第九篇統(tǒng)計與統(tǒng)計案例分析

1、第九篇統(tǒng)計與統(tǒng)計案例A A第九篇統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第1講隨機抽樣最新考綱.理解隨機抽樣的必要性和重要性.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法 . 診斷基礎(chǔ)知識南淺入濯分基固本知識梳理.簡單隨機抽樣(1)定義：從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為 n的樣本，如果每一次 抽取時總體中的各個個體有粗皿5可能性被抽到， 這種抽樣方法叫做簡單隨機抽 樣.(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)表法.系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.先將總體的N個個體編號:(2)確定分段間隔k,對編號進行分段,當(dāng)N(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k=N;當(dāng)NN不是整

2、數(shù)時，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，再確定分段間隔；在第1段用簡單隨機抽樣確.定第一個個體編號 s(s k);按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將s加上間隔k得到第2個個體編號(s+ k), 再加k得到第3個個體編號(s+2k),依次進行下去，直到獲取整個樣本.分層抽樣分層抽樣的定義：在抽樣時，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣,這種抽樣方法叫做分層抽樣.分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體由明顯差異的幾部分組成時,往往選用分層抽樣. 辨析感悟.對簡單隨機抽樣的認(rèn)識（1）（教材思考問題改編）在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽

3、到的可能性與第幾次 TOC o 1-5 h z 抽取有關(guān)，第一次抽到的可能性最大.（ X ）從100件玩具中隨機拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿 5次，是簡單隨機抽樣.（X ）.對系統(tǒng)抽樣的理解（3）系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)較多且分布均衡的總體.（，）（4）要從1 002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為 20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公平.（ X ）.對分層抽樣的理解（5）分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).（X ）（6）（2014鄭州模：?K改編）某校即將召開學(xué)生代表大會，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽取.（，）（2013湖南

4、卷改編）某學(xué)校有男、女學(xué)生各 500名.為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣.（，）感悟提升兩點提醒一是簡單隨機抽樣（抽簽法和隨機數(shù)法）都是從總體中逐個地進行抽取，都是不放回抽樣，如（2）.二是三種抽樣方法在抽樣過程中每個個體被抽到的可能性都相等，如（1）、（4）、（5）.突破高頻考點以何求法考點一簡單隨機抽樣【例1】下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣？（1）從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時，從 中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后

5、再把它放回盒子里.從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗.某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.解（1）不是簡單隨機抽樣.由于被抽取的樣本總體的個體數(shù)是無限的，而不是 有限的.不是簡單隨機抽樣.由于它是放回抽樣.（3）不是簡單隨機抽樣.因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取.不是簡單隨機抽樣.因為指定個子最高的5名同學(xué)是56名中特指的，不存在隨機性，不是等可能抽樣.規(guī)律方法（1）簡單隨機抽樣需滿足；抽取的個體數(shù)有限；逐個抽??；是不 放回抽??；是等可能抽取.簡單隨機抽樣常有抽簽法（適用總體中個體數(shù)較少的情況）、隨機數(shù)表法（適用 于個體數(shù)較多的情況）.【訓(xùn)練1】 下列

6、抽樣試驗中，適合用抽簽法的有（）.A.從某廠生產(chǎn)的5 000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗D.從某廠生產(chǎn)的5 000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗答案 B考點二系統(tǒng)抽樣【例2】 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查.為此將他們隨機 編號為1,2,，960,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為 9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間1,450的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間451,750 的人做問卷B,其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（）.A

7、. 7 B. 9 C. 10 D. 15 解析 從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一組 抽到的號碼為9,則第二組抽到的號碼為39,第n組抽到的號碼為an=9+30（n 1）=30n 21,由 4510 30n 21 0 750,得236& n xb,因此 A 藥的療效更好.鼻藥B藥 9 5 fi 5 792346S124 6 L 5 7由觀測結(jié)果繪制如下莖葉圖:5 2 K 5 24 3976532g710 3 2從莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有 毛的葉集中在莖2,3上；B藥療效的 試驗結(jié)果有170的葉集中在莖0,1上.由上述可看出A藥的療效更好.規(guī)律方法 莖

