2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)2.1　函數(shù)及其表示

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.1函數(shù)及其表示第二章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破03素養(yǎng)提升微專題2 抽象函數(shù)的定義域的類型及求法必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.函數(shù)與映射的概念 函數(shù)映射定義建立在兩個(gè)A到B的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)建立在兩個(gè)A到B的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的元素x,在集合B中都有的元素y與之對(duì)應(yīng)記法y=f(x),xAf:AB非空數(shù)集非空集合任意唯一確定任意一個(gè)唯一確定2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)

2、y=f(x),xA中,x叫做自變量,叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,叫做函數(shù)的值域,顯然,值域是集合B的子集.(2)函數(shù)的三要素:、和.(3)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的相同,并且完全一致,那么我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等.x的取值范圍A 函數(shù)值的集合f(x)|xA 定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有、和.4.分段函數(shù)(1)定義:如果一個(gè)函數(shù),在其定義域內(nèi),對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對(duì)應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論分段函數(shù)雖然由幾個(gè)部分組成,但是它表示的是一個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函

3、數(shù)的值域的并集.解析法圖象法列表法常用結(jié)論1.映射:(1)映射是函數(shù)的推廣,函數(shù)是特殊的映射,A,B為非空數(shù)集的映射就是函數(shù);(2)映射問題允許多對(duì)一,但不允許一對(duì)多.2.判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致.3.一條與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).常用結(jié)論4.函數(shù)定義域的求法【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)函數(shù)是其定義域到值域的映射.()(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1有兩個(gè)交點(diǎn).()(3)定義域相同,值域也相同的兩個(gè)函數(shù)一定是相等函數(shù).()(4)對(duì)于函數(shù)f:AB,其值域是集合B.()(5)分段函數(shù)是由兩

4、個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的.()2.(2020北京,11)函數(shù)f(x)= +ln x的定義域是_.答案 (0,+)3.已知f,g都是從A到A的映射(其中A=1,2,3),其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:則f(g(3)等于()A.1B.2C.3D.不存在x123f312g321答案 C解析 由題中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.答案 A 5.如圖表示的是從集合A到集合B的對(duì)應(yīng),其中是映射,是函數(shù).答案 解析 函數(shù)與映射都要求對(duì)于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),所以不是映射也不是函數(shù);表示的對(duì)應(yīng)是映射;是函數(shù),由于中集合A,B不是數(shù)集,所以不是函數(shù).關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1函數(shù)

5、及其有關(guān)的概念【例1】 以下給出的同組函數(shù)中,表示相等函數(shù)的有 .(只填序號(hào))f2(x):f1(x)=2x,f2(x):如圖所示.xx11x0時(shí),每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值,因此不是函數(shù)圖象.故選B.(2)由題中函數(shù)f(x)的圖象可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故選A.考點(diǎn)2求函數(shù)的定義域、值域【例2】 (1)(2020福建廈門期末,理3)函數(shù)f(x)=log2(1-x)+ 的定義域?yàn)?)A.(-,1)B.-1,1) C.(-1,1D.-1,+)(2)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=

6、2xD.y=答案 (1)B(2)D 思考已知函數(shù)解析式,如何求函數(shù)的定義域?解題心得1.函數(shù)的定義域是使解析式中各個(gè)部分都有意義的自變量的取值集合,求解時(shí),把自變量的限制條件列成一個(gè)不等式(組),不等式(組)的解集就是函數(shù)的定義域,解集要用集合或者區(qū)間表示.2.由實(shí)際問題求得的函數(shù)定義域,除了要使函數(shù)解析式有意義外,還要使實(shí)際問題有意義.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函數(shù)f(x)= +ln(ex-1)的定義域?yàn)?(2)若函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)?1,1,則函數(shù)y=f(3x+2)的值域?yàn)?)A.-1,1B.-1,0C.0,1D.2,8(3)若函數(shù)f(x2+1)的定義域?yàn)?1

7、,1,則f(lg x)的定義域?yàn)?)A.-1,1 B.1,2 C.10,100D.0,lg 2(2)函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)?1,1,由于函數(shù)中的自變量取定義域內(nèi)的任意數(shù)時(shí),函數(shù)的值域都為-1,1,故函數(shù)y=f(3x+2)的值域?yàn)?1,1.故選A.(3)因?yàn)閒(x2+1)的定義域?yàn)?1,1,則-1x1,故0 x21,所以1x2+12.因?yàn)閒(x2+1)與f(lg x)的外函數(shù)是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以1lg x2,即10 x100,所以函數(shù)f(lg x)的定義域?yàn)?0,100.考點(diǎn)3求函數(shù)的解析式思考求函數(shù)解析式有哪些基本的方法?解題心得 函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如

8、一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法;(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍;(3)方程法:已知關(guān)于f(x)與f 或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式,與其組成方程組,通過解方程組求出f(x).提醒:由于函數(shù)的解析式相同,定義域不同,則為不同的函數(shù),因此求函數(shù)的解析式時(shí),如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.(4)由f(x)+2f(-x)=x2-x,得f(-x)+2f(x)=x2+x,-2,得f(x)= x2+x.考點(diǎn)4分段函數(shù)(多考向)考向1分段函數(shù)求值 思考求分段函數(shù)的函數(shù)值如何選取函數(shù)的解析式? 考向2已知分段函數(shù)的等

