清華信號(hào)與系統(tǒng)chapter7

1、7.4離散變換應(yīng)用FFT介紹快速卷積快速相關(guān)（功率譜計(jì)算）對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析的近2006-10-2917.4.0本節(jié)內(nèi)容FFT介紹快速卷積快速相關(guān)（功率譜計(jì)算）對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析的近2006-10-2927.4.1FFT介紹FFT介紹快速離散變換FFT應(yīng)用DFT中的計(jì)算冗余性，將DFT的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行降低。長(zhǎng)度為N序列進(jìn)行離散變換：DFT : 復(fù)數(shù)乘法：N 2 ,復(fù)數(shù)加法：N (N 1)N logFFT : 復(fù)數(shù)乘法：N ,22復(fù)數(shù)加法：N log2 N2006-10-2937.4.2快速卷積快速卷積的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)于長(zhǎng)度為N1序列x(n)和程度為N2序列h(n)y(n) x(m)h(n m)進(jìn)

2、行線卷積：m結(jié)果序列y(n)長(zhǎng)度：N1 N2其中乘法運(yùn)算次數(shù)：N1N2.12006-10-2947.4.2快速卷積快速卷積方案：快速卷積：兩次FFT,一次IFFT,一次乘法。如果h(n),H(k)已經(jīng)計(jì)算進(jìn)行一次FFT,一次IFFT,一次乘法。好了，實(shí)際2006-10-2957.4.2快速卷積快速卷積的計(jì)算復(fù)雜度DFT :時(shí)域圓卷積,補(bǔ)零得到線卷積結(jié)果在N1 N2 N時(shí)，補(bǔ)零后的長(zhǎng)度為：N1 N2 1 2N2 2N log2N 2N 2N 1 log2N 222隨著N增大，計(jì)算復(fù)雜度比N2顯著減小一次乘法次數(shù)兩次FFT的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)2006-10-2967.4.2快速卷積兩序列長(zhǎng)度相差很多兩個(gè)

3、序列長(zhǎng)度相差很多補(bǔ)齊等長(zhǎng)后會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜度；一個(gè)序列為無(wú)限長(zhǎng)的實(shí)時(shí)信號(hào)無(wú)法進(jìn)行補(bǔ)齊；解決方法：“相加法”2006-10-2977.4.3快速卷積相加法：將長(zhǎng)序列分成若干小段，每段長(zhǎng)度接近于階段的序列長(zhǎng)度。進(jìn)行快速卷積后，將結(jié)果再累加起來(lái)。因果序列h(n) : N , x(n) : N1 , N1 Nx(n)分成長(zhǎng)度為M的P個(gè)小段。P1x(n) x (n)ii0iM n (i 1)M 1 x(n)xi (n) 0n為其它值P1y(n) x(n) h(n) x (n) h(n)ii02006-10-2987.4.2快速卷積長(zhǎng)度相差很大的兩個(gè)序列進(jìn)行卷積-分段情況：2006-10-2997.4.2快

4、速卷積長(zhǎng)度相差很大的兩個(gè)序列進(jìn)行卷積-結(jié)果相加2006-10-29107.4.2快速卷積FFT算法也可以解決解卷積運(yùn)算。2006-10-29117.4.4快速相關(guān)快速相關(guān)（功率譜計(jì)算）N 1y(m) x(n)h n mn0Y (k ) X (k ) H *(k )N7.4.4快速相關(guān)功率譜計(jì)算Rxx (m) x(n)x(n m) Y (k ) DFT Rxx (n) DFT x(n) DFT * x(n)2006-10-2913DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜分析分析條件：信號(hào)抽樣與截?cái)喈a(chǎn)生現(xiàn)象：混疊、頻率數(shù)值變換；DFT結(jié)果對(duì)連續(xù)信號(hào)分析；、電平2006-10-29142006 10 2915時(shí)間

