簡明微積分教案0201導(dǎo)數(shù)的概念

1、教案一一0201課程機電數(shù)學(xué)課題導(dǎo)數(shù)的概念授課對象機電類專業(yè)二年制高職生課時2教材簡明微積分 主編：李亞杰，高等教育出版社教學(xué) 目標(biāo)認(rèn)知 目標(biāo)1、理解導(dǎo)數(shù)概念；2、掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。能力 目標(biāo)1、學(xué)會求專業(yè)課中涉及質(zhì)量非均勻分布的金屬棒任意點的線密度的 方法。2、會求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、逐步提高數(shù)學(xué)思維能力，分析問題和解決問題的能力。素質(zhì) 目標(biāo)提高數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識教學(xué) 重點1.理解導(dǎo)數(shù)的概念2、函數(shù)求導(dǎo)公式的正確運用；教學(xué) 難點導(dǎo)數(shù)的概念理解教學(xué) 思路通過實例引入和說明導(dǎo)數(shù)的概念； 結(jié)合圖形講解導(dǎo)數(shù)的意義； 利用導(dǎo)數(shù)的 概念解決應(yīng)

2、用問題； 典型例題結(jié)合練習(xí)鞏固和記憶所學(xué)求導(dǎo)公式， 從中滲透素 質(zhì)教育。學(xué)習(xí)效果 評價方式作業(yè)反饋與提問教學(xué)過程步驟01教/學(xué)活動教師介紹 使學(xué)生對 所學(xué)略有 認(rèn)識02教師板書教師舉例 師生結(jié)合 圖形共同 分析解決PPT教學(xué)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)和微分是微積分學(xué)中的關(guān)鍵概念.導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率，它使得人們 能夠用數(shù)學(xué)工具描述事物變化的快慢及解決一系列與之相關(guān)的 問題，所以在科學(xué)、工程技術(shù)及經(jīng)濟(jì)等各領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng) 用.而微分則闡明當(dāng)自變量有微小改變時，函數(shù)大體上改變了多 少.本章主要介紹這兩個概念及簡單的運算問題一、導(dǎo)數(shù)的概念引例1非均勻細(xì)棒的線密度均勻細(xì)棒的

3、線密度有計算公式： -時間(分)對非均勻細(xì)棒，如何計算其某一點 x0處的線密度呢?分析：取棒的一端為原點，另一端的坐標(biāo)為棒長L,棒所在的直線為x軸。對于棒上的任意一點 x , 0,x上的質(zhì)量是x的函數(shù),記為mm(x)。棒長從x0變化到x0 x一段，棒長x的質(zhì)量為棒在m(x0 x) m(x0),比值一m xm(x0 x) m(x0)x0,x0 x上的平均密度。顯然,越小，用平均密度越能表不在x0處質(zhì)量密度。令xm lim 一 x 0 xlim。m(x x) m(x0)存在則稱為函數(shù) m(x)在m m(x0 x) m(x0)x0處的線密度。即(x)limlim Lx 0 xx 0 x引例2曲線在某

4、一點切線的斜率設(shè)M (x, y)是曲線y f(x)上一定點，P(x,y)是M附近一動點，過 MP作一條割線，則一y是割線MP的斜率.當(dāng)點P沿著曲線越來越趨近于點M0304學(xué)生思考師生共同 歸納，教 師總結(jié)， 給出導(dǎo)數(shù) 定義PPT時，x越來越小，而當(dāng)x 0時，割線的極限位置就是曲線上 一點M處的切線MT ;而割線斜率的極限就是切線 MT的斜率, 即tan lim y .x 0上面兩個問題體現(xiàn)的共同的思想?定義 設(shè)函數(shù)y f (x)在點X0及其左右近旁有定義，當(dāng)自 變量在點x0處有增量 x時，函數(shù)相應(yīng)地有增量yf(x0 x) f(x0).如果當(dāng) x 0時，比值一y的極限存在，這個極限值就叫做函數(shù)y

5、 f(x)在點xxo處的導(dǎo)數(shù)，記為y/ |x x0,即、，/ 1y.f (Xox)f(xo)y | x xolimlim x 0 xx 0 x函數(shù)y f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)也可記為 f/(x0),或0506學(xué)生記憶 書寫符號教師指出dydx函數(shù)f(x)在點x0處有導(dǎo)數(shù)，簡稱函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo)，否則稱函數(shù)f(x)在點x0不可導(dǎo).如果函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi) 每一點處都可導(dǎo)，那么對于每一個x (a, b),都有一個導(dǎo)數(shù)值f/(x)與之對應(yīng)，所以f/(x)也是x的函數(shù)，稱其為函數(shù) y f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常導(dǎo)函數(shù)也稱為導(dǎo)數(shù).記為 y1或f/(x),或dy .在自變量明確的情形下，y；

