電磁場與電磁波 第2章 電磁場的基本規(guī)律

1、第2章 電磁場的基本規(guī)律 為分析電磁場，本章在宏觀理論的假設和實驗的基礎上，介紹電磁場中的基本物理量和實驗定律。 在靜止和穩(wěn)定的情況下，確立分布電荷與分布電流的概念物理量；在電荷守恒的假設前提下，確立電流連續(xù)性方程。 對于靜電場，在庫侖實驗定律和安培實驗定律的基礎上建立電場強度E 和磁感應強度B的概念。 在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計算電場與磁場的矢量積分公式。 在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數(shù)；變化的磁場會產(chǎn)生電場，變化的電場會產(chǎn)生磁場，電場與磁場相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場。庫侖定律安培定律法拉第電磁感應定律實驗定律麥克斯韋方程組有旋電場假設位移電流假設2.1 電荷守

2、恒定律2.2 真空中靜電場的基本規(guī)律2.3 真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4 媒質(zhì)的電磁特性2.5 電磁感應定律和位移電流2.6 麥克斯韋方程組2.7 電磁場的邊界條件2.1 電荷與電荷分布1.電荷體密度2.電荷面密度3.電荷線密度2.1.1 電荷及電荷密度4.點電荷體電流密度 2.1.2 電流及電流密度電流：電荷在電場力作用下定向運動形成的。電流強度：單位時間內(nèi)穿過面積S的電荷量。其單位為A（安培），1.體電流電荷在某一體積中定向運動所形成的電流稱為體電流。設電流呈體分布流過任意曲面的電流式中 的法線方向與電流的方向一致。2.面電流設電流呈面分布面電流密度 式中 的方向與電流的方向垂直流過任意

3、 的電流而于是所以穿過任意曲線的電流3.線電流 長度元 dl 中流過電流I，將稱為電流元 Idl。散度定理2.1.3 電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程所以電流連續(xù)性方程微分形式 取一閉合曲面S,S 所包圍的體積為 ， 從閉合面內(nèi)流出的總的電流等于單位時間流出的電荷量。由電荷守恒定律，它應等于體積 內(nèi)電荷的減少率，即對于恒定電流則有 在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變，這就是電荷守恒定律。2.2.1 庫侖定律 電場強度庫侖定律點電荷 對點電荷 的作用力。符合疊加原理定義點電荷 在周圍空間P點產(chǎn)生的電場強度（矢量）N個點電荷產(chǎn)生的電場強度對于連續(xù)的電荷分布式

4、中體分布線分布面分布2.2 真空中靜電場的基本規(guī)律現(xiàn)今演示庫侖定律的實驗相關(guān)圖片1785年庫倫所用的實驗工具示意圖表示閉合曲面S 對點電荷所在點張的立體角2.2.2 靜電場的散度與旋度對任意閉合曲面S 積分1.靜電場的散度和高斯定理設空間存在一點電荷 ，則 點的電位移若閉合面內(nèi)有N 個點電荷若閉合面內(nèi)的電荷分布為散度定理于是電場的散度方程（高斯定理的微分形式）所以在閉合面內(nèi)在閉合面外真空中的高斯定律定義：一面積元對 對一點 所張的立體角閉合曲面對面內(nèi)一點 所張的立體角因為閉合曲面的外法線為正。所以整個積分區(qū)域 即 得 閉合曲面對面外一點 所張的立體角此時在整個積分區(qū)域中有一半是 即而另一半是

5、即 因此2.靜電場的旋度真空中電場的基本方程在點電荷 的電場中，任取一條曲線 ，積分當積分路徑是閉合曲線，A、B 兩點重合，得斯托克斯定理2.3.1 安培力定律 磁感應強度1. 安培力定律 兩個線電流回路 和 ，其上的電流元分別為 。 回路對 回路的安培作用力為 其中 可以認為是一個孤立電流元 對另一個孤立電流元 的安培作用力。進一步改寫為其中為電流元 在周圍空間產(chǎn)生的磁感應強度，為矢量點函數(shù)。2.3 真空中恒定磁場的基本規(guī)律2. 磁感應強度將上式寫為任何閉合線電流回路 在周圍空間的磁場分布對于其它形式的電流分布電流元體電流分布電流元面電流分布2.3.2 恒定磁場的散度與旋度1.恒定磁場的散度

6、和磁通連續(xù)性定理設B 是由直流回路c 產(chǎn)生的磁感應強度，S 為一閉合曲面，則磁感應強度B 穿過S 的通量為BdSScRIdl因為 穿過任意閉合曲面的磁通量恒為零得已知矢量恒等式得由穿過任意閉合面的磁感應強度的通量為0 斯托克斯定理2.恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理安培環(huán)路定律的積分形式得安培環(huán)路定律的微分形式真空中磁場的基本方程（式中 是S 的周界）式中是回路 所包圍電流的代數(shù)和Rc設H 是由直流回路 c 產(chǎn)生的磁場強度，為一閉合曲線,則磁場強度H沿 的環(huán)流為經(jīng)分析計算該積分結(jié)果為電荷體密度標量電流標量電流密度矢量庫倫力矢量電場強度矢量安培力矢量磁感應密度矢量電荷守恒定律恒定電流靜電場方程恒定磁

