2021-2022學(xué)年福建省三明市第二中學(xué)高一下學(xué)期階段（二）考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 16 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁(yè)2021-2022學(xué)年福建省三明市第二中學(xué)高一下學(xué)期階段（二）考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限故選：B2如圖，已知等腰三角形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，則這個(gè)平面圖形的面積是（）ABCD【答案】A【分析】作出的平面圖形，計(jì)算出、的長(zhǎng)，利用三角形的面積可求得結(jié)果.【詳

2、解】在等腰三角形中，則，作出的平面圖形的圖形如下圖所示：由題意可知，且，因此，.故選：A.3如圖，在ABC中，設(shè)，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)向量的加法法則，即可求解.【詳解】解：由題意得：，故選：D.4如圖所示，平面，且，直線，過，三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過（）A點(diǎn)B點(diǎn)C點(diǎn)但不過點(diǎn)D點(diǎn)和點(diǎn)【答案】D【分析】由平面的基本性質(zhì)易知與的交線必通過點(diǎn)和點(diǎn).【詳解】由已知可得點(diǎn)，又，所以，有平面的基本性質(zhì)可得，所以與的交線必通過點(diǎn)和點(diǎn).故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，是?？碱}型，試題較易.5已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則ABC的外接圓的直徑為（

3、）ABCD【答案】C【分析】先由面積公式求出c，利用余弦定理求出b，利用正弦定理求出外接圓的直徑.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?由余弦定理得：.由正弦定理得：.故選：C6如圖，已知A、B是圓C上兩點(diǎn)，若，則（）A2B4C6D8【答案】D【分析】取AB的中點(diǎn)D，利用數(shù)量積的定義結(jié)合圓的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】在圓C中，取AB的中點(diǎn)D，連CD，如圖，則有，而，所以.故選：D7在棱長(zhǎng)為的正方體中，M是棱的中點(diǎn)，過，B，M作正方體的截面，則這個(gè)截面的面積為（）ABCD【答案】B【分析】首先作出截面，再求截面面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，四邊形即過，B，M三點(diǎn)的截面，此截面為等腰梯形，上底，下底，腰，

4、所以梯形的高 所以梯形的面積 故選：B8在銳角中，的對(duì)邊分別是，則的范圍是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而得到，再由得，所以，代入化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】在銳角中，因?yàn)椋?所以，解得，所以，而，所以，所以由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A.二、多選題9已知向量，設(shè)，的夾角為，則（）ABC在上的投影向量為D【答案】BD【分析】首先求出，再根據(jù)向量數(shù)量積、模及夾角的坐標(biāo)表示一一計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；， 所以，因?yàn)?，所以，故D正確；又，故在上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；故選：BD10如圖所示，在正方體中，O為DB的中點(diǎn)，直線交平面于

5、點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（）A，M，O三點(diǎn)共線B平面C直線與平面所成角的為D直線和直線是共面直線【答案】ABC【分析】根據(jù)正方體的特性，依次分析各項(xiàng)正誤.【詳解】由正方體的特性可知，為正方體的體對(duì)角線，平面，平面平面于，又交平面于點(diǎn)，故點(diǎn)在上，故A項(xiàng)正確；由正方體的特性可知，平面，平面，故，同理，于點(diǎn)，故平面，故B項(xiàng)正確；設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，直線與平面的夾角為，則，點(diǎn)到平面的距離為，故，C項(xiàng)正確；直線與直線為異面直線，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11有下列說法，其中錯(cuò)誤的說法有（）A在正方體中，E，F(xiàn)，P，Q分別為，的中點(diǎn)，則直線EF與直線PQ所成角的大小是.B四面體中，面BCD，垂足為O，若三

6、條側(cè)棱兩兩垂直，則O為的內(nèi)心.C在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是關(guān)于x的方程：的一個(gè)根.D若直線a與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線平面.【答案】ABD【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式可判斷A；連接交于，連接交于，利用線面垂直的判斷和性質(zhì)得到，從而可判斷B；把代入可判斷C；直線a與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線a可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行可判斷D.【詳解】對(duì)于A,以為原點(diǎn)，所在的直線分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以，則直線EF與直線PQ所成角的大小是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接交于，連接交于，因?yàn)椋云矫?，平面，所以，平面?/p>