6、也可寫作/dxy .07教師啟發(fā) 學(xué)生得出引例1用導(dǎo)數(shù)表示為：函數(shù) m(x)在x0處的線密度為質(zhì)量m(x)在Xo處的導(dǎo)數(shù)m/(x0)；引例2用導(dǎo)數(shù)表示為：曲線 y f (x)在M處切線的斜率為 函數(shù)y f (x)在Xo處的導(dǎo)數(shù)f / (x0),這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義08091011教師介紹 導(dǎo)數(shù)的概 念在其他 學(xué)科的應(yīng) 用PPT教師板書啟發(fā)學(xué)生 思考總結(jié) 步驟教師講解 并舉例說 明導(dǎo)數(shù)的概念廣泛地應(yīng)用于各門學(xué)科之中，在科學(xué)技術(shù)中常常 把導(dǎo)數(shù)叫做變化率，函數(shù)y f(x)在點x0處的變化率即導(dǎo)數(shù)f/(Xo),反映的是函數(shù)在點Xo處變化的快慢程度.在實際問題中，變化率的含義要由函數(shù)的實際意義來確定.問

7、題1電流強度電流的大小是用單位時間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量的多少 來描述的.若電量Q與時間t之間的關(guān)系為 Q Q(t),則在 (t,t t)時間內(nèi)，導(dǎo)線的平均電流為QQ(t t) Q(t)tt在某日刻t的電流為一、c/一、rQr Q(tt)Q(t)iQ(t)litmotltmot上述導(dǎo)數(shù)值越大，說明在 t時刻通過導(dǎo)線橫截面的電量越多，此 時導(dǎo)線的電流越大.問題2化學(xué)反應(yīng)速度化學(xué)反應(yīng)速度是用單位時間內(nèi)生成物濃度變化的多少來描 述的.若某物質(zhì)的濃度 N與時間t的關(guān)系為 N N(t),則在 (t,t t)時間內(nèi)，濃度的平均變化率為NN(t t) N(t)tt那么，該物質(zhì)在t時刻的瞬時反應(yīng)速度為Z/.、

8、1-N N(tt)N(t)N 61tm0tltmot上述導(dǎo)數(shù)值越大，說明物質(zhì)在t時刻的反應(yīng)速度越快.二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y f(x)的導(dǎo)數(shù)可分為以卜二個步 驟：(1) 求函數(shù)的增量：y f(x x) f(x)；(2)算比值：/ f(x x) f(x)； xx(3)取極PM： y lim ylim()( ) .x o xx ox例1求函數(shù)y C ( C是常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解(1)求函數(shù)的增量：因為y C ,即不論x取何值，y的1213學(xué)生思考教師PPT展示求導(dǎo) 公式值總是C ,所以 y 0 ；(2)算比值：_y0 ；x(3)取極PM：y/lim ylim 00. 即(C)

9、/0.xx 0 xx 0 例2求函數(shù)y 4rx的導(dǎo)數(shù).解(1)求函數(shù)的增量：y Jx x xx ；(2)算比值：yJx xJx (Jxx Jx)(Jx xJx)xxx(Jx x八)1V x x xTx /y11(3)取極限：y lim lim .-=.x 0 xx 0Jxx Mx2x 1,得5c 3c/7 2x/5 25廠y(x2) x2xvx.22例4 求卜列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)._.1 .y cosx,在 x 一處； (2) y In x,在 x 一處.62解(1 ) y/ (cos x)/ sin x y/sin xx _x _6612/1/1y (Inx)/y/1-12.xzxxz x

10、x2x2.對卜列函數(shù)求y的值.x3y x 2 ,當(dāng) x 2, x 0.1 時；1(2) y ,當(dāng) x 2, x 0.1 時. x2.一物體作直線運動，其運動方程為S 3t25t (單位：時間s;長度m).計算：(1)物體從2s到(2+ t)s的平均速度；(2)物體在2s時的瞬時速度.3.求卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) y 工；(2) y x3 杼 X ；Vx_ x _ x(3) y log 3 x ；(4) y 23； TOC o 1-5 h z 2 321，x x(5) y 2- ；(6)y ：=：-. HYPERLINK l bookmark6 o Current Document xx54.求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù).-5y sinx, x 0; (2) y cosx, x ；6 f (t) arct