7、場方程 例2.2.3 求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑為a ，電 荷密度為 0 。 解：（1）球外某點的場強（2）求球體內(nèi)一點的場強ar0rrEa( r a )（r a） 當電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度。 解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖 根據(jù)對稱性，有 ，故 當磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度。 例2.3.2 求電流面密度為 的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應強度。 解 選用圓柱坐標系，則應用安培環(huán)路定理，得 例2.3.3 求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應強度。取安培環(huán)路 ，交鏈的電流為應用安培環(huán)路定律，得 今天的主要內(nèi)

8、容：時變電場與時變磁場之間的關(guān)系電磁感應定律2.4 媒質(zhì)的電磁特性任何物質(zhì)都是由粒子組成電磁場對物質(zhì)的作用：傳導，極化和磁化傳導：導體在電磁場中，電子發(fā)生定向運動磁化：磁介質(zhì)在電磁場中，分子磁矩在外加磁場的作用下改變方向，并產(chǎn)生附加磁場 極化：電介質(zhì)在電磁場中，束縛電荷在外電場的作用下發(fā)生位移引進電位移和磁場強度兩個概念 極化面電荷 （ 為介質(zhì)表面外法線方向的單位矢量） 當電場中放入電介質(zhì)時，電介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，介質(zhì)中因極化出現(xiàn)許多電偶極矩，電偶極矩又要產(chǎn)生附加電場，疊加于原來電場之上，使電場發(fā)生變化。 極化強度：用p 表示極化的程度，即式中：N 為單位體積內(nèi)被極化的分子數(shù) 極化

9、體電荷 由于電場的作用使電偶極子的定向排列，介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)極化體電荷，介質(zhì)表面出現(xiàn)極化面電荷。2.4.1 電介質(zhì)的極化 電位移矢量定義任意電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量 引入極化電荷后，介質(zhì)的極化效應由極化電荷表征，即空間的電場由自由電荷和極化電荷產(chǎn)生。而極化電荷和自由電荷的實質(zhì)相同，則由實驗證明，P 和 E 之間有一定的線性關(guān)系，即得（為電介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系）介質(zhì)的介電常數(shù)介質(zhì)的相對介電常數(shù)極化率于是介質(zhì)中的高斯定理微分形式式中 均為自由電荷式中：N 為單位體積內(nèi)被極化的分子數(shù)而得令（介質(zhì)中的電位移矢量）為極化電荷 媒質(zhì)的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質(zhì)的極化類同。 無外磁場作用時，媒質(zhì)對外不

10、顯磁性， 用磁化強度M 表示磁化的程度，即式中：N 為單位體積內(nèi)被磁化的分子數(shù)。A/m分子電流，電流方向與 方向成右手螺旋關(guān)系。 分子磁偶極矩 在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)， 旋轉(zhuǎn)方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。I 磁化體電流 由于磁偶極子的定向排列，媒質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)磁化體電流，媒質(zhì)表面出現(xiàn)磁化面電流。（ 為媒質(zhì)表面外法線方向） 磁化面電流 2.4.2 磁介質(zhì)的磁化 磁場強度斯托克斯定理 引入磁化電流后，媒質(zhì)的磁化效應由磁化電流表征，即空間的磁場由傳導電流和磁化電流產(chǎn)生。而磁化電流和傳導電流的實質(zhì)相同，則將令（為磁介質(zhì)中的磁場強度矢量）于是磁介質(zhì)中的基本方程微分

11、形式 由實驗證明，除鐵磁性物質(zhì)外，M 和H之間有一定的線性關(guān)系，即得（為磁介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系）媒質(zhì)的磁導率（除鐵磁性物質(zhì)外 ）媒質(zhì)的相對磁導率磁化率式中 均為傳導電流得 恒定電流空間存在的電場，稱為恒定電場。 恒定電場中的二個基本變量為電流密度 和電場強度 。 描述恒定電場基本特性的第一個方程是電流連續(xù)性方程，即 電流恒定時，電荷分布不隨時間變化，恒定電場同靜電場具有相同的性質(zhì)。因此描述恒定電場基本特性的第二個方程為 實驗證明，導電媒質(zhì)中電流密度與電場強度成正比，即 稱為導電媒質(zhì)的電導率。2.4.3 媒質(zhì)的傳導特性恒定電流2.5 電磁感應定律和位移電流 當穿過導體的磁通量發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生

