電磁場(chǎng)理論：第六章 電磁感應(yīng)

1、第六章 電磁感應(yīng)6.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 1、電磁感應(yīng)現(xiàn)象結(jié)論：閉合導(dǎo)線回路包圍的磁通量變化時(shí)，回路中就會(huì)產(chǎn)生電流。 法拉第實(shí)驗(yàn)：奧斯特實(shí)驗(yàn)：電流磁場(chǎng)2、楞次定律表述：感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁通總是力圖補(bǔ)償原來(lái)磁通量的變化。 楞次定律表明，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)對(duì)回路的磁通量變化起著一個(gè)“負(fù)反饋”的作用，既產(chǎn)生于磁通量的變化，又抑制著磁通量的變化，這實(shí)際上正是能量守恒定律的體現(xiàn)。 3、法拉第定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式根據(jù)法拉第實(shí)驗(yàn)與楞次定律，可得 E E 的正方向規(guī)定為回路平面法線的右手螺旋方向。 也可以表示為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的分類： 變， 變 不變， 變 變， 不變感生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)感生電動(dòng)勢(shì)與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的疊加 4、運(yùn)動(dòng)

2、回路的法拉第定律假設(shè)閉合回路l 以速度 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 在 t 時(shí)刻通過(guò) S(t) 的磁通量為 在時(shí)刻t+t，通過(guò)S(t+t)的磁通量為 t 時(shí)間內(nèi)的磁通量增量為 E 于是回路上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E 分析可知：省略上式中的時(shí)間變量 t ，則有 E感生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)所以回路上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為5、發(fā)電機(jī)原理 如圖所示，當(dāng)導(dǎo)體棒l ，以速度v 在垂直于均勻恒定磁場(chǎng)的平面內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形回路上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為 E 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的做功功率為 E 另一方面，導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)要受到磁場(chǎng)力的作用，即為保持導(dǎo)體棒勻速向右運(yùn)動(dòng)，必須使用外力外 來(lái)克服磁力，此外力做功的功率為 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)做功的能量是由外力克服磁力所做的機(jī)

3、械功轉(zhuǎn)換而來(lái)的。 6、導(dǎo)線回路中的洛侖茲力電子的總速度是： 如圖當(dāng)ab段出現(xiàn)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)，分析ab段內(nèi)的任意一個(gè)電子，其運(yùn)動(dòng)速度可以分解為兩個(gè)分量： 向下運(yùn)動(dòng)的速度 隨導(dǎo)線向右的速度 電子所受的總洛倫茲力 也可以分解成兩部分動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 安培磁力 在產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的過(guò)程中，洛倫茲力起著能量轉(zhuǎn)換者的作用，在接受外力做功的同時(shí)，將其轉(zhuǎn)換為推動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 洛倫茲力的總功為例6.1 一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為 b 和 c 的單匝矩形線圈放在時(shí)變磁場(chǎng) 內(nèi)，開(kāi)始時(shí)線圈平面的法矢 與 y 軸成角，如圖所示。求： (a) 線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和線圈上串接電阻R時(shí)的感應(yīng)電流； (b) 線圈繞 x 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感

4、應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 解： (a) 線圈靜止時(shí)，只有感生電動(dòng)勢(shì)，即 Ea 串接電阻R 時(shí) I = Ea (b) 線圈以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí) 方法一：利用Eb Eb Eb E Ea 其中感生部分為動(dòng)生部分為所以總電動(dòng)勢(shì)方法二：若令=t，即t = 0時(shí)= 0，則上式為 例6.2 一菱形均勻線圈在均勻恒定磁場(chǎng) 中以勻角速度繞其對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸與 垂直，線圈平面轉(zhuǎn)至與平行時(shí)，問(wèn)：（1） a、c 兩點(diǎn)中哪點(diǎn)電位高?（2）設(shè) b 為 ac 的中點(diǎn)，b、c 兩點(diǎn)中哪點(diǎn)電位高？ 解：（1） 在ac 段應(yīng)用含源電路的歐姆定律 ，有 E = 4Eac Eac I = E /R= Eac/Rac總電動(dòng)勢(shì)為 總電阻為故線圈的感應(yīng)電流為