8、葉圖的繪制需注意：（1） “葉”的位置只有一個數(shù)字，而 “莖”的位 置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；（2）重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特 別是“葉”的位置的數(shù)據(jù).【訓(xùn)練2】（2013重慶卷）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語 聽力測試中的成績（單位：分）甲組乙組909x215y87424已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則x, y的值分別為().A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,8解析 由莖葉圖及已知得x=5,又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,即9+15+10+ y+ 18+24互力/日5: 16.8,解得 y=8.答案 C考點三樣本的數(shù)字特

9、征【例3】甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.解(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.10+13+12+14+16 _x 甲=Z:13,13+14+12+12+14Xl 5s2 = 1(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14- 13)2+(16-13)2 =4,5s2 = 1(13 13)2+(1413)2+(1213)2+(12 13)2+(1413)2 = 0.8.

10、5由s2s2可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在 不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.規(guī)律方法 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它 們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.【訓(xùn)練3】將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分 數(shù)的平均分為91.8 7 70 4 0 1 (：現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示:則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為().A.116Vc 36B.尸C. 36D.6,77解析由題意知87+ 94+

11、 90+ 91 + 90+ 90+ x+ 91791,解得 x= 4.所以 S2 =；(87 91)2 + (94 91)2+(90 91)2+(9191)2 + (90 91)2+(94 91)2+(9191)2 =736(16+ 9+1 + 0+1 + 9+0)=亍答案 B|課堂小結(jié)|.莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況 的.莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻 率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制 作.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重

12、要的 量.(2)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引 起平均數(shù)的變動，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì).(3)眾數(shù)體現(xiàn)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有若干數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時，眾數(shù)往 往更能反映問題.(4)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時， 可用中位數(shù)描述其集中趨 勢.培養(yǎng)，解題能力教你解題提升能力易錯辨析8統(tǒng)計圖表識圖不準(zhǔn)致誤【典例】 從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學(xué)生的高校招生體檢表 中的視力情況進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示：若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學(xué)

13、生中能報A專業(yè)的人數(shù)為解析該班學(xué)生視力在0.9以上的頻率為(1.00+0.75+ 0.25) X 0.2= 0.4,故能報A專業(yè)的人數(shù)為0.4X 50= 20.答案20易錯警示解題中易出現(xiàn)審題不仔細(xì)，又對所給圖形沒有真正理解清楚，將矩 形的高誤認(rèn)為頻率或者對 “0.9以上”的含義理解有誤.防范措施求解頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)問題，最容易出現(xiàn)的問題就是把縱軸,，一 ， 頻率 ，,誤以為是頻率導(dǎo)致錯誤.在頻率分布直方圖中，縱軸表示京肅，我們用各個小矩形的面積表示該段數(shù)據(jù)的頻率，所以各組數(shù)據(jù)的頻率等于小矩形的高對應(yīng)的數(shù)據(jù) 與小矩形的寬(樣本數(shù)據(jù)的組距)的乘積.【自主體驗】(2013福建卷)某校從高一年

14、級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生， 將他們的模塊測試成績 分成 6 組：40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊 測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為().A. 588 B. 480 C. 450 D. 120解析 從頻率分布直方圖可以看出：分?jǐn)?shù)大于或等于60分的頻率為（0.030+ 0.025 + 0.015+ 0.010）X 10=0.8,故頻數(shù)為 600X 0.8=480.答案 B課時題組訓(xùn)練附施訓(xùn)賽臻出高分基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時：40分鐘）一、選擇題. （201

15、2 山東卷）在某次測量中得到的 A 樣本數(shù)據(jù)如下： 82,84,84,86,86,86,88,88,88,8的B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得 數(shù)據(jù).則A, B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（）.A.眾數(shù) B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差解析對樣本中每個數(shù)據(jù)都加上一個非零常數(shù)時不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變.答案 D.在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積1等于其他10個小長方形面積和的4,且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為().A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組

16、的頻率為x,則x+ 4x=1,x= 0.2,故中間一組的頻數(shù)為 160X 0.2=32,選A.答案 A(2014潮州二模)有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲 7879549 10 74乙 9578768677則下列判斷正確的是().A.甲射擊的平均成績比乙好B.乙射擊的平均成績比甲好C.甲比乙的射擊成績穩(wěn)定D.乙比甲的射擊成績穩(wěn)定解析 甲、乙的平均成績分別為 7甲=7, 7乙=7,故排除A, B項；甲、乙的1成績的萬差分別為 S2=而(7 7)2 + (8 7)2 + (7 7)2 + (9 7)2 + (5 7)2 + (4 7)2+ (9-7)2 + (1

