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文檔簡介
1、第八章 總結(jié)向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向. 記作 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 模向量 SKIPIF 1 0 的模記作 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 和差 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 單位向量 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 方向余弦設(shè) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸的夾角
2、分別為 SKIPIF 1 0 ,則方向余弦分別為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 點(diǎn)乘(數(shù)量積) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為向量a與b的夾角 SKIPIF 1 0 叉乘(向量積) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為向量a與b的夾角向量 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 都垂直 SKIPIF 1 0 定理與公式垂直 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平行 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 交角余弦兩向量夾角余弦 SKIPIF
3、 1 0 SKIPIF 1 0 投影向量 SKIPIF 1 0 在非零向量 SKIPIF 1 0 上的投影 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平面直線法向量 SKIPIF 1 0 點(diǎn) SKIPIF 1 0 方向向量 SKIPIF 1 0 點(diǎn) SKIPIF 1 0 方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式 SKIPIF 1 0 一般式 SKIPIF 1 0 點(diǎn)法式 SKIPIF 1 0 點(diǎn)向式 SKIPIF 1 0 三點(diǎn)式 SKIPIF 1 0 參數(shù)式 SKIPIF 1 0 截距式 SKIPIF 1 0 兩點(diǎn)式 SKIPIF 1 0 面面垂直 SKIPIF 1 0 線線垂直
4、SKIPIF 1 0 面面平行 SKIPIF 1 0 線線平行 SKIPIF 1 0 線面垂直 SKIPIF 1 0 線面平行 SKIPIF 1 0 點(diǎn)面距離 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 面面距離 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 面面夾角線線夾角線面夾角 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 空間曲線 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 SKIPIF 1
5、 0 切向量 SKIPIF 1 0 切“線”方程: SKIPIF 1 0 法平“面”方程: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 切向量 SKIPIF 1 0 切“線”方程: SKIPIF 1 0 法平“面”方程: SKIPIF 1 0 空間曲面 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 法向量 SKIPIF 1 0 切平“面”方程: SKIPIF 1 0 法“線“方程: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 切平“面”方程: SKIPIF 1 0 法“線“方程: SKIPIF 1 0 第十章 總結(jié)重積分積分類型計(jì)算方法典型例題
6、二重積分 SKIPIF 1 0 平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度 SKIPIF 1 0 面積利用直角坐標(biāo)系X型 SKIPIF 1 0 Y型 SKIPIF 1 0 P141例1、例3(2)利用極坐標(biāo)系 使用原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 );(2) 被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡單( 含 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為實(shí)數(shù) ) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P147例5(3)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對稱時(shí),(關(guān)于x軸對稱時(shí),有類似結(jié)論) SKIPIF 1 0 P1
7、41例2應(yīng)用該性質(zhì)更方便計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)畫出積分區(qū)域選擇坐標(biāo)系 標(biāo)準(zhǔn):域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸,被積函數(shù) 關(guān)于坐標(biāo)變量易分離確定積分次序 原則:積分區(qū)域分塊少,累次積分好算為妙確定積分限 方法:圖示法 先積一條線,后掃積分域計(jì)算要簡便 注意:充分利用對稱性,奇偶性三重積分 SKIPIF 1 0 空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度 SKIPIF 1 0 面積利用直角坐標(biāo) SKIPIF 1 0 投影 SKIPIF 1 0 P159例1 P160例2利用柱面坐標(biāo) SKIPIF 1 0 相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo) 適用范圍: eq oac(,1)積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;如 旋轉(zhuǎn)體
8、 eq oac(,2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P161例3(3)利用球面坐標(biāo) SKIPIF 1 0 適用范圍: eq oac(,1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;如,球體,錐體. eq oac(,2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離. 如, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P16510-(1)(4)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章 總結(jié)曲線積分與曲面積分積分類型計(jì)算方法典型例題第一類曲線積分 SKIPIF 1 0 曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度 SKIPIF 1 0 弧長參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1) SK