5、有限信號(hào)時(shí)間有限，頻譜不是有限帶寬。時(shí)間抽樣，頻譜周期延拓，發(fā)生混疊（aliasing）現(xiàn)象。2006-10-2916頻率有限信號(hào)頻域有限，時(shí)域無(wú)限（leakage）截?cái)喈a(chǎn)生頻率時(shí)域矩形窗口截?cái)囝l域卷積頻率有限信號(hào)改進(jìn)頻率現(xiàn)象：改進(jìn)截?cái)啻翱谛螤钌嘞掖翱诤瘮?shù)；漢寧窗口；改進(jìn)的升余弦窗口函數(shù)；二階升余弦窗（曼窗）2006-10-2918周期信號(hào)周期信號(hào)主取值區(qū)間抽樣；頻譜無(wú)限：產(chǎn)生混疊現(xiàn)象；頻譜有限：沒(méi)有混疊現(xiàn)象；2006-10-2919計(jì)算結(jié)果數(shù)值相對(duì)變化信號(hào)進(jìn)行周期為T(mén)s抽樣形成離散信號(hào)。DFT結(jié)果是連續(xù)信號(hào)頻譜幅值的1/Ts;1T /2 tjnF f (t)edt1nTT /2 s由DFT

6、計(jì)算抽樣信號(hào)結(jié)果乘以Ts得到對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào)的頻譜。2006-10-2920DFT計(jì)算結(jié)果的對(duì)連續(xù)信號(hào)分析DFT計(jì)算結(jié)果是數(shù)值序列。每個(gè)數(shù)值 X(k)所對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào)的頻率以及該頻率下的幅值與相位是什么?IDFT恢復(fù)原是波形抽樣x(n)，它所描繪的波形實(shí)際時(shí)間分布是什么?2006-10-2921對(duì)頻率受限信號(hào)(最大頻率fm )進(jìn)行周期為T(mén)s的沖擊抽樣，信號(hào)抽樣的時(shí)間區(qū)間為T(mén)1抽樣所得序列長(zhǎng)度為：N T1 / TsDFT頻譜重復(fù)周期：fs 1/ Ts 2 fm頻譜間隔(譜線分辨率)f1 1/ T1;由于進(jìn)行DFT時(shí)，是將原來(lái)采樣周期Ts看作1，進(jìn)行計(jì)算的，故此，它所得到的頻譜比起實(shí)際連續(xù)信號(hào)的頻譜大了

7、 1 倍，故此需要在計(jì)Ts算結(jié)果上乘以Ts 才表示連續(xù)信號(hào)的頻譜值。Ts X (k )表示信號(hào)在頻率kf1處的頻率密度幅值.kf1的諧波分量的幅值.也可以表示頻率為2006-10-2923 j 2 n( N k )N 1X (N k ) xp (n)en0N j 2 (nk )N 1 x e j 2n X (k )N(n)epn0可以將 N N 1處T X (k )看作負(fù)頻( N 1) fss2的頻譜。22006-10-2924對(duì)于給定頻譜進(jìn)行周期為f1抽樣得到頻譜序列X (k ), 抽樣最高頻率為fs .進(jìn)行IDFT得 到時(shí)間序列x(n), 根據(jù)前面分析，需要在x(n)除以Ts即乘以fs 才

8、可獲得實(shí)際時(shí)間波形。 n / fs處的時(shí)間波形到相對(duì)應(yīng)的時(shí)間波形.fs x(n)對(duì)應(yīng)在時(shí)間nTs的抽樣.插值后便2006-10-2925如果對(duì)于時(shí)間信號(hào)在0至1秒?yún)^(qū)間進(jìn)行抽樣，抽樣個(gè)數(shù)為N,則抽樣頻率為NHz, 抽樣時(shí)間1間隔為1/N秒，此時(shí)將變換中， 放在N正變換式中，而不是逆變換式中，此時(shí)所得到的結(jié)果可直接表示所需的結(jié)果，無(wú)須再乘轉(zhuǎn)換系數(shù)。2006-10-2926例：利用DFT 分析下圖所示三角信號(hào)的頻譜，它具幅度，持續(xù)時(shí)間為2ms，所求頻譜的分辨率要有求為f1 100Hz，最高頻率范圍：fh 25kHz。解：由最高頻率范圍fh確定抽樣時(shí)間間隔：11s 20sTs2 251032 fh2006-10-2927由f1確定時(shí)間函數(shù)的延拓周期，即時(shí)間長(zhǎng)度11T s 10ms，1f1001 500數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)：s為了使用FFT，取N 512 29晴28200