5、 即 a、c 兩點(diǎn)電位相等。電流之所以能從 a 流向 c ，關(guān)鍵在于 ac 段內(nèi)有電動(dòng)勢(shì)。所以a、c 兩點(diǎn)電位是Ebc Ebc Eac 再利用I = E /R= Eac/Rac 和（2）在bc 段應(yīng)用含源電路的歐姆定律 ，有計(jì)算可得可得Ubc 之所以不為零，關(guān)鍵在于ab 段與bc 段的電動(dòng)勢(shì)不相等 即Ebc E / 8，但，故Ebc IRbc Ubc 說(shuō)明 b 點(diǎn)電位低于 c 點(diǎn)，但電流卻從 b 點(diǎn)流向 c 點(diǎn)，這是由于 bc 段內(nèi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的緣故 6.2 法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣1、法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣導(dǎo)線回路 任意空間回路任取一個(gè)空間回路 l，根據(jù)法拉第定律得 積分形式若回路對(duì)于電磁

6、場(chǎng)是不運(yùn)動(dòng)的，則求導(dǎo)就變成對(duì) t 的偏導(dǎo)，即 微分形式應(yīng)用斯托克斯定理得所以表明：時(shí)變的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)，并且這個(gè)電場(chǎng)是非保守場(chǎng)。 2、磁場(chǎng)高斯方程微分形式對(duì)推廣的法拉第定律兩邊取散度得考慮矢量恒等式 ，有 可見(jiàn) 與 t 無(wú)關(guān)的常量C。由于恒定磁場(chǎng)是時(shí)變磁場(chǎng)的特例，并且對(duì)恒定磁場(chǎng)有 ，所以C = 0。對(duì)時(shí)變磁場(chǎng)仍然有對(duì)微分形式兩邊體積分并應(yīng)用散度定理，得到積分形式表明：時(shí)變磁場(chǎng)的無(wú)散性和磁通連續(xù)性 3、時(shí)變場(chǎng)的位函數(shù)動(dòng)態(tài)矢量磁位根據(jù) ，可以引入矢量位動(dòng)態(tài)電位U所以可引入標(biāo)量函數(shù)U 時(shí)變電場(chǎng)可以表示為時(shí)變電場(chǎng)可以分成兩項(xiàng) 源場(chǎng)的性質(zhì)時(shí)變的分布電荷保守場(chǎng)時(shí)變的磁場(chǎng)非保守場(chǎng)E 可見(jiàn)，對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E

7、有貢獻(xiàn)的只是電場(chǎng)的非保守部分，而保守部分對(duì)回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)無(wú)貢獻(xiàn)。考慮時(shí)變電場(chǎng)的環(huán)路積分6.3 電感一. 自感 （第 i 匝）自感磁通 ： （線圈的）自感磁鏈 ： 若各匝線圈自感磁通相等，則 1、自感系數(shù)自感系數(shù) ：記L 稱為該線圈的自感系數(shù)（簡(jiǎn)稱自感），單位是亨利（H） 通常規(guī)定電流 I 與自感磁通正方向成右手螺旋關(guān)系，故L 0 。2、自感電動(dòng)勢(shì)由線圈電流時(shí)變?cè)谧陨砘芈樊a(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為自感電動(dòng)勢(shì)。 根據(jù)法拉第定律，單匝線圈的電動(dòng)勢(shì)為 E=N E3、自感的應(yīng)用鎮(zhèn)流器： 擊穿導(dǎo)電氣體穩(wěn)定電流 E 若線圈有 N 匝，則總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 二、互感1、互感系數(shù)（第 i 匝）互感磁通 ： （線圈1對(duì)

8、線圈2的）互感磁鏈 ： 對(duì)于線性媒質(zhì)，互感磁鏈與線圈1上的電流成正比關(guān)系，記 M21稱為線圈1對(duì)線圈2的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感，單位是亨利（H）。 互感系數(shù)可為正值亦可為負(fù)值，其取決于線圈1上的電流I1 和線圈2的截面的參考方向。 2、互感電動(dòng)勢(shì) 當(dāng)線圈1上的電流隨時(shí)間變化時(shí)，根據(jù)法拉第定律，線圈2上將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E 2 E 2 稱為線圈2上的互感電動(dòng)勢(shì)。 若線圈2上有電流 I2，而線圈1無(wú)源，則 E 13、諾伊曼公式 2I 1I 2dl 1dl 1l 圖612 兩個(gè)單匝回路的互感 1 2 R 2l 單匝線圈如圖忽略導(dǎo)線直徑的線度，有 因?yàn)樗酝砣粲泟t有諾伊曼公式R qdl2 nl2 ml1

