重要高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項(xiàng)和七種求和方法-練習(xí)及答案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié).等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an.an=d （ d 為常數(shù)），an=a+（n1）d等差中項(xiàng)：x, A, y成等差數(shù)列u 2A=x + yn n -1 d2a1an n刖 n 項(xiàng)和：Sn =- = na12性質(zhì)：（1）若mn巾p ，則amAWpd ；（2） an為等差數(shù)列=Sn=an2+bn（a, b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：冬士=q （q為常數(shù)，q*0）, ann 1an =aq等比中項(xiàng)：X、G、y成等比數(shù)列=G2=xy ,或G=JXy前n項(xiàng)和:（要注意公比q ）na (q =1)Sn 二 a 1 -qn(q = 1)

2、1-q性質(zhì)：MJ是等比數(shù)列(1)若m + n = p + q ,則a/ an =ap- aq.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法、公式法 例1已知數(shù)列an滿足%中=2%+3M 2n , a1 = 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 TOC o 1-5 h z 解：an書=2an+3M 2n兩邊除以2nL得筆=尊+3 ,則船-尊=之故數(shù)列 e是以 2222222勺=2=1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得包 = 1+（n-1）3,所以21222n231 n數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=（-n）2no22、累加法an - an 4 = f (n)例2已知數(shù)列an滿足an+ =an + 2n +1,

3、a1 =1,求數(shù)列4的通項(xiàng)公式。學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：由 an4 =an+2n+1 得 an斗一an =2n+1 則an - (an -an 1) ( an J. _ an -2) I 11 (a3 - a2 ) . ( a2 f al) . al =2(n1) 1 2(n2)1 | (2 2 1) (2 1 1)1 = 2(n -1) (n -2) | 2 1 (n -1) 1 . 2(1n (n-1) 12=(n -1)(n 1)1 2 二 n所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =n2。例3已知數(shù)列an滿足an4=3an +2 M 3n +1, a1 =3,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。解：an+=3a

4、n +2M3n +1兩邊除以3+ 得熱=粵+2+工，333 3貝U匯_a3n 13nn -1三、累乘法江=f(n)an例4已知數(shù)列an滿足an4=2(n+1)5nM an, a1 =3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解:因?yàn)?an書=2(n +1)5nMan, a1 =3,所以 an #0,則=2(n +1)5”，故 anan an 3a3 a2an =lH a1an 4 an 2a2 a1= 2(n -1 1)5142(n -2 1)52(2 1) 522(1 1) 51 3=2n=n(n-1) IH 3 2 5(n/)g)121 3n(n 4)=3 2n , 5 n!n(n 4)所以數(shù)列an的通項(xiàng)

5、公式為an =3父2n，乂5丁 Mn!.例5 (20XX年全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列 an滿足 a1 =1, an =a1 +2a2 +3a3 +IM +(n 1)an口(n 之 2),求an的通項(xiàng)公式。學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：因?yàn)?an =a1+2a2+3a3+|+(n-1)an(n i2)所以 an + =a1 +2a2 +3a3 +| +(n 1)an+ nan 用式一式得 an 1 -an =nan.則 an 1 =(n , 1)an(n 一2)故包1 -n 1(n _2)an四、待定系數(shù)法 (重點(diǎn))例6已知數(shù)列an滿足an4=2an+3M5n, a1=6,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

6、。解：設(shè) an書+x 父5n* =2(an+x M5n)將an4 =2an +3M5n代入式，得 2an + 3M5n+xx5n*=2an+2xx5n，等式兩邊消去 2an,得3 5n+x 5n+=2x 5n,兩邊除以5n，得3ExNx則W代入式得an省5n* = 2(an 5n)例7已知數(shù)列an滿足工.=3an +5父2n +4, a1 = 1,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an書+x 黑2“* + y =3(an+xM 2n + y) 將an平=3an+5 M2n+4代入式，得3an 5 2n 4 x 2nl y =30 x 2n y)整理得(5 十 2x)M2n +4 + y =3xM

7、2n +3y o5 2x=3x x=5令，則，代入式得an書+5黑2 +2 = 3(an+5黑2 +2)4 y =3yy = 22例8已知數(shù)列an滿足%* =2烝+ 3n +4n +5, a1 =1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an書 +x(n +1)2 + y(n +1) + z = 2(an + xn2 + yn + z) 學(xué)習(xí)必備歡迎下載將an4 =2an +3n2 +4n +5代入式，得 TOC o 1-5 h z 222、 一2an +3n +4n+5+x(n+1) + y(n+1) + z = 2(a0+xn +yn + z),則222an (3 x)n (2x y 4)n (x