17、0 7)2+ (7-7)2+(4-7)2 = 4, S2 = 110(9 - 7)2+ (5 7)2+ (7 - 7)2+(87)2+(77)2 + (67)2 + (8 7)2 + (67)2+(7 7)2+(7 7)2 = 1.2,則 s2s2, 所以乙比甲的射擊成績穩(wěn)定，故選 D.答案 D(2014臨沂一模)某中學(xué)高三從甲、乙兩個班中各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他 們?nèi)〉玫某煽?滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85,乙班學(xué)生成績的中 位數(shù)是83,則x+ y的值為().A. 7 B. 8 C. 9 D. 10解析 由莖葉圖可知，甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85,所以x=5.乙班

18、學(xué)生成績的中位數(shù)是83,所以y= 3,所以x+y= 5+3=8.答案 B5.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，貝心 ).t貝數(shù)t班數(shù)I H I口W 11? 10環(huán)數(shù) 0 34 5 A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析由條形統(tǒng)計圖知：甲射靶5次的成績分別為：4,5,6,7,8; 乙射靶5次的成績分別為：5,5,5,6,9;4+5+6+7+8=6;5+5+5+6+ 9 八x 乙=5: 6.所以、甲=又乙.故A不正確.甲的成績的中位數(shù)為 6

19、,乙的成績白中位數(shù)為5, 故B不正確.s2 = 11(4 6)2 + (5 6)2 + (6 6)2 + (7 6)2 + (8 6)2 = 5 X 10= 2,s2 = 11(5 6)2+(56)2+(56)2+(66)2 + (9 6)2=5*12=呆 因為 21, 所以s2 s2.故C正確.甲的成績的極差為：8 4 = 4,乙的成績的極差為：9 5 = 4, 故D不正確.故選C.答案 C二、填空題.在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 ,解析 根據(jù)莖葉圖所給數(shù)據(jù)，易知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為45,46.答案 45 46. (2013湖北卷)從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量

20、調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都 在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.直方圖中x的值為;(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間100,250內(nèi)的戶數(shù)為.解析 (1)根據(jù)頻率和為 1,得(0.002 4+0.003 6+0.006 0 + x +0.002 4+0.0012)X50= 1,解得 x= 0.004 4.(2)(0.003 6+ 0.004 4+ 0.006 0) X 50 X 100= 70.答案 0.004 4 70.某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x, y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù) 的平均數(shù)為10,方差為2,則|x y|的值為.解析 由題意可得：x+ y=20, (

21、x- 10)2+(y 10)2 = 8,設(shè) x= 10+1, y=10t,|x-y|=2|t|=4.答案4三、解答題.某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方 圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在50,60的頻率及全班人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在80,90之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中80,90間的矩形的高.解 (1)分?jǐn)?shù)在50,60的頻率為0.008X 10=0.08.由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在50,60之間的頻數(shù)為2,所以全班人數(shù)為 % = 25.0.08(2)分?jǐn)?shù)在80,90之間的頻數(shù)為 25 2-7-10-2 = 4,頻率分布直方圖

22、中80,90 4間的矩形的圖為-10 = 0.016.10. (2014大連模擬)從某校高三年級800名男生中隨機抽取50名學(xué)生測量其身 高，據(jù)測量，被測學(xué)生的身高全部在155 cm到195 cm之間.將測量結(jié)果按如下 方式分成8組：第一組155,160),第二組160,165),，第八組190,195,下圖 是按上述分組得到的頻率分布直方圖的一部分.已知第一組與第八組的人數(shù)相 同，第七組與第六組的人數(shù)差恰好為第八組與第七組的人數(shù)差.求下列頻率分布表中所標(biāo)字母的值，并補充完成頻率分布直方圖.頻率分布表：分組頻數(shù)頻率/組距180,185)xyz185,190)mnP解由頻率分布直方圖可知前五組的

