12.2-對(duì)坐標(biāo)曲面積分課件

1、曲面的側(cè) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法兩類曲面積分的聯(lián)系12.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的實(shí)際背景 內(nèi)容觀察以下曲面的側(cè)有上側(cè)和下側(cè)有內(nèi)側(cè)和外側(cè) 通常光滑曲面都有兩側(cè).(假設(shè)曲面是光滑的)一、預(yù)備知識(shí)有兩側(cè)的曲面.(1)雙側(cè)曲面1. 曲面的分類有左側(cè)和右側(cè)(2) 單側(cè)曲面默比烏斯(Mobius)帶.B和D 粘在一起形成的環(huán)不越過其邊界，可以這在雙側(cè)曲面上是不可能的.它是由一張長(zhǎng)方形紙條ABCD,扭轉(zhuǎn)一下,將A和C粘在一起，行帶.小毛蟲在莫比烏斯帶上,爬到任何一點(diǎn)去.Mobius(1790-1868) 19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家默比烏斯(Mobius)帶. 我們只考

2、慮雙側(cè)曲面， 不考慮單側(cè)曲面.2.有向曲面有向曲面的方向確定了曲面的側(cè).設(shè)有向曲面 的單位法向量為3. 有向曲面在坐標(biāo)面上的有向投影設(shè)有有向曲面， 假定的余弦上各點(diǎn)處的法向量與 z軸的夾角有相同的符號(hào). 在曲面上取一小塊有向曲面(上側(cè))(下側(cè))在xOy坐標(biāo)面上的有向投影為 規(guī)定：記 為 在 xOy 面上的投影區(qū)域的面積.(垂直) ，(前側(cè))(后側(cè))(垂直)同理可定義 在yOz坐標(biāo)面及zOx坐標(biāo)面的有向投影.xOy 面：上正下負(fù)垂直為零yOz 面：前正后負(fù)垂直為零zOx 面：右正左負(fù)垂直為零(右側(cè))(左側(cè))(垂直) 為 在yOz 面上的投影區(qū)域的面積. 為 在zOx 面上的投影區(qū)域的面積.流向曲

3、面一側(cè)的流量.流量引例 為平面A指定側(cè)的單位法向量)(斜柱體體積)(1)流速為常向量有向曲面為有向平面區(qū)域 A,求單位時(shí)間流過A的流體的流量(假定密度為1).二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的背景 (S為有向平面區(qū)域 A的面積，(2) 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體給出,函數(shù) 流體的密度與速度均不隨時(shí)間而變化(假定密度為1)的速度場(chǎng)由不是常向量,為有向曲面求在單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的流量是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,分割近似 求和取極限分割近似求和取極限設(shè) 為光滑有向曲面，或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分，記作被積函數(shù)積分曲面第二類曲面積分存在且唯一，向量場(chǎng)若對(duì) 的任意分割和局部任意取點(diǎn)， 就稱此極限為 F 在有向曲面上的

4、1.定義三、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)在 上有界，有向投影元素注1：若 為封閉曲面, 記為注2：特別地稱為Q 在有向曲面上對(duì) z, x 的曲面積分;稱為R 在有向曲面上對(duì) x, y 的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對(duì) y, z 的曲面積分;3.物理意義流向指定側(cè)的流量2. 存在條件在光滑有向曲面上連續(xù)，則第二類曲面積分存在.4.性質(zhì)5.兩類曲面積分的聯(lián)系其中為有向曲面上任意點(diǎn)（x,y,z）處指定側(cè)的單位法向量.為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè) , 計(jì)算解例1 設(shè)的單位法向量四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法思想:化為二重積分計(jì)算.求xy型積分(1)(2)第二類曲面積分,必須注意曲面所取的注側(cè).于是，上正下負(fù)前正后負(fù)右正左負(fù)垂直為零上正下負(fù)前正后負(fù)右正左負(fù)垂直為零解:例2. 當(dāng)是xOy坐標(biāo)面的一個(gè)區(qū)域 時(shí)，曲面積分取上側(cè)時(shí)與二重積分有什么關(guān)系？則取下側(cè)時(shí)解投影域 例3計(jì)算其中是球面在部分的外側(cè).取上側(cè)取下側(cè)極坐標(biāo)注：不可用奇偶對(duì)稱性得例4. 計(jì)算邊長(zhǎng)為 2a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解: 取上側(cè)；取下側(cè).,其中 是以原點(diǎn)為中心, 由于垂直為零，又例5. 計(jì)算曲面積分其中解法一:旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面 z=