隨機(jī)信號(hào)分析：1概率基礎(chǔ)知識(shí)

1、電子信息與自動(dòng)化學(xué)院 隨機(jī)信號(hào)分析課程的學(xué)習(xí)方法基本方法課堂作業(yè)答疑進(jìn)一步復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)討論參考資料課程的考核平時(shí)成績（30）班級(jí)的總體表現(xiàn)點(diǎn)名和作業(yè)抄題目每周四交作業(yè)，隨機(jī)產(chǎn)生要交作業(yè)的學(xué)生序號(hào)答疑和課堂回答問題考試成績（70）確定信號(hào)隨時(shí)間做有規(guī)律的、已知的變化?？梢杂么_定的時(shí)間函數(shù)來描述。如：方波、鋸齒波。人們可以準(zhǔn)確地預(yù)測它未來的變化，即：這次測出的是這種波形，下次測出的還是這種波形。隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間做無規(guī)律的、未知的、“隨機(jī)”的變化。無法用確定的時(shí)間函數(shù)來描述，無法準(zhǔn)確地預(yù)測它未來的變化。這次測出的是這種波形，下次測出的會(huì)是另一種波形。概率論（復(fù)習(xí)和提高）第一講概率空間隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)空間隨

2、機(jī)問題的建模隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)概率空間樣本空間事件域 F概率 P隨機(jī)現(xiàn)象雷達(dá)自動(dòng)跟蹤到的飛機(jī)的軌跡證卷交易所中，某股票一周的波動(dòng)記錄新街口測量噪音的分貝記錄體育彩票下次開獎(jiǎng)的特等獎(jiǎng)號(hào)碼明天上午我的心情。隨機(jī)現(xiàn)象隨處可見。一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象連續(xù)拋一枚硬幣三次正，正，正正，正，反正，反，正正，反，反反，正，正反，正，反反，反，正反，反，反隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)是具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)：1、試驗(yàn)在相同的條件下可以重復(fù)；2、每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并能事先明確試驗(yàn)將會(huì)出現(xiàn)的所有可能；3、每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。隨機(jī)試驗(yàn)簡稱試驗(yàn)，通常用 E 表示樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果，一般用ksi表示。樣本空間

3、：隨機(jī)試驗(yàn) E 中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，即全體樣本點(diǎn)的集合，一般用 表示。事件舉例隨機(jī)試驗(yàn)：連續(xù)拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)的結(jié)果樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果： A0=正，正，正 A1=正，正，反 A2=正，反，正 A3=正，反，反 A4=反，正，正 A5=反，正，反 A6=反，反，正 A7=反，反，反B1A0， A1， A2， A3 第一次拋的結(jié)果為正的事件B2A0， A7 三次結(jié)果相同的事件B3A0， A1， A2， A3， A4， A5， A6， A7 必然事件=樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合 1,2,3,4,5,6樣 本 點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)每個(gè)可能出現(xiàn)

4、的結(jié)果： 1、2、3、4、5、6投擲結(jié)果為3的事件 A=3投擲結(jié)果為奇數(shù)的事件 B=1,3,5投擲結(jié)果為大數(shù)的事件 C=4,5,6必然事件 D=1,2,3,4,5,6不可能事件 E=隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果，它是個(gè)集合。事件的運(yùn)算（事件的關(guān)系）事件之間的關(guān)系等價(jià)于集合之間關(guān)系。AB包含：BAAB和：AB積：ABBAAB差：AB互不相容：ABAB逆：A事件域 事件域 F 是由樣本空間中的某些子集構(gòu)成的非空集類。 集類是指以集為元素的集合。集：就是事件。所以，事件域就是事件的集合。事件域F隨機(jī)事件： 在隨機(jī)試驗(yàn)中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果一般稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。一般用大寫字母A，B，C 表

5、示基本事件：（1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的。（2）任何事件（除不可能事件外的）都可以表示為若干個(gè)基本事件的和。必然事件：樣本空間也可以看成為一個(gè)事件，由于每次試驗(yàn)中必然出現(xiàn)中的一個(gè)樣本點(diǎn)，所以稱為必然事件。不可能事件：空集也可以看成為一個(gè)事件，由于每次試驗(yàn)中必然不在中 ，所以稱為不可能事件。事件域 F ：是由樣本空間中的某些子集構(gòu)成的非空集類。（集類是指以集為元素的集合。）概率P古典概型幾何概型統(tǒng)計(jì)概型公理化定義有限、等可能，A 無限、等可能，無限、非等可能，非負(fù)性、規(guī)范性、完全可加性 （參見教材P5） 在概率論的發(fā)展史上，人們曾針對不同問題，從不同角度給出了概率的三種定義和計(jì)算方法。 這三種