8、 y z 5) = 2an 2xn 2yn 2z等式兩邊消去 2an ,得(3+x)n2+(2x + y+4)n+(x+y + z + 5) = 2xn2 +2yn + 2z , 3 x = 2xx = 3!J口斛方程組2x + y+4=2y ,則y =10,代入式，得I x y z 5=2z z=18an+ +3(n +1)2 +10(n +1) + 18 =2(an +3n2 +10n +18) 五、對(duì)數(shù)變換法例9已知數(shù)列an滿足an.=2 M 3n M a： , a1 = 7 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n4 =2父3nMa；, a=7,所以an 0, an書a 0。在an書=2父

9、3nM a5式兩邊取常用對(duì)數(shù)彳導(dǎo) lg an +=5lg an + n lg3 + lg 2設(shè) lgan由 +x(n +1) +y =5(lg an +xn +y)(11六、迭代法例10已知數(shù)列an滿足an書=a；(n4)2n, a1 二5,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an 1 =a；(n 1)2n3n 2n ,所以an = an3(n 4) 2n 2 3n 2n 工= an2七、數(shù)學(xué)歸納法例11已知an+ =an.8(n 1)22 ，(2n 1) (2n 3)8a1 =-，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(其他方法呢？) 9解：由 an 1 = an .8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及a

10、1學(xué)習(xí)必備歡迎下載 TOC o 1-5 h z 8(1 1)88 224a2 a1 22 =-(2 1 1) (2 13)9 9 25258(2 1)248 348a3222(221)2(2 23)2252549498(3 1)488480a4 = a3 -22 =(231) (2 33)49498181由此可猜測(cè)an_2D 一12,(2n 1)2往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(1)當(dāng) n =1 時(shí),一2一_(2 11) -1-82(2 11)9所以等式成立。(2)假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)等式成立，即ak2/(2 k 1) -12-,則當(dāng) n = k+1 時(shí),(2 k 1)ak 1 = ak8(k

11、1)-2_ 2(2 k 1) (2k 3)2(2k 1)2 -18(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)22_2_2_(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 3)2 -12(2 k 3)222( k 1) 12 -12( k 1) 12由此可知，當(dāng)n = k +1時(shí)等式也成立。r 一 *根據(jù)(1) , (2)可知，等式對(duì)任何 nW N都成立。八、換元法例12已知數(shù)列an

12、滿足an+=(1 +4an +j1+24an), a1 =1 ,求數(shù)列4的通項(xiàng)公式。學(xué)習(xí)必備歡迎下載24解：令 bn = 1 24an ,則 an =一 (bn -1)一121故an4 =癡(4斗一 1)，代入 門卡=行(1 + 4dn + JT12面)得 TOC o 1-5 h z 2112(bn1 -1)1 4(b2-1) bn2416242即 4bn1 =0 3)因?yàn)閎n =尸福之0,故04=5+24-“131則 2bn+=bn+3,即 bn4=一燈+,可化為必用 一 3 = (bn - 3),222九、不動(dòng)點(diǎn)法21a- -244 an 1例13已知數(shù)列an滿足an書=-n ,a1 =

13、4 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。-.21x -24 o21 x 24 ,一*斛：令 x =,得 4x 20 x + 24 = 0 ,則 x1 =2, x2 =3是函數(shù) f (x)=的兩個(gè) TOC o 1-5 h z 4x 14x 1不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?1an -24 2an 1-2_ 4an 121an-24 -2(4an1) _ 13an -26 13an-2an 1-3- 21an -24- 21an-24-3(4an1) - 9an -27 - 9 an- 34an 1-3十、倒數(shù)法2 anan 2a1 二1，an 書,求 an4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求

14、和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn = n(a1 +an) = na1 + n(n-1) d TOC o 1-5 h z 22na1(q =n2、等比數(shù)列求和公式：Sn=a(1q)a1 一 anq/-=-(q、1-q 1-q學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、Sn = k =1n(n 1)24、八，1Sn = k =n(n 1)(2n 1) 6kJn5、Sn 八 k3 k 4例1求x+x? + x3 +x” +的前n項(xiàng)和.*一、一尸4*一_例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n , n C N ,求 f (n)=Sn(n - 32)Sn的最大值.1二、錯(cuò)位相減法（等差乘等比）一 .一 _一23一

