西南交通大學(xué)概率教案5(考研必備)

1、2.2 離散型隨機(jī)變量一、離散型隨機(jī)變量二、常見的離散型隨機(jī)變量1一、離散型隨機(jī)變量的分布律 1、離散型隨機(jī)變量定義定義2.1 若隨機(jī)變量X的可能取值僅有有限或可列多個, 則稱此隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。即：X的可能取值為xk, 則離散型隨機(jī)變量可記為 X=xk k=1,2,3,22、離散型隨機(jī)變量的分布律定義2.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為xk，且X取值為xk的概率，即事件X=xk 的概率為則稱(2.1)式為X的概率分布(或分布律)。3注：概率分布有三種表示方式4pkXx1x2x3xn(3)圖形表示法5由隨機(jī)變量X的概率分布可以得到其分布函數(shù)，以X有n個可能取值為例：6(2) 離散

2、型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形為一階梯形曲線；注(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)在X=xk處有跳躍，其跳躍值為pk=PX=xk，k=1,2,；7練習(xí) 設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律如下：83、離散型隨機(jī)變量的分布律的求法(1)利用古典概率、條件概率、獨(dú)立性等計(jì)算方法及其運(yùn)算法則求出事件X=xk的概率pk=PX=xk, k=1, 2,求法步驟為：第一步：先確定X的全部可能取值xk，k=1, 2,;第二步：具體求出事件X=xk的概率，即pk。9例2.1 設(shè)有甲、乙兩勢均力敵的排球隊(duì)，在每一局比賽中各隊(duì)取勝的概率都是1/2，求兩個隊(duì)在一場排球比賽中所打局?jǐn)?shù)的概率分布及分布函數(shù)。10解

3、: 設(shè)一場排球比賽中所打局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X, 則按現(xiàn)行規(guī)則, X的取值只可能是3, 4或5. 而第k局比賽甲, 乙隊(duì)取勝的事件分別記為Ak, Bk,則 P(Ak)=P(Bk)=1/2, k=1,2,3,4,5且每個Ak與Bk間是相互獨(dú)立的。11X 3 4 5Pk 1/4 3/8 3/8PX=51PX=3PX=43/8X的分布函數(shù)為：即所求概率分布如下表：12(2)利用分布函數(shù)F(x)求概率分布求法步驟為：第一步：F(x)的各間斷點(diǎn)xk的取值為X的可能取值；第二步：由pk=PX=xk=F(xk)F(xk0)求出事件X=xk的概率。例2.2 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求X的概率分布。13解: (1)

4、 F(x)的間斷點(diǎn)為1,1,3, 即為X的可能取值(2) p1=P(X= 1)=F(1)F(10)=0.40=0.4p2=P(X=1)=F(1)F(10)=0.80.4=0.4p3=P(X=3)=F(3)F(30)=10.8=0.2(3) 利用分布律的基本性質(zhì)求分布律14例2.3 一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個作質(zhì)量檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，試求出它的概率分布。解: 設(shè)抽取產(chǎn)品的檢驗(yàn)等級數(shù)為X, 則X =1,2,3, 依題意知15二、常見的離散型隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值僅為0或1，其概率分布為 PX=k=pk

5、(1p)1k k=0,1 (0p1)或則稱X服從參數(shù)為p的（01）分布。X011pppk 其分布函數(shù)為：1、（01）分布（兩點(diǎn)分布）16例：(1)對新生嬰兒進(jìn)行性別登記，記女嬰出現(xiàn)的事件為A(2)檢查一件產(chǎn)品是否合格，記合格品的事件為A(3)檢查某車間電力消耗量是否超負(fù)荷，記超過負(fù)荷事件為A(4)拋擲硬幣一次，記正面出現(xiàn)的事件為A。17例2.4 設(shè)100件產(chǎn)品，其中有95件合格品，5件次品。現(xiàn)從中任取一件，設(shè)隨機(jī)變量試求X的概率分布及分布函數(shù)。182、等可能分布(離散型均勻分布) 如果隨機(jī)變量X可以取n個不同的值x1, x2, xn, 且取每個xk值的概率相等, 即 PX=xk=1/n k=1

6、,2,n則稱X服從等可能分布或離散型均勻分布, 其分布參數(shù)為n, 可記為XU(n)。其分布函數(shù)為注: 等可能概型中, 試驗(yàn)E的可能結(jié)果只可能是有限個193、二項(xiàng)分布 若隨機(jī)變量X取值為0,1,2,n的概率為則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為XB(n,p)。其分布函數(shù)為20應(yīng)用模型： n重貝努利概型中事件A發(fā)生的次數(shù)X即服從B(n,p)。定義2.3獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，或稱貝努利概型。21例如：(1)n次投擲一枚硬幣，其中正面出現(xiàn)次數(shù)X的分布；(2)檢查n只產(chǎn)品(次品率一定)，其中次品個數(shù)X的分布；(3)n臺同型號機(jī)床，在一小時內(nèi)，每臺機(jī)床出故障的概率