6、定義和計(jì)算方法都具有各自的適用范圍，存在一定的局限性，但在三種定義下概率的性質(zhì)卻是完全相同的。 因此，人們從概率的性質(zhì)出發(fā)，給概率賦予一個(gè)新的數(shù)學(xué)定義，即概率的公理化定義。 這個(gè)定義只指明概率應(yīng)具有的基本性質(zhì)，不具體規(guī)定概率的計(jì)算方法。若定義在事件域 F 上的一個(gè)集合函數(shù) P 滿足下列三個(gè)條件： 非負(fù)性： 規(guī)范性： 完全可加性：若 且兩兩互不相關(guān)時(shí)，有概率的公理化定義:則稱 P 為概率。樣本空間 、事件域 F 和概率 P 構(gòu)成的總體（, F, P）稱為隨機(jī)試驗(yàn) E 的概率空間。 概率的性質(zhì): 給定概率空間（, F, P），從概率的公理化定義的三個(gè)條件，可以推出概率的性質(zhì)： 不可能事件的概率為

7、0， P()=0 必然事件的概率為 1，P()=1 逆事件的概率為， 有限可加性：若 ，且兩兩互不相容，則 : 單調(diào)性：若 ，則: 加法公式： 次可加性：條件概率定義乘法公式全概率公式貝葉斯公式概念1條件概率定義：P(A/B)表示在B事件已發(fā)生的條件下，A事件發(fā)生的概率。P(A/B)L(AB)/L(B)=P(AB)/P(B)可看成在縮小“樣本空間” B上,求A發(fā)生的概率。AB=BAB同理可得： 若A于B 互不相容 P(AB)=0，則P(A/B)=0，P(B/A)=0。且有：條件概率乘法公式定義：例1.3 一批零件共100個(gè)，次品率為10。每次從其中任取一個(gè)，取出后不再放回，求第三次才取得合格品

8、的概率？解：設(shè)第一次取出零件是次品為事件A1，第二次取出零件是次品為事件A2，第三次取出零件是合格品為事件A3。條件概率全概率公式完備事件集：AB1B2BiBn全概率公式：例1.4 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批。在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來檢查，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。假定每批中的次品最多不超過4個(gè)，且有如下分布，求各批產(chǎn)品通過檢查的概率？ 一批產(chǎn)品中的次品數(shù) 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 條件概率全概率公式解：設(shè)一批產(chǎn)品中有 i個(gè)次品的事件為 。則有設(shè)事件A表示這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品。則 由全概率

9、公式求出條件概率Bayes公式 定義：Hi 概率Hi先驗(yàn)概率Hi后驗(yàn)概率例 對以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí)，產(chǎn)品合格率為90；而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30；并且每天早上開機(jī)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75。求：某天早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？ 由Bayes公式求出解：記“產(chǎn)品合格”為事件A，“機(jī)器調(diào)整良好”為事件 B，則概念2獨(dú)立兩事件獨(dú)立：A發(fā)生的概率與B發(fā)生與否無關(guān)。即P(A/B)=P(A) 或 P(B/A)=P(B) 或 P(AB)=P(A)P(B)ABABA 43 保持不變P(A)=L(A)/L()=1/5 610可見B變化時(shí)，都有 P(A/B

10、)=L(AB)/L(B)=1/5= P(A)（A和B獨(dú)立）但是，AB （A和B相容） （教材P10）情況1：B 45情況2：B 25兩個(gè)事件互不相容表示兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。 獨(dú)立與相容的關(guān)系：1、如果把“A與B互不相容”放在概率論范疇去討論，則表示“A發(fā)生B就不能發(fā)生”。因A限制了B，則A與B相關(guān)。2、若把“A與B相互獨(dú)立”放在集合論范疇去討論，由于P(AB)=P(A)P(B) 0, P(A) 0, P(B) 0， 即AB ,由于A與B可以同時(shí)發(fā)生，則A與B必定相容。多個(gè)事件相互獨(dú)立A, B, C相互獨(dú)立A, B, C兩兩獨(dú)立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C) “相互獨(dú)立”可推出“兩兩獨(dú)立”，反之不行。多個(gè)事件相互獨(dú)立例：取四只相同的球，在第一只球上寫上記號(hào)1 2 3，在其他的三只球上分別寫上記號(hào)1、2和3，把這四只球放在一個(gè)口袋中并且隨機(jī)的取出一只來