金屬自由電子理論課件

1、第 一 節(jié)自由電子氣的能量狀態(tài)4.1.1 金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解4.1.2 波矢空間和能態(tài)密度 4.1.3 自由電子氣的費(fèi)米能量本節(jié)主要內(nèi)容：4.1.1 金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)方程和解 (1)金屬中的價(jià)電子彼此之間無(wú)相互作用；4.1 自由電子氣的能量狀態(tài)1.模型(索末菲) 自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：自由的、無(wú)相互作用的 、遵從泡利原理的電子氣。 (2)金屬內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)為恒定勢(shì)場(chǎng)(價(jià)電子各自在勢(shì)能等于平均勢(shì)能的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng))；(3)價(jià)電子速度服從費(fèi)米狄拉克分布。 為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，又設(shè)勢(shì)阱的深度是無(wú)限的。粒子勢(shì)能為2.薛定諤方程及其解每個(gè)電子都可以建立一個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程：

2、E-電子的能量-電子的波函數(shù)(是電子位矢 的函數(shù))常用邊界條件駐波邊界條件周期性邊界條件 波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來(lái)，而是離開(kāi)金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來(lái)。波矢，為電子的德布羅意波長(zhǎng)。電子的動(dòng)量：電子的速度：由正交歸一化條件：由周期性邊界條件：(其中 為整數(shù))4.1.2 波矢空間和能態(tài)密度 1.波矢空間 以波矢 的三個(gè)分量 為坐標(biāo)軸的空間稱為波矢空間或 空間。金屬中自由電子波矢：(1)在波矢空間每個(gè)(波矢)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的體積為：(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點(diǎn)數(shù)):(3)體積元 中的(波矢)狀態(tài)數(shù)為:(4)體積元 中的電子

3、狀態(tài)數(shù)為:2.能態(tài)密度(1)定義:(2)計(jì)算:波矢密度兩個(gè)等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)兩等能面間的電子狀態(tài)數(shù)能態(tài)密度 兩等能面間的波矢狀態(tài)數(shù)：考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，kykx能態(tài)密度:例1：求金屬自由電子氣的能態(tài)密度金屬中自由電子的能量法1.E法2.金屬中自由電子的能量kykx其中在半徑為k的球體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為：自由電子氣的能態(tài)密度：法3.其中在k空間自由電子的等能面是半徑的球面，4.1.3 自由電子氣的費(fèi)米能量在熱平衡時(shí)，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是1.費(fèi)米能量 EF-費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它的意義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能

4、。它是溫度T和晶體自由電子總數(shù)N的函數(shù)。2. 圖象 隨著T的增加，f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任何情況下，此能量范圍約在EF附近kBT范圍內(nèi)。3.費(fèi)米面E=EF的等能面稱為費(fèi)米面。(a) T=0k 在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒(méi)有電子。費(fèi)米能級(jí)(b) T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以內(nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。EF4.求EF的表達(dá)式分兩種情況討論：EE+dE間的電子狀態(tài)數(shù)：EE+dE間的電子數(shù)：系統(tǒng)總的電子數(shù)：(1)在T=0K時(shí)，上式變成：將自由電子密度N(E)=CE1/2代入得：其中令n

5、=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，則有自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算金屬中一般 n1028m-3，電子質(zhì)量m=910-31kg，幾個(gè)電子伏。 由上式可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。 (分步積分得來(lái))(2)=0則上式化簡(jiǎn)為因此一方面，另一方面，將g(E)在EF附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)： 函數(shù)的特點(diǎn)具有類似于函數(shù)的性質(zhì)，僅在EF附近kBT的范圍內(nèi)才有顯著的值，且是EEF的偶函數(shù)。只考慮到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到很顯然，I0等于，由于 為(E-EF)的偶函數(shù)，因此I1=0。令(E-EF)/kBT=，則得：得:=1=0由于系統(tǒng)的電子數(shù)

6、利用kBTkBT，(3)可到達(dá)金屬表面的電子數(shù) 設(shè)ox軸垂直金屬表面，電子沿x方向離開(kāi)金屬，這就要求沿x方向的動(dòng)能 必須大于E0，而vy，vz的數(shù)值是任意的，因此對(duì)vy，vz積分得： -里查孫德西曼公式4.3.2 接觸電勢(shì)差EFABEF金屬的能級(jí)和功函數(shù)由圖可得電勢(shì)差和功函數(shù)的關(guān)系式：+-+-VAVB接觸電勢(shì)差A(yù)+ 上式說(shuō)明兩塊金屬的接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的脫出功不同，而脫出功表示真空能級(jí)和金屬費(fèi)米能級(jí)之差，所以接觸電勢(shì)差來(lái)源于兩塊金屬的費(fèi)米能級(jí)不一樣高。理論推導(dǎo)上式。 設(shè)兩塊金屬的溫度都是T，當(dāng)他們接觸時(shí)，每秒內(nèi)從金屬A和金屬B的單位表面積所溢出的電子數(shù)分別為： 若B A，則VA0, VB

7、0，兩塊金屬中的電子分別具有附加的靜電勢(shì)-eVA和-eV，這時(shí)兩塊金屬發(fā)射的電子數(shù)分別為：當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，接觸電勢(shì)差：金屬自由電子理論 總 結(jié)自由電子氣的能量狀態(tài)電子氣的熱容量功函數(shù)和接觸電勢(shì)差 1.自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：是指自由的、無(wú)相互作用的、遵從泡利原理的電子氣。自由電子氣的能量狀態(tài)2.自由電子氣的能量3.能態(tài)密度一、自由電子氣的能量狀態(tài)自由電子氣的能態(tài)密度其中二、電子氣費(fèi)米能量1.分布函數(shù) 在熱平衡時(shí)，能量為E的能級(jí)被電子占據(jù)的概率。 EF-費(fèi)米能級(jí)(等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢(shì))，它是溫度T和晶體自由電子總數(shù)N的函數(shù)。2.費(fèi)米能量3.費(fèi)米面：E=EF的等能面稱為費(fèi)米面。 T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF比絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，此時(shí)費(fèi)米面以內(nèi)能量離EF約kBT范圍的能級(jí)上的電子被激發(fā)到EF之上約kBT范圍的能級(jí)。 在絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子占據(jù)，球外沒(méi)有電子。電子氣的熱容量 電子在深度為E0的勢(shì)阱內(nèi)，要使費(fèi)米面上