2022屆四川省瀘縣高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（ ）ABCD2閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是（ ）ABCD3已知，則p是q的（ ）A充分而不必要條

2、件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（ ）ABCD5已知集合，則等于（ ）ABCD6 “中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為（ ）A56383B57171C59189D612427

3、集合的子集的個數(shù)是（ ）A2B3C4D88如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（ ）ABCD9已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（ ）A6B3CD10設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，則（ ）A9B27C81D11已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則ABCD12古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為 ABCD二、填空題：本題共4

4、小題，每小題5分，共20分。13過拋物線C：（）的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若，則l的斜率為_.14在正奇數(shù)非減數(shù)列中，每個正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、，對所有的整數(shù)滿足，其中表示不超過的最大整數(shù).則等于_.15五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，可排成_種不同的音序.16已知向量與的夾角為，|1，且（），則實數(shù)_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

5、驟。17（12分）在，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，三邊，與面積滿足關(guān)系式：，且 ，求的面積的值（或最大值）18（12分）已知函數(shù)（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，若有兩個極值點，且，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍19（12分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.20（12分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍21（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.22（1

6、0分）設(shè)函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】在R上單調(diào)遞增，且，.的符號無法判斷，故與，與的大小不確定，對A，當(dāng)時，故A錯誤；對C，當(dāng)時，故C錯誤；對D，當(dāng)時，故D錯誤；對B，對，則，故B正確.故選：B.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計算可得輸

7、出為25時的值，進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知， 則，此時輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項可知C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運用,屬于基礎(chǔ)題.4A【解析】設(shè)坐標，根據(jù)向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，其中， ，即 關(guān)于軸對稱 故選：

8、【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算；關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.5A【解析】進行交集的運算即可【詳解】，1，2，1，故選：【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題6C【解析】根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23，公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列則 令，解得.故該數(shù)列各項之和為.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。7D【解析】先確定

9、集合中元素的個數(shù)，再得子集個數(shù)【詳解】由題意，有三個元素，其子集有8個故選：D【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題，含有個元素的集合其子集有個，其中真子集有個8C【解析】分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9B【解析】求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位

10、于，結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得10A【解析】根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的

11、理解掌握水平.11B【解析】因為，所以，故選B12B【解析】推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率【詳解】解：將五個“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，6和28恰好在同一組的概率故選：B【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線定義和求得，從而求得直線l的傾斜角.【

12、詳解】分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義知，因為，所以，所以，即直線的傾斜角為，又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為，.故答案為：【點睛】此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.142【解析】將已知數(shù)列分組為（1），共個組.設(shè)在第組，則有，即.注意到，解得.所以，.因此，.故.151【解析】按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè)，此時有種；若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在

13、角音階的同側(cè)；若“角”在第二個或第四個位置上,則有種；綜上，共有種.故答案為：1【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數(shù)乘法原理和分類計數(shù)加法原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用和綜合運用知識的能力,屬于基礎(chǔ)題.161【解析】根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進行數(shù)量積的運算即可求出【詳解】向量與的夾角為，|1，且；1故答案為：1【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17見解析【解析】若選擇，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到， 將代入，得又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的面積

14、的最大值為，此時 若選擇，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇，則結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則18（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點在切線上以及斜率等于，構(gòu)造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，不等式恒成立，等價于恒成立，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，聯(lián)立可得（2）當(dāng)時，有兩個極值點，且，是方程的兩個正根，不等式恒成立，即恒成立，由，得，令，在上是減函數(shù)，故【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義

15、，函數(shù)的極值點的個數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.19（1）見解析；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，將不等式等價轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對實數(shù)分、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.要證，即證.不妨設(shè)，則，下證，即證，構(gòu)造函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，即，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故

16、結(jié)論成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，則.當(dāng)時，對任意的，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，；當(dāng)時，令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞減.令，設(shè)，則.當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得最大值，即.因此，的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.20 () .().【解析】()時，根據(jù)絕對值不等式的定義去掉絕對值，求不等式的解集即可；()不等式的解集為，等價于，求出在的最小值即可【詳解】()當(dāng)時，時，不等式化為，解得，即時,不等式化為，不等式恒成立

17、，即時,不等式化為，解得，即綜上所述，不等式的解集為()不等式的解集為 對任意恒成立當(dāng)時，取得最小值為實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)絕對值三角不等式的應(yīng)用問題，屬于常規(guī)題型21（1）存在；詳見解析（2）【解析】（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，求出長，寫出各點坐標，用向量法求二面角【詳解】解：（1）當(dāng)為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結(jié).即易得所以面面，即面（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為