；（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫裕?又因?yàn)?，所以，因此，所以?因此平面，所以，從而，又四邊形為平行四邊形，則四邊形為矩形；（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，所以，平面的法向量，設(shè)平面的法向量， 由，由，令，即， 所以，所以，所求二面

17、角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題考查空間垂直關(guān)系的證明，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題.18（）x|-3x2（）見證明【解析】()由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段求解不等式的解集即可；()首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（）當(dāng)x1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+15，即x2，1x2；當(dāng)-2x1時(shí)，f(x)=(1-x)+(x+2)=35，-2x1；當(dāng)x-2時(shí)，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-15，即x-3，-3x-2.綜上所述，原不等式的解集為x|-3x2.（）f(x)=x-1+x+2(x-1)-(x+2)=3，當(dāng)且僅當(dāng)-2x1

18、時(shí)，等號(hào)成立.f(x)的最小值m=3.(2a)2+(3b)2(12)2+(13)2(2a12+3b13)2=5，即2a2+3b26，當(dāng)且僅當(dāng)2a13=3b12即3a=2b時(shí)，等號(hào)成立.又1a+1b=5，a=53，b=52時(shí)，等號(hào)成立.2a2+3b22m.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，柯西不等式及其應(yīng)用，絕對(duì)值三角不等式求最值的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19（1）證明見解析；（2）2【解析】（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設(shè)條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，列出

19、方程求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，所以，可得，因?yàn)?，可?又由，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)?，可得，令，設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，則，整理得，即，解得，即，又由，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20（1）（2）詳見解析【解析】（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，再利用正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行求解.（2）寫出隨機(jī)變量的所有可能

20、取值，利用互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，再列表得到其分布列.【詳解】解：（1）從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值為由于得分Z服從正態(tài)分布，（2）設(shè)得分不低于分的概率為p，（或由頻率分布直方圖知）法一：X的取值為10，20，30，40；所以X的分布列為X10203040P法二：2次隨機(jī)贈(zèng)送的話費(fèi)及對(duì)應(yīng)概率如下2次話費(fèi)總和203040PX的取值為10，20，30，40；所以X的分布列為X10203040P【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于基礎(chǔ)題.21（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè)【解析】（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來算出的首項(xiàng)和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，解?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）得，當(dāng)，時(shí)，可得，得，則有，即，.因?yàn)?，由得，所以，所以?所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項(xiàng)，使得對(duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有.首先證明滿足的.若不然，則，或.（i）若，則當(dāng)，時(shí)，這與矛盾.（ii）若，則當(dāng)，時(shí)，.而，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所