3.4生活中的優(yōu)化問題舉例 (3)

1、3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例 生活中經(jīng)常會遇到求什么條件下可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題.其中不少問題可以運用導數(shù)這一有力工具加以解決.復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？ 一般地，若函數(shù)y=f (x)在a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則求f (x) 的最值的步驟是：（1）求y=f (x)在a，b內(nèi)的極值(極大值與極小值)；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較， 其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. 特別地，如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則這個極值一定是最值。例1：海報版面尺

2、寸的設計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？解:設版心的高為dm,則版心的寬為dm，此時四周空白面積為 = 令 于是寬為 =8因此, =16是函數(shù)的極小值點，也是最小值點.所以，當版心高為16dm，寬為時8dm，能使四周空白面積最小。如何解決優(yōu)化問題?優(yōu)化問題優(yōu)化問題的答案用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5問題情景二：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌

3、飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)-1.07p解：每個瓶的容積為:每瓶飲料的利潤：解：設每瓶飲料的利潤為y，則r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)f (r)在(2，6上只有一個極值點由上

4、表可知，f (2)=-1.07p為利潤的最小值-1.07p例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？解：設每瓶飲料的利潤為y，則當r(0，2)時，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料的利潤最大，當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小.例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的

5、飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？231、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)0,2、當半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？問題3:如何使一個圓形磁盤儲存更多信息?例3 磁盤的最大存儲量問題:磁道扇區(qū)基本單元 比特解：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)(1) 它是一個關于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大。(2) 為求f(r)的最大值，先計算解得解決優(yōu)化問題的方法之一： 通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學模型，再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導數(shù)往往是一個有力的工具，其基本思路如以下流程圖所示優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案練習問題1:汽油的使用效率何時最高? 我們知道,汽油的消耗量w(單位:L)與汽車的速度v(單位:km/h)之間有一定的關系,汽油的消耗量w是汽車的速度v的函數(shù).根據(jù)生活經(jīng)驗,思考下列兩個問題:(1)是不是汽車的速度越快,汽油的消耗量越大?(2) “汽油的使用效率最高”的含義是什么?汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽車行使路程s, 即:G=w/s求G的最小值問題斜