7、平面，所以，且，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，所以平面，平面，所以，為的垂心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則，故C正確；對(duì)于D， 若直線a與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線a可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.12若ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A角C一定為銳角BCD的最大值為【答案】BCD【分析】先由倍角公式化簡(jiǎn)得即可判斷A選項(xiàng)；由余弦定理即可判斷B選項(xiàng)；由正弦定理即及和角公式可判斷C選項(xiàng)；由正切和角公式及基本不等式即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由可得，又，故

8、，故為鈍角，A錯(cuò)誤；又由余弦定理，化簡(jiǎn)得，B正確；由正弦定理，即，又，故，即，即，C正確；由上知，為鈍角，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，D正確.故選：BCD.三、填空題13已知為虛數(shù)單位，若，則_【答案】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得；【詳解】解：，所以，所以，所以；故答案為：14若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角大小為_【答案】13534【分析】利用平面向量的數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則計(jì)算出、的值，利用公式，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?、是夾角為的兩個(gè)單位向量，則，所以，設(shè)與的夾角為，所以，所以.故答案為：.15在銳角

9、ABC中，a，b，c分別為角A，B，C，若，則_【答案】【分析】先由正弦定理求得，再用余弦定理即可求得.【詳解】對(duì)于，由正弦定理得：.因?yàn)?所以，所以.因?yàn)?所以.由余弦定理得：.故答案為：.16如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交AD于點(diǎn)F，若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用輔助角公式即可求解.【詳解】解：如圖所示：建立平面直角坐標(biāo)系，則，由題意可設(shè)：，則，其中，的最小值為.故答案為：.四、解答題17已知，（其中為虛數(shù)單位）(1)若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若其中是復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)

10、），求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，再根據(jù)純虛數(shù)性質(zhì)求解；（2）根據(jù)題意得，即，求解不等式即可.【詳解】(1)由，得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，所以(2)，因?yàn)椋?，即即，解?8已知平面向量，(1)若，求k的值；(2)若，求【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求值；（2）根據(jù)兩向量平行，列式求，再求的坐標(biāo)，即可求模.【詳解】(1)，得，解得：或；(2)，得，解得：或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上：或19已知圓錐SO的底面半徑，高(1)求圓錐SO的母線長(zhǎng)；(2)圓錐SO的內(nèi)接圓柱的高為h，當(dāng)h為何值時(shí)，內(nèi)接圓柱的軸截面面積最大，并求出最大值【答案

11、】(1)13(2)；最大值為30【解析】(1)圓錐SO的底面半徑，高，圓錐SO的母線長(zhǎng)；(2)作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中，設(shè)圓柱底面半徑為r，則，即設(shè)圓柱的軸截面面積為當(dāng)時(shí)，有最大值為3020如圖正方體中，棱長(zhǎng)為1， (1)求證：AC平面；(2)求二面角的平面角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，BD，平面，AC平面；(2)，所以，又，而，面BAC，為二面角的平面角在中，21如圖，直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若，證明：平面平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則為

12、中點(diǎn)，連接，易知，根據(jù)線面平行的判定可證平面；（2）由題設(shè)得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定有，由已知線段的長(zhǎng)度求、，再由勾股定理知，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定可證平面平面【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，又平面，平面平面（2）是直三棱柱，平面，又平面，由且為的中點(diǎn)，即，又，平面，又平面，由，得，即，又，平面，又平面，平面平面.22三明如意湖濕地公園是以水為主題的公園，分生態(tài)凈化區(qū)、生態(tài)保育區(qū)、生態(tài)科普區(qū)三個(gè)區(qū)域，具有生態(tài)觀光、休閑娛樂多種功能欲在該公園內(nèi)搭建一個(gè)平面凸四邊形ABCD的體閑、觀光及科普宣教的平臺(tái)，如圖所示，其中百米，百米，ABC為正三角形，建成后BCD將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域，ABD將作為科普宣教濕地功能利用、弘揚(yáng)濕地文化的區(qū)域(1)當(dāng)時(shí)，求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域BCD的面積；(2)求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域BCD的面積的最大值【答案】(1)（百米）2(2)（百米）2【分析】