15、一 n1例 3求和：Sn=1+3x+5x +7x + 一十(2n1)x例4求數(shù)列2,當(dāng)與，W，前n項(xiàng)的和. TOC o 1-5 h z 2 22 232n2n 1解：由題可知，下的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列七的通項(xiàng)之積22n設(shè)Sn1 Sn2246=+ + +22223246=+ + +-2342222n ,十 , 2n2nr 12得(1)Sn =2 222n 1l.Z.A.Z.22（設(shè)制錯(cuò)位）=22八2-3 八42221 2nn 42 n 12 n 2n 1（錯(cuò)位相減）三、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可

16、以得到 n個(gè)（a1 + an）.例 5求證：C0 +3C： +5C2 + (2n +1)C： =(n+1)2n證明： 設(shè) Sn =C0 + 3C： +5C；+(2n+1)C；把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序）Sn =(2n +1)C； +(2n -1)C丁+ +3C； +C0又由Cnm =C；引可得學(xué)習(xí)必備歡迎下載 TOC o 1-5 h z Sn =(2n+1)C0 +(2n1)C： + +3C/+C；+得 2Sn =(2n +2)(C： +C： + +C+C：) = 2(n+1) ,2n(反序相加)Sn = (n 1) 2 n例 6求 sin21 +sin2 2 + sin2 3 + +sin28

17、80+sin2 89 -的值解：設(shè) S =sin21+sin2 2 一 + sin2 3 一 + + sin 2 88+sin2 89 -.將式右邊反序得_222、2 一.2S =sin 89 +sin 88 + +sin3 +s i n 2 +sin1 .(反序)22又因?yàn)?sinx=cos(90 fx),sin x cos x=1+得(反序相加)2-22 一 222 一2S = (sin 1 + cos 1 ) + (sin 2 + cos 2 ) + + (sin 89 + cos 89 ) = 89S= 44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)

18、拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 111例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1,+4,= + 7,，F(xiàn)工+3n2 , a a a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) ak = k(k 1)(2k 1) = 2k3 3k2 k TOC o 1-5 h z nnSn = k(k +1)(2k +1) = Z (2k3 +3k2 +k)k 1k 1將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得nnnSn= 2Z k3 +3 k2 +Z k(分組)k 1k=1k=1五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合，使之

19、能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如：sin 1(1) an = f(n + 1) f (n)(2) ： = tan(n+1) -tanncosn cos(n 1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載ann(n 1)an -(2n)2(2n -1)(2n 1)=1 -(-)2 2n -1 2n 1ann(n-1)(n 2) 4n(n 1) (n 1)(n 2)12(n 1) -n 1n(n 1)2nn(n 1)2nn_jnn 2 (n 1)2，則 Sn = 1(n 1)2n 1例9求數(shù)列產(chǎn),L L, 1223的前n項(xiàng)和.例 10在數(shù)列a n中，ann 十又bn2,求數(shù)列b n的刖n項(xiàng)a n an

20、1的和.例 11求證:cos1解:cos0 cos1 cos1 cos22 /cos88 cos89 sin 1cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂項(xiàng)）cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89（裂項(xiàng)求和）sin 1sin1c(tan89 -tan 0 )=1 一：cot1 =sin1cos1. 2sin 1-(tan 1 - tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 - tan 2 ) tan 89 - tan 88 原等式成立六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)

21、列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求Sn.例 12 求 cos1 + cos2+ cos3 + + cos178 + cos179 的值.解：設(shè) Sn= cos1+ cos2 + cos3 + + cos178 + cos179cosn = -cos(180 -n )（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn=(cos1 + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + (cos3 + cos177 ) + -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（合并求和）+ ( cos89 + cos91 ) + cos900例13數(shù)列an：a=1,a2=3,a3=2,

22、a7=an 平an,求S2002.解：設(shè)2002= ai +a2 +a3 +22002a1 1, a2 3, a3 2, an 崔=an書 一 an 可得a7=1, a8 =3,a9 - 2, a10 - -1, a11 - -3, a12 二 一2a6k 1 - 1, a6k 2-3, a6k 3 - 2, a6k 4-1, a6k 5 - -3, aa6k 1 26k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 - 0（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）- -3, a6 - -2,（合并求和） a6k .6)S2002= a1a2 - a3 - 22002=(a1 , a2 a3 , 26), (a7

23、 a8 .七或)一 (a6k 1a6k 2(a1993 a1994 . a1998 ) a1999 a2000 a2001 a2002=21999 22000 22001 22002=26k 1 , a6k 2 - a6k 3，26k 4=5例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 = 9，求10g 3 a1 + log 3 a2+ ,+log 3 a10的值.解：設(shè) Sn = log 3 2110g 3 a2Tog 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m + n = p+q= am2n =2paq(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log a M +logaN =logaM N 得Sn = (log