12、感應電流，這表明回路中感應了電動勢。這就是法拉第電磁感應定律。 負號表示感應電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙原磁場的變化。 電動勢是非保守電場沿閉合路徑的積分，回路中出現(xiàn)感應電動勢，表明導體內(nèi)出現(xiàn)感應電場上式對磁場中的任意回路都成立。2.5.1 法拉第電磁感應定律設空間還存在靜止電荷產(chǎn)生的靜電場Ec（庫倫電場）,則總電場沿任意閉合路徑的積分（靜電場Ec沿任意閉合路徑的積分為零）而磁通量為:則磁通的變化：或由磁場隨時間的變化引起 或由回路運動引起(法拉第電磁感應定律的積分形式)將上式寫為微分形式（設回路靜止，磁通的變化由磁場隨時間變化引起）由斯托克斯定理故上式對任意回路所圍面積都成立，故被積函數(shù)為零法拉第

13、電磁感應定律的微分形式(時變磁場)而磁通的變化由回路運動引起的時候，速度為v則單位電荷所受的磁場力可以等效為感應電場產(chǎn)生的電場力，上式改寫為： 得感應電動勢：當磁通變化由在時變磁場中的運動引起，兩者疊加故則磁場力為：法拉第電磁感應定律的一般形式 作閉合曲線 c 與導線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律2.5.2 位移電流 恒定磁場中的安培環(huán)路定律應用于時變場時的矛盾。 麥克斯韋提出位移電流假說：在電容器兩極板之間存在另一種電流，其值與傳導電流i相等。S1和S2構(gòu)成的閉合曲面，應用電流連續(xù)原理，有經(jīng)過S1 面經(jīng)過S2面i式中位移電流密度設想S2上有位移電流流過，并考慮S2 的面元方向，得（對上述兩個不同的面

14、S1和S2，得到相同的積分結(jié)果）安培環(huán)路定律的積分形式q為極板上的電荷量。由高斯定律則一般情況下，空間可能同時存在真實電流 和位移電流 ，則安培環(huán)路定律為由斯托克斯定理關(guān)于電流 傳導電流：帶電粒子在電場的作用下的定向運動。 位移電流：具有磁效應，可以產(chǎn)生磁場。但與帶電粒子的定向運動無關(guān)。 例 2.5.3 海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流與傳導電流的比值。解：設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其幅值為傳導電流的幅值為故安培環(huán)路定律的微分形式第一方程第二方程第三方程 麥克斯韋第一方程 推廣的全電流定律，表明傳導電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。麥克斯

15、韋第二方程 推廣的電磁感應定律, 表明變化的磁場能產(chǎn)生電場。麥克斯韋第三方程 磁通連續(xù)性原理，表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線。 麥克斯韋第四方程 高斯定律，表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場。 靜態(tài)場和恒定場是時變場的兩種特殊形式。第四方程2.6 麥克斯韋方程微分形式 積分形式 電流連續(xù)性方程可由麥氏方程導出。 靜態(tài)場和恒定場微分形式 積分形式 電流連續(xù)性方程由兩邊取散度即 （電流連續(xù)性方程） 麥氏方程的限定形式和非限定形式用E、D、B、H 四個場量寫出的方程稱為麥氏方程的非限定形式。對于線性各向同性媒質(zhì)，有本構(gòu)關(guān)系用E、H 二個場量寫出的方程稱為麥氏方程的限定形式。微分形式 積分形式 麥克斯

16、韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律。1、磁場強度H的邊界條件 在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊 分居于分界面兩側(cè)，而高 ，取H 沿此回路的環(huán)積分為 設分界面上的自由電流面密度為 則回路所圍面積上通過的電流為（其中 的方向為回路所圍面積的法線方向） 矢量 可寫為 因為回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有磁場強度H 的邊界條件：若分界面上沒有自由的表面電流2.7 電磁場的邊界條件2.7.1 邊界條件的一般形式 方程 變?yōu)榱硗猓捎?、電場強度E 的邊界條件（其中 為回路所圍面積的法線方向） 在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊 分居于分界面兩側(cè)，而高 。將方程 用于此回路 因為回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有電場強度E的邊界條件：或表示為介質(zhì)分界面兩側(cè)電場強度的切向分量連續(xù)對于電位 由由 小圓柱側(cè)面積， h為無窮小量，該面積趨于零3、磁感應強度B的邊界條件 設兩種不同的磁介質(zhì) ，其分界面的法線方向為n。在分界面上作一小圓柱形表面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為 ，h為無窮小量。nh 將磁場基本方程 用于所作的圓柱形表面。方程左邊磁感應強度B 的邊界條件用矢量表示分界面上B 的法向分量連續(xù) 小圓柱側(cè)面積， h為無窮小量，該面積趨于零4、電位移矢量D 的邊界條件nh 設兩種不同的電介質(zhì) ，其分界面的法線方向為n，在分界面上作一