高數(shù)下重修6.三重積分

1、三重積分I 三重積分的概念與性質(zhì)II 三重積分的計(jì)算法二、 柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法三 、球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法III 重積分的應(yīng)用一、 直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法I、三重積分的概念 1三重積分的定義 如果f (x，y，z)表示某物體在點(diǎn)(x，y，z)處的體密度，是該物體所占的空間閉區(qū)域，f (x，y ,z)在上連續(xù)，則物體的質(zhì)量2物理意義3幾何意義的體積4性質(zhì) 同二重積分補(bǔ)充： 利用對稱性化簡三重積分計(jì)算4、 若關(guān)于變量x，y，z具有輪換對稱性，則有在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分，則dv=dxdydz1直角坐標(biāo)系中的體積元素因此在直角坐標(biāo)系中，三重積分記作II、三重積分

2、的計(jì)算一、 用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分為母線平行于z軸的曲頂，曲底柱體時(shí)第一種情況：投影法(先一后二法)2、化三重積分為三次單積分如圖，得xyo1解xyzC (0,0,1)oA (1,0,0)x+2y=1Dxy解：曲面z=x2+y2與平面z=1的交線在xOy平面上的投影曲線為在x2+y2=1，在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy: x2+y21。1yxzO而Dxy可用不等式組于是 第二種情況:截面法(先二后一法) 設(shè)區(qū)域 夾在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之間zyxo 用豎坐標(biāo)為z (c1 z c2)的平面截所得截面為Dz或D(z)，即zyxo上式適用于f (x,y,z)只是 z 的函

3、數(shù)：f (x,y,z)=(z),有 其中A(z)是Dz的面積，于是 用截面法。xyzo1解y4sinx關(guān)于x是奇函數(shù)xyzo關(guān)于yoz平面對稱，用截面法。xyzo二 、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1柱面坐標(biāo) 規(guī)定：xyzorzxyM(x,y,z)(1) (2) 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為(3)如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平 面2柱面坐標(biāo)下三重積分的形式(1) 柱面坐標(biāo)系中的體積元素(2) 柱面坐標(biāo)系中的三重積分的形式 計(jì)算方法：一般是化為先z，再r ，最后的三次積分定限方法同直角坐標(biāo)，把邊界化成柱面坐標(biāo)方程。解交線的投影為:用柱面坐標(biāo)。xyzo1三、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 1球面坐標(biāo) （

4、1）M(x，y，z) (r， ,)：MP，x軸正向按逆時(shí)針方向到OP的轉(zhuǎn)角，02。 r， , 叫點(diǎn)M的球面坐標(biāo)。 （2）球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān) 系M(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,)xyzo（3） 如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球 面；半平面2球面坐標(biāo)下三重積分的形式（1）球面坐標(biāo)下的體積元素（2）三重積分的球面坐標(biāo)形式（3）計(jì)算方法：計(jì)算一般是化為先r，再 ，最后的三次積分xyz2RoRxyzo注以下區(qū)域時(shí)用球面坐標(biāo)xyz1o（2）被積函數(shù)形如 f(x2+y2+z2) f(z),為球形域，球面與圓錐面所圍時(shí)，用球面坐標(biāo)計(jì)算。（1）的投影區(qū)域?yàn)閳A形域時(shí)，被積函數(shù)形如注：坐標(biāo)系的選擇III、重積分應(yīng)用通過三重積分可求空間區(qū)域 的體積，物體的質(zhì)量通過二重積分可求曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量、平面區(qū)域的面積 1. 空間區(qū)域 的體積 如果 (x，y，z)表示某物體在點(diǎn)(x，y，z)處的體密度，是該物體所占的空間閉區(qū)域， (x，y ， z)在上連續(xù).2. 物體的質(zhì)量一、空