定積分的性質(zhì)課件

1、第二節(jié)定積分的性質(zhì) 第1頁(yè)，共65頁(yè)。一、定積分的基本性質(zhì) 交換定積分的上下限，定積分改變符號(hào)，即 上下限相同的定積分等于零，即第2頁(yè)，共65頁(yè)。 定積分不依賴于積分變量的記號(hào)，即 如果在區(qū)間 上被積函數(shù) ，則 第3頁(yè)，共65頁(yè)。 線性性質(zhì)： 可積函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即第4頁(yè)，共65頁(yè)。證 ：第5頁(yè)，共65頁(yè)。 定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性，即證明：先設(shè) 由于函數(shù)在 上可積，在 時(shí)，Riemann和 的極限總是存在。 由于此極限與區(qū)間 的分割無(wú)關(guān)，因此可以使 為一個(gè)分點(diǎn)，將原有區(qū)間分成兩個(gè)子區(qū)間：和第6頁(yè)，共65頁(yè)。 此時(shí)區(qū)間 上的

2、Riemann和就等于子區(qū)間 和 上 Riemann和的和，即 在 條件下，上式兩端同時(shí)取極限即得第7頁(yè)，共65頁(yè)。再設(shè) ，由 ，得 證畢第8頁(yè)，共65頁(yè)。 保號(hào)性質(zhì)：如果 ，則證明：由 得 第9頁(yè)，共65頁(yè)。 保序性質(zhì)：如果 則 證明：令 ，由得第10頁(yè)，共65頁(yè)。 絕對(duì)值性質(zhì)：證明：由 ，根據(jù)得 又 故 第11頁(yè)，共65頁(yè)。附：按絕對(duì)值不等式性質(zhì)若則因此，由第12頁(yè)，共65頁(yè)。 定積分估值定理： 設(shè) 和 分別是函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最小值和最大值，則證明：由 根據(jù)定積分的保序性質(zhì)有 第13頁(yè)，共65頁(yè)。故 定積分中值定理： 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在上至少存在一點(diǎn) ，使得第14頁(yè)，共65

3、頁(yè)。證明： 設(shè) 和 分別是函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最小值和最大值 .將估值定理不等式各側(cè)同除以 得到 由于數(shù)值 介于函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最小值和最大值之間 第15頁(yè)，共65頁(yè)。 因此，按連續(xù)函數(shù)的介值定理，在 上至少存在一點(diǎn) ，使得 積分中值定理的幾何解釋 函數(shù)曲線下面積與矩形面積相等。第16頁(yè)，共65頁(yè)。 定積分第一中值定理： 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，函數(shù) 在 上可積且不變號(hào)，則在 上至少存在一點(diǎn) ，使得 第17頁(yè)，共65頁(yè)。證明：設(shè) ，若則根據(jù)定積分保序性質(zhì) 又由于有（保號(hào)性）第18頁(yè)，共65頁(yè)。在 上至少存在一點(diǎn) ，使得 證畢按連續(xù)函數(shù)的介值定理第19頁(yè)，共65頁(yè)?！纠}】根據(jù)定積分的性

4、質(zhì)，比較下列函數(shù)的大小。(1) 與解：由于在 上因此在 上故第20頁(yè)，共65頁(yè)。第21頁(yè)，共65頁(yè)。(2) 與解：由于在 上因此在 上故第22頁(yè)，共65頁(yè)。第23頁(yè)，共65頁(yè)。解：(3) 與由于在 上比較 和 的大小。令則當(dāng) 時(shí)， ， 為單調(diào)增加且故即所以第24頁(yè)，共65頁(yè)。第25頁(yè)，共65頁(yè)。(4) 與解：由于當(dāng) 時(shí)故因此在 內(nèi)第26頁(yè)，共65頁(yè)。第27頁(yè)，共65頁(yè)?！纠}】估計(jì)下列定積分之值 解：被積函數(shù)化為 在區(qū)間 上單調(diào)減少，故故（根據(jù)估值定理）按定積分的估值定理，第28頁(yè)，共65頁(yè)。 解：被積函數(shù) ，在區(qū)間 上單調(diào)增，所以 故第29頁(yè)，共65頁(yè)。 解：被積函數(shù)在區(qū)間 內(nèi) ， 單調(diào)減故