23、頻率和是(0.008+ 0.016+ 0.04+ 0.04+0.06)X5=0.82,第八組的頻率是0.008X 5=0.04,所以第六、七組的頻率和是1 -0.82-0.04 = 0.14,所以第八組的人數(shù)為50X0.04= 2,第六、七組的總?cè)藬?shù)為 50X0.14= 7.由已知得 x+ m=7, mx=2m,解得 x=4, m=3,所以 y=0.08, n=0.06, z=0.016, p = 0.012.補充完成頻率分布直方圖如圖所示.就率，機距能力提升題組（建議用時：25分鐘）一、選擇題1 . （2014長春調(diào)研）如圖是依據(jù)某城市年齡在 20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查 而繪制的頻率分

24、布直方圖，現(xiàn)已知年齡在30,35）, 35,40）、40,45的上網(wǎng)人數(shù)呈 現(xiàn)遞減的等差數(shù)列分布，則年齡在35,40）的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為（）.小A. 0.04 B. 0.06 C. 0.2 D. 0.3解析由頻率分布直方圖可知，年齡在20,25）的頻率為0.01X5 = 0.05, 25,30）的頻率為0.07X 5= 0.35,又年齡在30,35）, 35,40）, 40,45的頻率成等差數(shù)列分 布，所以年齡在35,40）的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.2.答案 C（2012陜西卷）從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進 行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖所示）.設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均

25、數(shù)分別為 7甲，x乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則（）.人.乂甲乂乙, m甲m乙 8.乂甲乂乙, m甲m乙乂甲乂乙,m甲m乙 口.乂甲乂乙,m甲m乙1解析x 甲= 16(41+43+ 30+30+38+22+25+27+ 10+ 10+ 14+ 18+18+5+3456+8)-1x 乙=否(42+ 43 + 48+ 31 + 32+ 34+ 34+38 + 20+ 22+23 + 23+ 27+ 10+ 12 +18)=45776.又. m甲= 20, m乙二 29,m甲m乙答案 B二、填空題（2014西安一檢）由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1, x2, x3, x4,其平均數(shù)和中位數(shù) 都是2,且標(biāo)準(zhǔn)

26、差等于1,則這組數(shù)據(jù)為.解析 不妨設(shè)x1&x20 x30 x4,由中位數(shù)及平均數(shù)均為 2,得x1+x4=x2 + x3=4, 故這四個數(shù)只可能為1,1,3,3或1,2,2,3或2,2,2,2,由標(biāo)準(zhǔn)差為1可得這四個數(shù)只 能為 1,1,3,3.答案 1,1,3,3三、解答題（2014西安模擬）某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取 60名學(xué)生，將其 數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六組90,100）, 100,110）,，140,150后得到如下部分 頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：觸率收1距0.030T0.020 -rv rrwa nn a ! ib ,rirn0.015新+唱卜鼻+.0

27、+4|，+.詈+y+口.+干0D.O1D r- - -TT 0.005 _J- 090 100 lin 120 no 14O 150 分敷求分?jǐn)?shù)在120,130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值(如：組區(qū)間100,110)的中點值為100+110,；105.)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將 該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段120,130)內(nèi)的概率.解(1)分?jǐn)?shù)在120,130)內(nèi)的頻率為1 (0.1 + 0.15+ 0.15+0.25+ 0.05)=

28、1 0.7= 0.3.(2)估計平均分為7 =95X 0.1+ 105X 0.15+ 115X 0.15+ 125X 0.3+ 135X 0.25+ 145X 0.05= 121.由題意，110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60X0.15 = 9(人).120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60X 0.3= 18(人).二.用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本， 需在110,120價數(shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m, n；在120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為a, b, c, d;設(shè)“從樣本中任取2 人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段120,130)內(nèi)”為事件A,則基本事件共有(

29、m, n), (m, a),，(m, d), (n, a),，(n, d), (a, b),，(c, d)共 15種.則事件 A包含的基本事件有(m, n), (m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (n, a), (n, b), (n, c), (n, d)共 9種.9 3.P(AF=5.第3講變量的相關(guān)性、統(tǒng)計案例最新考綱會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸 方程.了解獨立性檢驗(只要求2X2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.