7、相同，則n臺機(jī)床在同一小時內(nèi)出故障的臺數(shù)的分布；(4)n個新生嬰兒中男嬰的個數(shù)的分布；(5)某射手向同一目標(biāo)射擊n次，n次射擊中擊中靶心的次數(shù)的分布。22注3 當(dāng)二項(xiàng)分布B(n,p)中的參數(shù)n=1時, 化為兩點(diǎn)分布B(1,p), 即兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例注1 注2 二項(xiàng)分布B(n,p)的分布律PX=k在23例2.5 設(shè)某種疾病在鴨子中傳染的概率為0.25。 (1)求在正常情況下(未注射防疫血清時)，50只鴨子和39只鴨子中，受到感染的最大可能只數(shù)； (2)設(shè)對17只鴨子注射甲種血清后，仍有一只受到感染；對23只鴨子注射乙種血清后，仍有兩只受到感染。試問這兩種血清是否有效？注4 一般地, 當(dāng)n

8、不大于10時, F(x)的值可由二項(xiàng)分布表查出, 若n較大時, 通常采用泊松分布函數(shù)或正態(tài)分布函數(shù)作近似計(jì)算。24解: 設(shè)n只鴨子中受感染的只數(shù)為X, 則XB(n,0.25)25由于假定血清無效, 而得出相應(yīng)事件出現(xiàn)的概率很小, 所以, 可以初步判斷兩種血清都是有效的。且由于F23(2)0為常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布, 記作X (); 其分布函數(shù)為27注1 泊松分布中的參數(shù)表征平均特性, 如X表示單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼叫次數(shù), 即表示在這單位時間內(nèi)接到呼叫次數(shù)的平均數(shù)。應(yīng)用模型： 作為描述大量獨(dú)立試驗(yàn)中稀有事件A出現(xiàn)次數(shù)的分布模型。例如：(1)電話交換臺在一段時間內(nèi)接到的呼喚次

9、數(shù);(2)一大批產(chǎn)品中的廢品數(shù);(3)某路段, 某時段內(nèi)交通事故出現(xiàn)的次數(shù);(4)某商店一天內(nèi)銷售的某種特殊商品數(shù);(5)一本書中某一頁上印刷錯誤個數(shù)。28注2 泊松分布常用于近似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。 當(dāng)貝努利試驗(yàn)的次數(shù)n很大，而在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率p很小，且=np適中時，可用泊松分布作二項(xiàng)分布概率的近似計(jì)算，即從下表可看出近似程度。（見下頁）注3 泊松分布 ()的分布律PX=k在2930例2.6 某電話交換臺在一般情況下, 一小時內(nèi)平均接到電話60次, 已知電話呼喚次數(shù)X服從泊松分布, 試求在一般情況下, 30秒內(nèi)接到電話次數(shù)不超過一次的概率。31例2.7 設(shè)有80臺同類型設(shè)備, 各

10、臺工作是相互獨(dú)立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法, 其一是由4人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)20臺; 其二是由3人共同維護(hù)80臺, 試比較兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。32解: (1)按第一種方法, 設(shè)X為“第一人維護(hù)的20臺同時發(fā)生故障的臺數(shù)”, Ai (i=1,2,3,4)為“第i人維護(hù)的20臺中發(fā)生故障不能及時維修”則80臺中發(fā)生故障不能及時維修的概率為P(A1A2A3A4)依題意XB(20,0.01), 此處=np=0.2, 故P(A1)=P(X 2)33故 P(A1A2A3A4) 0.017523134(2)按第二

11、種方法, 設(shè)Y為“80臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”, 此時YB(80,0.01), 此處=np=0.8, 則80臺中發(fā)生故障不能及時維修的概率為查泊松分布表得 P(Y 4)0.00908所以，第二種方法更好。35例2.8 一臺總機(jī)共有300臺分機(jī), 總機(jī)擁有13條外線, 假設(shè)每臺分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3%, 試求每臺分機(jī)向總機(jī)要外線時能及時得到滿足的概率和同時向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺數(shù)。解: 設(shè)300臺分機(jī)向總機(jī)要外線的臺數(shù)為X, 則XB(300,0.03)由注3知, 向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺數(shù)為8或9臺(因=9為整數(shù))36例2.9(壽命保險(xiǎn)問題) 設(shè)在保險(xiǎn)公司里有2500個同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險(xiǎn), 在一年里每個人死亡的概率為0.002, 每個參加保險(xiǎn)的人在每年一月一日付12元保險(xiǎn)費(fèi), 而死亡時家屬可到保險(xiǎn)公司領(lǐng)取賠付費(fèi)2000元。試問：(1)“一年內(nèi)保險(xiǎn)公司虧本”(記為A)的概率是多少？(2)“一年內(nèi)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000, 20000元”(分別記為B1,B2)的概率是多少？37解：每年保險(xiǎn)公司收入為250012=30000元, 設(shè)