9、 pdl1 2l ql2 pl1 圖613 分段法計(jì)算互感 1l 分段法把回路1 分成m 段，把回路2分成 n 段 將諾伊曼公式中兩個(gè)閉合回路積分分解為各線段積分之和，得 代表線段 與線段 之間的互感 其中多匝線圈兩線圈間的總互感等于所有單匝回路的互感之和 若兩個(gè)線圈間距離遠(yuǎn)大于每個(gè)線圈自身的線度，則 4、電感的串接順接情況 2y (a) 順接 I I 1y 兩線圈串聯(lián)時(shí)電流相等，所以 E =E1 +E2 于是串聯(lián)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E 為因此線圈串聯(lián)順接的等效自感為 E1E2 2y 1y (b) 逆接 I I 逆接情況 E1E2 E =E1 +E2因此串聯(lián)逆接的等效自感為所以串聯(lián)逆接的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E

10、為于是如果兩線圈之間的互感耦合可以忽略，則 “同名端”標(biāo)記法 三. 自感的計(jì)算 N 匝（密繞）線圈的自感系數(shù) 若令兩個(gè)相同的線圈重合，則兩線圈之間的互感等于線圈的自感。 對(duì)于N 匝（密繞）線圈外自感與內(nèi)自感外自感其中l(wèi)1: 導(dǎo)線回路的軸線l2: 導(dǎo)線回路的內(nèi)徑導(dǎo)線內(nèi)的磁通對(duì)自感的貢獻(xiàn)稱為內(nèi)自感，表示為L(zhǎng)i 回路的總自感： 例6.4 試計(jì)算半徑為a的圓導(dǎo)線的內(nèi)自感。 解：假設(shè) l a，則導(dǎo)線內(nèi)部的磁場(chǎng)可近似地認(rèn)為與無(wú)限長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體內(nèi)的磁場(chǎng)分布相同，即 在半徑 r 處，寬度為 dr 的截面上通過(guò)的磁通量為 這些磁通量?jī)H與半徑為r 的圓截面內(nèi)的電流交鏈，所以 所對(duì)應(yīng)的磁鏈為與電流 I 交鏈的總磁鏈為

11、 因此，長(zhǎng)為l的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為 從而得到單位長(zhǎng)度均勻?qū)w的內(nèi)自感 例6.5 設(shè)導(dǎo)線半徑為a，軸線間距離D a 。求：雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的自感。解：設(shè)導(dǎo)線上的電流為 I ，方向如圖所示，則兩導(dǎo)線間平面上任意點(diǎn)的磁通密度為 故單位長(zhǎng)度的自感為當(dāng)D a 時(shí)內(nèi)自感 單位長(zhǎng)度傳輸線交鏈的磁通量為6.4 磁場(chǎng)的能量來(lái)源：磁場(chǎng)建立過(guò)程中的外源作功 根據(jù)能量守恒定律，只要終值電流相同，不管電流建立過(guò)程如何，外源所作的功一定相同，并且轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量。 1、離散導(dǎo)體回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能對(duì)由N 個(gè)電流回路組成的磁場(chǎng)系統(tǒng)，第i 個(gè)回路的終值總磁鏈為 （i =1，2，3.N） 假定電流增長(zhǎng)過(guò)程則若 t 時(shí)刻

12、電流在 dt 時(shí)間內(nèi)改變了 ，則在此回路中引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E i 此電動(dòng)勢(shì)將阻止電流的變化，為了保證電流改變，外源必須為此作功，這部分功將成為磁場(chǎng)中儲(chǔ)存的能量，其增量為 Ei 在整個(gè)過(guò)程中磁場(chǎng)增加的總量，即是磁場(chǎng)的總能量此式可改寫為自能(或固有能) 互能 利用磁場(chǎng)能求自感L對(duì)于單電流回路系統(tǒng) 有所以2、利用 計(jì)算磁場(chǎng)能實(shí)驗(yàn)證明：磁場(chǎng)不為零的地方都有磁能存在。 對(duì)N個(gè)電流回路的系統(tǒng)，有 則系統(tǒng)磁場(chǎng)能為作替換 ，則因?yàn)闊o(wú)電流區(qū)域?qū)Ψe分無(wú)貢獻(xiàn)，故可以擴(kuò)展為包含所有電流回路的體積。 利用矢量恒等式，可得 所以磁場(chǎng)能表示為考察第一項(xiàng)將積分域擴(kuò)展到整個(gè)空間，則 S 由于增加的區(qū)域內(nèi) ，所以積分結(jié)果不變 所以 時(shí)因此整個(gè)空間的磁場(chǎng)能為稱為磁場(chǎng)能量密度 令在各向同性的線性媒質(zhì)中，磁場(chǎng)能量密度可寫成而求解無(wú)窮大 S 面上的問(wèn)題時(shí)，電流區(qū)域可視為磁偶極子例6.6 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體材料的磁導(dǎo)率為，中