30、知識梳理診斷基礎(chǔ)知識.兩個變量的線性相關(guān).散點圖以一個變量的取值為橫坐標(biāo)，另一個變量的相應(yīng)取值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中 描點，這樣的圖形叫做散點圖.回歸直線方程與回歸分析(1)直線方程y=a+bx,叫做Y對x的回歸直線方程,b叫做回歸系數(shù).要確定回 歸直線方程，只要確定a與回歸系數(shù)b.(2)用最小二乘法求回歸直線方程中的 a, b有下列公式na 百xyi - nxy人 人人人b=-n, a= y bx,其中a, b表小的是求得的 a, b的估計值.a xi2nx2(3)相關(guān)性檢驗計算相關(guān)系數(shù)r, r有以下性質(zhì)：|r|0時，說明兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系；當(dāng)回歸 系數(shù)b0),故x與y之間是正相關(guān).人(

31、3)將x= 7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為 y = 0.3X 7 0.4= 1.7(千元).規(guī)律方法(1)正確理解計算b, a的公式和準(zhǔn)確的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵. 八 八 八(2)回歸直線方程y =bx+ a必過樣本點中心(x, y).(3)在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計和 預(yù)測.【訓(xùn)練2】(2014南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù).房屋間積x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)求線性回歸

32、方程；(2)據(jù)(1)的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150 m2時的銷售價格.解 (1)7 =1X(115+110+ 80+ 135+ 105)= 109, 5y =1X (24.8+21.6+ 18.4+ 29.2+22) = 23.2. 5設(shè)所求回歸直線方程為y=bx+a,則x x yi y3081 5700.196 2,a - a -308.a=yb x=23.2T09x而1.816 6.所求回歸直線方程為y=0.196 2x+1.816 6.(2)由第(1)問可知，當(dāng)x=150 m2時，銷售價格的估計值為，=0.196 2X 150+ 1.816 6 = 31.246 6 元).考點三獨立性檢驗

33、【例3】 通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下n (nnn22n12n21)n1+n2+n+1n+2的列聯(lián)表:男女總計愛好402060不愛好203050總計60501102-算得,2_110X (40X30 20X20) 2X =60X50X60X 50.附表:P(百 k)0.0500.010k3.8416.635參照附表，得到的正確結(jié)論是().A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛

34、好該項運動與性別無關(guān)” 解析 由7.86.635知，有1 0.010即99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與 性別有關(guān)”.答案 A規(guī)律方法 利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的 推斷和預(yù)測.獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給2n (n11 n22 n12n21)f . q出這種判斷的可信度，具體做法是根據(jù)公式X =，計算 2的值，的值越大，說明“兩個變量有關(guān)系”的可能性越大.【訓(xùn)練3】（2014東北三校聯(lián)考）某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào) 查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).（說明：圖中飲食指數(shù)低于70 的人，飲食以蔬菜為主；

35、飲食指數(shù)高于 70的人，飲食以肉類為主）甲（5。歲以下）乙。歲以上）120 1 5 6 6 732 3 6 75 342 4 5858柝1S 7 6 475 S5 3 2K0q根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2X2列聯(lián)表:主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上合計（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析.解（1）2X2列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下481250歲以上16218合計2010302 30X (8128) 2因為臺 12X18X20X 10”635,所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān). I課堂小結(jié)I.求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a,

36、b,由于a, b的計算量大，計算時應(yīng) 仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤.回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決： （1）確定特定量之 問是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢； （3）求線性回歸方程.根據(jù)聲的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度.教你解題培養(yǎng),解題能力方法優(yōu)化8求回歸直線方程的方法技巧【典例】(2011安徽卷)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù) 據(jù)：年份20022004200620082010需求量/萬噸236246257276286利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回

37、歸直線方程y=bx+ a;(2)利用中所求出的直線方程預(yù)測該地 2012年的糧食需求量.優(yōu)美解法(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求 回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)處理如下：年份2006一 4-2024需求量257-21-1101929對處理的數(shù)據(jù)，容易算得x=0, y =3.2,a_ 4 X 21 + 2 X 11 +2X19+4X29 5X0X3.2b-4 2+ -2 2 + 22+42-5X02260=40=6.5，A - A . .一一 .Aa= y -b x =32由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為y257 = 6.5(x2006)+32即丫= 6.5(x- 2