9、式求參數(shù)的值A(chǔ).1B.2C.-2或2D.1或2思考求分段函數(shù)的含有參數(shù)的函數(shù)值如何選取函數(shù)的解析式?答案 D解析 當(dāng)ex-1=1時(shí),x=12符合題意.當(dāng)log3(x2-1)=1時(shí),x2-1=3,解得x=2(負(fù)根舍去),故a的值為1或2.故選D.考向3已知函數(shù)不等式求自變量的范圍思考如何選取由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式中函數(shù)的解析式? 答案 C解析 當(dāng)x0時(shí),x+11,則不等式f(x)f(x+1),即x2-1(x+1)2-1,求得- x0.當(dāng)01,則不等式f(x)f(x+1),此時(shí)f(x)=x2-10f(x+1)=log2(x+1),則01時(shí),不等式f(x)f(x+1),即log2x1.綜上可得,不等

10、式的解集為(- ,+),故選C.解題心得分段函數(shù)問題的求解策略(1)分段函數(shù)的求值問題,應(yīng)首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間,然后選定相應(yīng)的解析式代入求解.(2)對(duì)求含有參數(shù)的自變量的函數(shù)值,如果不能確定自變量的范圍,應(yīng)分類討論.(3)解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式,一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討論.考點(diǎn)4函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用【例7】 某地區(qū)上年度電價(jià)為0.80元/kWh,年用電量為a kWh.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之間,而用戶期望電價(jià)為0.40元/kWh.經(jīng)測(cè)算,下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k).該地區(qū)電力的成本

11、價(jià)為0.30元/kWh.(1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后,電力部門的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)設(shè)k=0.2a,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí),仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%?解題心得利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,為此,要從題目的文字表述中尋找等量關(guān)系.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2020北京,15)為滿足人民對(duì)美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改,設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),用 的大小評(píng)價(jià)在a,b這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:在t

12、1,t2這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);在0,t1,t1,t2,t2,t3這三段時(shí)間中,甲企業(yè)在0,t1的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.答案 解析 表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的相反數(shù),在t1,t2這段時(shí)間內(nèi),甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大,因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),故正確;在0,t1,t1,t2,t2,t3這三段時(shí)間中,甲企業(yè)在t1,t2這段時(shí)間內(nèi),斜率最小,其相反數(shù)最大,即在t1,t2的污水治理能力最強(qiáng),故錯(cuò)誤;在t2時(shí)刻,甲切線的斜率比乙的小,所以甲切線的斜

13、率的相反數(shù)比乙的大,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),故正確;在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下,所以都已達(dá)標(biāo),故正確.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.函數(shù)的定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ),它與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系決定了函數(shù)的值域,同時(shí),定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).因此要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識(shí).2.求函數(shù)y=f(x)定義域的方法:函數(shù)給出的方式確定定義域的方法列表法表中實(shí)數(shù)x的集合圖象法圖象在x軸上的投影所覆蓋實(shí)數(shù)x的集合解析法使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合實(shí)際問題有實(shí)際意義且使相應(yīng)解析式有意義的x的集合要點(diǎn)歸納小結(jié)3.函數(shù)有三種表示方法,即列表法、圖象法、解析法,三者之間可以相互轉(zhuǎn)化

14、;求函數(shù)解析式常用的方法有換元法(湊配法)、待定系數(shù)法和方程組法.4.分段函數(shù)“兩種”題型的求解策略:(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值:首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間,其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.(2)已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍:應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.要點(diǎn)歸納小結(jié)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí),首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集,然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.素養(yǎng)提升微專題2 抽象函數(shù)的定義域的類型及求法 抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的函數(shù)

15、,其有關(guān)問題對(duì)同學(xué)們來說具有一定難度,特別是求其定義域時(shí),許多同學(xué)解答起來總感覺棘手,下面結(jié)合實(shí)例具體探究一下抽象函數(shù)定義域問題的幾種題型及求法.類型一已知f(x)的定義域,求fg(x)的定義域其解法是:若f(x)的定義域?yàn)閍,b,則在fg(x)中,令ag(x)b,從中解得x的取值范圍即為fg(x)的定義域.【例1】 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,5,求f(3x-5)的定義域.【解題指導(dǎo)】該函數(shù)是由u=3x-5和f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),其中x是自變量,u是中間變量,由于f(x)與f(u)是同一個(gè)函數(shù),因此這里是已知-1u5,即-13x-55,求x的取值范圍.解f(x)的定義域?yàn)?1,5,類型

16、二已知fg(x)的定義域,求f(x)的定義域其解法是:若fg(x)的定義域?yàn)閙xn,則由mxn確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域.【例2】 已知函數(shù)f(x2-2x+2)的定義域?yàn)?,3,求函數(shù)f(x)的定義域.【解題指導(dǎo)】令u=x2-2x+2,則f(x2-2x+2)=f(u),由于f(u)與f(x)是同一函數(shù),因此u的取值范圍即為f(x)的定義域.解由0 x3,得1x2-2x+25.令u=x2-2x+2,則f(x2-2x+2)=f(u),1u5.故f(x)的定義域?yàn)?,5.類型三已知fg(x)的定義域,求fh(x)的定義域其解法是:先由fg(x)的定義域求得f(x)的定義域,再由f(x)的定義域求f h(x)的定義域.【例3】 函數(shù)y=f(x+1)的定義域是-2,3,則y=f(2x-1)的定義域是()A.0, B.-1,4C.-5,5D.-3,7答案 A解析 因?yàn)閒(x