9、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (3) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P189-例1P1903平面第二類曲線積分 SKIPIF 1 0 變力沿曲線所做的功參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 P196-例1、例2、例3、例4(2)利用格林公式(轉(zhuǎn)化為二重積分)條件:L封閉,分段光滑,有向(左手法則圍成平面區(qū)域D) P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論: SKIPIF 1 0 應(yīng)用: SKIPIF 1 0 P205例4P214-5(1)(4)(3)利用路徑無關(guān)定理(特殊路徑法)等
10、價(jià)條件: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 與路徑無關(guān),與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān) SKIPIF 1 0 具有原函數(shù) SKIPIF 1 0 (特殊路徑法,偏積分法,湊微分法) P211-例5、例6、例7(4)兩類曲線積分的聯(lián)系 SKIPIF 1 0 空間第二類曲線積分 SKIPIF 1 0 變力沿曲線所做的功(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分) SKIPIF 1 0 (2)利用斯托克斯公式(轉(zhuǎn)化第二類曲面積分)條件:L封閉,分段光滑,有向 P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論: SKIPIF 1 0 應(yīng)用: SKIPIF 1 0 P240-例1第一類曲面積分 SKIPIF 1 0 曲
11、面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度 SKIPIF 1 0 面積投影法 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 投影到 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 類似的還有投影到 SKIPIF 1 0 面和 SKIPIF 1 0 面的公式P217-例1、例2第二類曲面積分 SKIPIF 1 0 流體流向曲面一側(cè)的流量(1)投影法 eq oac(,1) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的法向量與 SKIPIF 1 0 軸的夾角前側(cè)取“+”, SKIPIF 1 0 ;后側(cè)取“ SKIPIF 1 0 ”, S
12、KIPIF 1 0 eq oac(,2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的法向量與 SKIPIF 1 0 軸的夾角右側(cè)取“+”, SKIPIF 1 0 ;左側(cè)取“ SKIPIF 1 0 ”, SKIPIF 1 0 eq oac(,3) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 : SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的法向量與 SKIPIF 1 0 軸的夾角上側(cè)取“+”, SKIPIF 1 0 ;下側(cè)取“ SKIPIF 1 0 ”, SKIPIF 1 0 P226
13、-例2(2)高斯公式 右手法則取定 SKIPIF 1 0 的側(cè)條件: SKIPIF 1 0 封閉,分片光滑,是所圍空間閉區(qū)域 SKIPIF 1 0 的外側(cè) P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 結(jié)論: SKIPIF 1 0 應(yīng)用: SKIPIF 1 0 P231-例1、例2(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系 SKIPIF 1 0 轉(zhuǎn)換投影法: SKIPIF 1 0 P228-例3所有類型的積分: eq oac(,1)定義:四步法分割、代替、求和、取極限; eq oac(,2)性質(zhì):對積分的范圍具有可加性,具有線性性; eq oac(,3)對坐標(biāo)的積分,積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章 總結(jié)無窮級數(shù)常
14、數(shù)項(xiàng)級數(shù)傅立葉級數(shù)冪級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)用收斂定義, SKIPIF 1 0 存在常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì) eq oac(,1) 若級數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂. eq oac(,2)兩個(gè)收斂級數(shù)的和差仍收斂.注:一斂、一散之和必發(fā)散;兩散和、差必發(fā)散. eq oac(,3)去掉、加上或改變級數(shù)有限項(xiàng), 不改變其收斂性. eq oac(,4)若級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂,且其和不變。 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 注:收斂級數(shù)去括號后未必收斂. eq oac(,5)(必要條件) 如果級數(shù)收斂, 則 SKIPIF 1 0
15、 萊布尼茨判別法若 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 收斂則級數(shù)收斂. SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 都是正項(xiàng)級數(shù),且 SKIPIF 1 0 .若 SKIPIF 1 0 收斂,則 SKIPIF 1 0 也收斂;若 SKIPIF 1 0 發(fā)散,則 SKIPIF 1 0 也發(fā)散.比較判別法比較判別法的極限形式 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 都是正項(xiàng)級數(shù),且 SKIPIF 1 0 ,則 eq oac(,1)若 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 同斂或同散; eq oac(,2)若 S
16、KIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 收斂, SKIPIF 1 0 也收斂; eq oac(,3)如果 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 發(fā)散, SKIPIF 1 0 也發(fā)散。比值判別法根值判別法 SKIPIF 1 0 是正項(xiàng)級數(shù), SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 時(shí)收斂; SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )時(shí)發(fā)散; SKIPIF 1 0 時(shí)可能收斂也可能發(fā)散.收斂性和函數(shù)展成冪級數(shù) SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 缺項(xiàng)級數(shù)用比值審斂法求收斂半徑 SKIPIF 1 0 的性質(zhì) eq oac(,1)在收斂域 SKIPIF 1 0 上連續(xù); eq oac(,2)在收斂域 SKIPIF 1 0 內(nèi)可導(dǎo),且可逐項(xiàng)求導(dǎo); eq oac(,3)和函數(shù) SKIPIF 1 0 在收斂域 SKIPIF 1 0 上可積分,且可逐
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