24、3 21 +log3a10) +(log3a2 +log3a9) + +(log3a5 +log3a6)(合并求和)=(log 3 a1 210) (log 3 a2 29)log 3a5 a6)=log 3 9 log 3 9 log 3 9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和學(xué)習(xí)必備歡迎下載先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 1 +11 +111 + +U=1 之和.n個(gè)1 TOC o 1-5 h z 11（找通項(xiàng)及特征）解：由于 111 . . 1 = - x 999 9 = (10k 1)一百

25、r9 一百19111 111 二-1111n個(gè)1（分組求和）=1(101 -1) 1(102 -1) 1(103 -1)1(10n -1)9999=1(101 102 10310n)-1(1 1 11)99n個(gè)1=1 10(10n -1) n910 -191=(10n 1 -10-9n)81例 16已知數(shù)列an： an =，求Z (n+1)(an an由)的值.(n 1)(n 3) nw數(shù)列練習(xí)、選擇題.已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3 - a9 =2 a52, a2=1,則a1 = TOC o 1-5 h z A. 1B. -C.、2D.222.已知為等差數(shù)列,為+%+/=1。50+%+

26、% = 99則叼等于A. -1B. 1C. 3D.7.公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn .若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8 =32，則A. 18B. 24C. 60D. 90 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載4設(shè)Sn是等差數(shù)列a#的前n項(xiàng)和，已知a2=3, a6=11,則S等于A. 13B. 35C. 49D. 63.已知4 為等差數(shù)列，且a7-2a4 = -1, a3=0,則公差d =(D) 2 TOC o 1-5 h z 11(A)-2(B)-(C)-22.等差數(shù)列 an的公差不為零，首項(xiàng)a=1, a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前 10項(xiàng)之和A. 90B. 100C. 145 D. 19

27、0.等差數(shù)歹IQn的前n項(xiàng)和為Sn ,已知am_1 +am書一a： =0 , Szm=38，貝U m =382010(D) 9 .設(shè)4是公差不為0的等差數(shù)列，4=2且aa3,a6成等比數(shù)列，則%的前n項(xiàng)和& =A.21n7n-T-442 n 5nB. 十 332n3nf-24.等差數(shù)列 an的公差不為零，首項(xiàng)a=1, a?是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 TOC o 1-5 h z A. 90B.100 C.145 D.190.二、填空題1設(shè)等比數(shù)列an的公比q = 1,前n項(xiàng)和為& ,則盤=.2a4.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S1

28、2成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則T4 ,通成等T12比數(shù)列.在等差數(shù)列an中，a3 =7 =a2 +6,則 a6 =.等比數(shù)列an的公比q 0 ,已知a2 =1 , an七+an由= 6an,則 an 的前4項(xiàng)和S4= .學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)列練習(xí)參考答案一、選擇題 TOC o 1-5 h z 2n.【答案】B【解析】設(shè)公比為q,由已知得a1q2 q8 =2（a1q4 ），即q2 = 2,又因?yàn)榈缺葦?shù)列烝的公比為正數(shù)，所以q =.J2，故a=a2 = _1_ = _!，選b q 、22.【解析】ai+a3+a5=105 即3a3=105a3=35 同理可得 a4=

29、33公差 d =a -a3=-2a20 =a4 +(20 -4)xd =1.選 B?！敬鸢浮緽2一. 一一 2一_ _ .、一 一 _.答案：C【解析】由a4 =%27得 + 3d) = (ai + 2d)(ai + 6d)得2al + 3d = 0 ,再由c56S8 =8a +yd =32 得八,，八一，八90， 一一2al + 而=8Ud =2,a1 =-3，所以 0 = 10a +萬d = 60，.故.解：5=771=逅3=73A = 49.故選 C TOC o 1-5 h z 222a2 = a1d = 3 一 1al = 1,a7 = 1 6 2=13.a6 -a1 5d -11d

30、=2c7(a1 a7)7(1 13)所以& =49.故選C.22.【解析】a72a4= a?+4d2(a 3 + d) = 2d = 1 = d =【答案】B2.【答案】B【解析】設(shè)公差為d ,則(1+d)2 =1 11+4d) . d W0,解得d =2,S10 = 100.【答案】C【解析】因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以，am,+ am書=2am,由am+am+ a1 = 0 ,得：2am am2 = 0,所以，am =2,又 S2m4 = 38,即（2m仇；1 +a2m,）=38,即（2m 1）X2=38,解得 m=10,故選.C。1 .【答案】A解析設(shè)數(shù)列an的公差為d ,則根據(jù)題意得（2 +2d）2 = 2 （2 +5d）,解得d =一或22-d =0 （舍去），