38、 006) + 260.2.(2)利用所求得的直線方程，可預(yù)測 2012年的糧食需求量為6.5X (2 012-2 006) + 260.2= 6.5X6 + 260.2= 299.2(萬噸).反思感悟求回歸直線方程時，重點考查的是計算能力.若本題用一般法去解， 計算更繁瑣(如年份、需求量不做如上處理)，所以平時訓(xùn)練時遇到數(shù)據(jù)較大的要 考慮有沒有更簡便的方法解決.【自主體驗】為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身局x（cm）174176176176178兒子身高y（cm）175175176177177則y對x的線性回歸方程為. 解析數(shù)據(jù)處理如下：x=父親身高一

39、176-20002y=兒子身圖一176-1-1011、f匕一 _ 八 4 1八 八計算得： x =0, y =0.- b=g=2a= y b x =0,所求回歸直線方程為：y 176= 2（x 176）,2 1即丫= 2x+88.答案 y=，+ 88課時題組訓(xùn)練階播訓(xùn)賽練出喜分基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時：40分鐘）、選擇題.下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（）.A.速度一定時，位移與時間B.單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時，土地面積與總產(chǎn)量C.身高與體重D.電壓一定時，電流與電阻解析 A、B、D中兩個變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的兩個變量間是相關(guān)關(guān)系，對于身高一樣的人，體重仍可以不同，故

40、選 C.答案 C.設(shè)（x1, y1）, （x2, y2）,，（xn, yn）是變量x和y的n個樣本點，直線樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是A.直線l過點（x , y）x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間D.當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析 由樣本的中心（x, y）落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表 示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關(guān) 系數(shù)應(yīng)在-1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對 平均，即無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故 D錯.答案 A3.在一組樣本數(shù)

41、據(jù)（xl , yi）, （x2, y2）,，（xn, yn）（n2, xl , x2,，xn 不全相1等）的目攵點圖中，右所有樣本點（xi, yi）（i = 1, 2,，n）都在直線y= /x+1上，則 這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）.-1 1 B. 0C.2 D. 1解析 所有點均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1,故選D.答案 D（2014蘭州調(diào)研）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x, y,測得一組數(shù)據(jù)如下x24568y2040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為y= 10.5x+a,據(jù)此模型來預(yù)測當(dāng)x= 20時，y的估計值為（）.A. 210 B. 210.5 C. 21

42、1.5 D. 212.5解析 由數(shù)據(jù)中可知x =5, y =54,代入回歸直線方程得a= 1.5,所以丫= 10.5x+ 1.5,當(dāng) x= 20 時，y=10.5X20+ 1.5=211.5.答案 C（2014臨沂一模）某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度 （支持與不支 持）的關(guān)系，運用2X2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算長=7.069,則有多大把握 認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”.A. 0.1% B. 1% C. 99% D. 99.9%解析 因為g=7.0696.635,所以P（聲6.635）= 0.010,所以說有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系答案 C.已知施化肥量

43、x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表，則變量x與變量y是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”）.施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455解析 因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系， 所以畫出散點圖如 圖所示：5瑞水相產(chǎn)量。10 20 30 4A 50、通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān).答案正（2014濟南模擬）為了均衡教育資源，加大對偏遠(yuǎn)地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某 地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年教育支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年 收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線 方程：y=0.15x+0.2.由回歸直

44、線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加萬元.解析 回歸直線的斜率為0.15,所以家庭年U入每增加1萬元，年教育支出平均 增加0.15萬元.答案 0.15（2014嘉興聯(lián)考）為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨 機抽取50名學(xué)生，得到如下2X2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知 P(/3.841)0.05, P(/5.024)0.025.,Q 50X ( 13X 20-10X 7) 2根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到聲=一”丁n-4.844.23 A 2 7 A 20 入 30則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別解析 :1=4.844,根據(jù)假

45、設(shè)檢驗的基本原理,之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為 5%.答案 5%解答題下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y = bx+a; (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出 的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn) 100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：3X2.5 + 4X3+5X4+6X4.5=66.5)解：(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得

46、散點圖如圖所示.4.54則能耗：I電標(biāo)推煤) SB IM .ilI VV i *i i4(2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：x2 = 86,i=13+4+5+61x =4= 4.5(噸),2.5+3 + 4+4.5y =4= 3.5(噸).4已知xiyi = 66.5,i= 1所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：4xiyi 4 x ya i = 166.5 4X4.5X 3.5b=1864X4.52乙x2-4 x 2i = 1A a a= y b x =3.5 0.7X4.5=0.35.因此，所求的線性回歸方程為y=0.7x+ 0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

