新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 7.1　基本立體圖形 學(xué)案

1、PAGE PAGE 12第七章 立體幾何7. 1基本立體圖形1. 利用實物、計算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu). 2. 知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題. 3. 能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖. 【教材梳理】1. 棱柱、棱錐、棱臺幾何體棱柱棱錐棱臺圖形定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多

2、面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體結(jié)構(gòu)特征底面互相平行且全等；側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都相等且互相平行底面是一個多邊形；側(cè)面都是三角形；側(cè)面有一個公共頂點上、下底面互相平行且相似；各側(cè)棱延長線交于一點；各側(cè)面為梯形分類按底面多邊形的邊數(shù)：三棱柱、四棱柱、五棱柱按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否則叫做斜棱柱. 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體按底面多邊形的邊數(shù)：三棱錐、四棱錐、五棱錐正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐按底面多邊形的邊數(shù)：三棱臺、四棱臺、五棱臺正棱臺：由正棱

3、錐截得的棱臺2. 圓柱、圓錐、圓臺、球圓柱圓錐圓臺球圖形定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征母線互相平行且相等，并垂直于底面軸截面是全等的矩形側(cè)面展開圖是矩形母線相交于一點軸截面是全等的等腰三角形側(cè)面展開圖是扇形母線延長線交于一點軸截面是全等的等腰梯形側(cè)面展開圖是扇環(huán)截面是圓面簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體. 其構(gòu)成形式

4、主要有：由簡單幾何體拼接，或由簡單幾何體截去或挖去一部分. 3. 立體圖形的直觀圖(1)概念：直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形，立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形. (2)斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O. 畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x軸與y軸，兩軸相交于點O，且使xOy45(或135)，它們確定的平面表示水平面. 已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段. 已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半. 畫幾何體的

5、直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變. 4. 簡單幾何體的表面積與體積(1)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積幾何體圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l其中r，r為底面半徑，l為母線長. (2)柱、錐、臺、球的表面積和體積幾何體名稱表面積體積(S是底面積，h是高)柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底Veq f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球(R是半徑)S4R2Veq f(4

6、,3)R3【常用結(jié)論】5. 常見四棱柱及其關(guān)系6. 按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積是原圖形的eq f(r(2),4)倍，即S直觀圖eq f(r(2),4)S原圖形. 7. 幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即eq r(a2b2c2)2R. (2)正方體的棱長為a，球的半徑為R，若球為正方體的外接球，則2Req r(3)a；若球為正方體的內(nèi)切球，則2Ra；若球與正方體的各棱相切，則2Req r(2)a. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31. 判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“”，錯誤的畫“”. (1)

7、有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱. ()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐. ()(3)側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體. ()(4)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，原圖形面積S與其直觀圖面積S的關(guān)系為Seq f(r(2),4)S. ()(5)錐體的體積等于底面積與高之積. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材習(xí)題改編)三棱錐的四個面中，下列說法不正確的是 ()A. 不能都是直角三角形B. 可能都是銳角三角形C. 可能都是等腰三角形D. 可能都是鈍角三角形解：正方體中三棱錐AA1B1C1的各面都是直角三角形，故A不正確；正四面體，四個面中，都是等邊三角形

8、，故B，C正確；三棱錐的四個面中，可能都是鈍角三角形，即D正確. 故選A. 用斜二測畫法畫如圖所示的直角三角形的水平放置圖，正確的是 ()A B C D解：由斜二測畫法知D正確. 故選D. (2021全國新高考卷)已知圓錐的底面半徑為eq r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為 ()A. 2 B. 2eq r(2) C. 4 D. 4eq r(2)解：設(shè)圓錐的母線長為l，由于圓錐底面圓的周長等于半圓的弧長，則l2eq r(2)，解得l2eq r(2). 故選B. 考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(2021海南中學(xué)期末)下列說法正確的是 ()A. 有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊

9、形的多面體是棱柱B. 三棱錐的三個側(cè)面都可以是直角三角形C. 有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D. 以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐解：對于A，如圖1符合條件但卻不是棱柱；對于B，在圖2所示的正方體中，三棱錐B1BCD的三個側(cè)面都是直角三角形，故B正確；對于C，如圖3，其側(cè)棱不相交于一點，故不是棱臺；對于D，如圖4，以直角三角形的斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個同底的圓錐. 故選B. 【點撥】 解決此類問題的基本方法：定義法：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系