5、 按定積分的估值定理，第30頁(yè)，共65頁(yè)。 函數(shù)在給定區(qū)間小于零。第31頁(yè)，共65頁(yè)。二、積分上限的函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù) 按前述定積分的定義可知，若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，則函數(shù)在 上可積分，即其幾何意義如圖：第32頁(yè)，共65頁(yè)。 設(shè)函數(shù) ， 為區(qū)間 上任一點(diǎn)因此函數(shù) 在部分區(qū)間 上可積。 顯然，此時(shí)在區(qū)間 上的定積分 的積分值應(yīng)為其上限 的函數(shù)。即第33頁(yè)，共65頁(yè)。 在這個(gè)表達(dá)式中， 既是積分上限又是積分變量，為避免混淆，把被積表達(dá)式的積分變量改寫為 ，因此有稱為積分上限的函數(shù)顯然第34頁(yè)，共65頁(yè)。積分上限函數(shù)的幾何解釋： 積分上限函數(shù)為區(qū)間 內(nèi)曲線下的面積，顯然，若上限 變化，則其面積值也隨之

6、變化。第35頁(yè)，共65頁(yè)。積分上限的函數(shù)的重要性質(zhì) ：定理：如果函數(shù) ， 為閉區(qū)間 上任一點(diǎn)，積分上限的函數(shù) 在閉區(qū)間 上可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為 第36頁(yè)，共65頁(yè)。證明：設(shè) ，當(dāng)積分上限 有一個(gè)增量 時(shí)，將引起上限函數(shù)增量為 第37頁(yè)，共65頁(yè)。根據(jù)定積分的中值定理有按導(dǎo)數(shù)定義有注：由于 時(shí)，必有 ，且第38頁(yè)，共65頁(yè)。因此 積分上限函數(shù)在閉區(qū)間 端點(diǎn) 處的右導(dǎo)數(shù) 第39頁(yè)，共65頁(yè)。由于 時(shí)，必有 ，故其中 積分上限的函數(shù)在閉區(qū)間 端點(diǎn) 處的左導(dǎo)數(shù) 第40頁(yè)，共65頁(yè)。由于 時(shí)，必有 ，故其中結(jié)論：連續(xù)函數(shù) 取變上限積分后的函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)就是 本身。 即積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是被積函數(shù)本身。第41頁(yè)，

7、共65頁(yè)。定理（原函數(shù)存在定理）即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。上述定理也可以表述如下：第42頁(yè)，共65頁(yè)。【例題】 設(shè)變上限積分的函數(shù)為 ，則由自變量增量 引起的函數(shù)增量 設(shè) ，則第43頁(yè)，共65頁(yè)?！纠}】求下列變限積分所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解： 解： 第44頁(yè)，共65頁(yè)。 解：第45頁(yè)，共65頁(yè)。 ，式中 為可導(dǎo)函數(shù)。解：解：令 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第46頁(yè)，共65頁(yè)。解：解：函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)第47頁(yè)，共65頁(yè)。解：解：方程兩側(cè)同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)：得故第48頁(yè)，共65頁(yè)。 解：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)第49頁(yè)，共65頁(yè)?！纠}】 求極限 解： 此極限為“ ”未定型，可以應(yīng)用LHospital法則求解 第50頁(yè)，共65頁(yè)

8、。【例題】求下列函數(shù)的極限型解：第51頁(yè)，共65頁(yè)。型解：型解：第52頁(yè)，共65頁(yè)。三、 Newton-Leibniz公式 此外，還有 按原函數(shù)和積分上限函數(shù)的概念， 是被積函數(shù) 在閉區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)。 第53頁(yè)，共65頁(yè)。定理：如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的任意一個(gè)原函數(shù)，那么-Newton-Leibniz公式 第54頁(yè)，共65頁(yè)。證明：由于且 即 和 都是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的原函數(shù). 二者相差一個(gè)常數(shù) 若令 ，則若令 ，則第55頁(yè)，共65頁(yè)。兩式相減得Newton-Leibniz公式討論： Newton-Leibniz公式的意義：連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分是此函數(shù)任意一個(gè)原函數(shù)在該

9、區(qū)間上的增量。第56頁(yè)，共65頁(yè)。 -反映了定積分與微分的關(guān)系。積分是微分的逆運(yùn)算。 由定積分的中值定理第57頁(yè)，共65頁(yè)。 表明定積分的中值定理和微分的中值定理在Newton-Leibniz公式中實(shí)現(xiàn)了圓滿的統(tǒng)一。注：這里所有的 是一一對(duì)應(yīng)的 。由微分中值定理第58頁(yè)，共65頁(yè)。按定積分中值定理： 若 在 上連續(xù)，則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使成立。按微分中值定理： 若 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則在 至少存在一點(diǎn) ，使成立。第59頁(yè)，共65頁(yè)。按Newton-Leibniz公式 所以 表明：積分中值定理和微分中值定理在Newton-Leibniz公式 中得到統(tǒng)一，且 ， 是一致的。第60頁(yè)，共65頁(yè)?！纠}】用Newton-Leibniz公式計(jì)算定積分 解：由于， 是 的一個(gè)原函數(shù)因此被積函數(shù)是