47、，得降低的生產(chǎn)能耗 為：90(0.7X 100+0.35)= 19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).(2012遼寧卷)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況， 隨機抽取了 100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制 的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于 40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育 迷”中有10名女性.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與 性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女合計將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超 級體育迷”中有2名女性.若從“超級體育迷”

48、中任意選取 2人，求至少有1 名女性觀眾的概率.附：x =2n (n11n22n12n21)n1+n2+n+1n+2P(xk)0.050.01k3.8416.635解(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”為25人，從而 完成2X2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2 X 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得22 n (niin22n12n2i)x ni+n2+n+in+2100X (30X10 45X15) 2 I00二 75X 25X45X 55= 33= 3.030.因為3.0303.841,所以我們沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有

49、關(guān).由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為 5人，從而一切可能結(jié)果所組成 的基本事件空間為Q=(ai, a2), (a1，a3), (a2, a3), (a，b)，(a1，b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, bi), (a3, b2), (bi, b2),其中ai表小男性，i=1, 2, 3.bj表小女性，j = 1, 2.Q由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A=(ai, bi), (ai, A), (a2, bi), (a2, b2), (a3, bi), (a3, b2), (bi, b2),

50、事件A由7個基本事件組成，因而P(A) = 17y能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題.以下四個命題，其中正確的是().從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;在線性回歸方程y= o.2x+12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量y 平均增加0.2個單位；對分類變量X與Y,它們的隨機變量K2的觀測值k越小，“X與Y有關(guān)系” 的把握程度越大.A . B.C . D.解析 是系統(tǒng)抽樣；對于，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小.答案 D.變量

51、 X 與 Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1), (11.3,2), (11.8,3), (12.5,4), (13,5); 變量 U 與 V 相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5), (11.3,4), (11.8,3), (12.5,2), (13,1). r1 表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)， 貝心 ).A, 2門0 B. 021C. r20(門 D. 2=門解析 對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即10; 對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即20,所 以選C.答案 C二、填空題3. (2014江西重點中學(xué)聯(lián)考)某車

52、間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花 費的時間，為此進行了 5次試驗.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求 、- A得回歸萬程y= 0.67X+54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62繆758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為 . 解析 由已知可計算求出 7 = 30,而回歸直線方程必過點(7,0.67X30+ 54.9= 75,設(shè)模糊數(shù)字為a,則a + 62+75+ 81 + 89_5;75,計算得a=68.答案 68三、解答題4. （2012福建）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先 擬定的價格進行試銷，得到如

53、下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程y=bx+ a,其中b= 20, a=y bx；（2）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4 元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入一成本） 解 （1）由于 X=6（Xl + X2 + X3+X4+X5 + X6）=8.5,1,y= 6（y1 + y2+y3 + y4+ y5+ y6） = 80,所以2 = 丫bX= 80+ 20X8.5 = 250,從而回歸直線方程為y=-20X+250.設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L

54、 = x（ 20X + 250） 4（ 20X + 250）=20X2+330X 1 000= 20 X- 33 2+361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x= 8.25時，L取得最大值.故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.基礎(chǔ)回扣練一一統(tǒng)計與統(tǒng)計案例（建議用時：60分鐘）、選擇題（2014石家莊調(diào)研）某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級 學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查.這種抽樣方法是（）.A.簡單隨機抽樣法B.抽簽法C.隨機數(shù)表法 D.分層抽樣法解析 總體由差異明顯的幾部分組成、按比例抽樣，為分層抽樣.答案 D（2014廣州月考）某射手在一

55、次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是 0.20, 0.30,0.10,則此射手在一次射擊中不夠 8環(huán)的概率為（）.A. 0.40 B. 0.30 C. 0.60 D. 0.90解析 一次射擊不夠8環(huán)的概率為：10.20.3 0.1 = 04答案 A（2012湖北卷）容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40）的頻率為（）.A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 9解析 數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40）內(nèi)的頻數(shù)為9,樣本容量為20,所求頻率為20 = 0.45.答案 B 八