10、或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定；反例法：學(xué)會通過反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設(shè)法舉出一個反例即可. 【多選題】給出下列命題，其中正確的是 ()A. 圓柱的母線與它的軸可以不平行B. 圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形C. 在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線D. 圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的解：結(jié)合圓柱、圓錐和圓臺的結(jié)構(gòu)特征可知，BD正確. 故選BD. (2020全國新高考卷卷)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間. 把地球看成一個球(球心

11、記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面. 在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40，則晷針與點A處的水平面所成角為 ()A. 20 B. 40 C. 50 D. 90解：畫出截面圖如圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線，l是點A處的水平面的截線，依題意可知OAl. AB是晷針處所在直線，m是晷面的截線，依題意，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得mCD，根據(jù)線面垂直的定義可得ABm. 由于AOC40，mCD，所以O(shè)AGAOC40，由于OAGGAEBAEGAE90，所以BAE

12、OAG40，也即晷針與點A處的水平面所成角為BAE40. 故選B. 【點撥】 課程標(biāo)準(zhǔn)要求考生認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，并能描述現(xiàn)實生活中的簡單物體結(jié)構(gòu)，高考常與數(shù)學(xué)文化結(jié)合考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，也體現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué). (2020全國卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐. 以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為 ()A. eq f(r(5)1,4) B. eq f(r(5)1,2)C. eq f(r(5)1,4) D. eq f(r(5)1,2)解：如圖，E為CD的中點，O為正方形

13、ABCD的中心，連PO，PE，OE，則PO平面ABCD. 設(shè)CDa，PEb，則POeq r(PE2OE2)eq r(b2f(a2,4)，由題意PO2eq f(1,2)ab，即b2eq f(a2,4)eq f(1,2)ab，化簡得4(eq f(b,a)22eq f(b,a)10，解得eq f(b,a)eq f(1r(5),4)(負(fù)值舍去). 故選C. 考點二空間多面體的面積、體積命題角度1空間多面體的面積(2020上海市通河中學(xué)高二月考)側(cè)面是正三角形的正四棱錐，體積為eq f(r(2),6)，則它的全面積是_. 解：如圖，PABCD為正四棱錐，設(shè)底面邊長為a，過P作PGBC于G，作PO底面AB

14、CD，垂足為O，連接OG. 在RtPOG中，PGeq f(r(3),2)a，POeq r(f(3a2,4)f(a2,4)eq f(r(2),2)a，因為體積為eq f(r(2),6)，即eq f(1,3)a2eq f(r(2),2)aeq f(r(2),6)，則a1. 所以正四棱柱的全面積為4eq f(r(3),4)a2a21eq r(3). 故填1eq r(3). 【點撥】 求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，通過建立未知量與已知量間的關(guān)系進(jìn)行求解. (2020上海市宜川中學(xué)高二期中)如圖1

15、所示的正方體的棱長為1，沿對角面(圖中陰影部分)將其分割成兩塊，重新拼接成如圖2所示的斜四棱柱，則所得的斜四棱柱的表面積是_. 解：由拼接規(guī)律得：斜四棱柱的上下兩個底面為矩形，長為1，寬為eq r(2)；左右為兩個正方形，邊長為1；前后為兩個平行四邊形，相鄰兩邊長為1與eq r(2)，一個內(nèi)角為45，從而斜四棱柱的表面積是21eq r(2)21221eq r(2)sin4542eq r(2)，故填42eq r(2). 命題角度2空間多面體的體積如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為 ()A. eq f(r

16、(2),3) B. eq f(r(3),3) C. eq f(4,3) D. eq f(3,2)解：如圖，過A，B兩點分別作AM，BN垂直于EF，垂足分別為M，N，連接DM，CN，可證得DMEF，CNEF，則多面體ABCDEF分為三部分，即多面體的體積VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC. 依題意知AEFB為等腰梯形. 易知RtDMERtCNF，所以EMNFeq f(1,2). 又因為BF1，所以BNeq f(r(3),2). 作NH垂直于BC，則H為BC的中點，所以NHeq f(r(2),2). 所以SBNCeq f(1,2)BCNHeq f(r(2),4). 所以VFBNCeq

17、 f(1,3)SBNCNFeq f(r(2),24)，VEAMDVFBNCeq f(r(2),24)，VAMDBNCSBNCMNeq f(r(2),4). 所以VABCDEFeq f(r(2),3)，故選A. 【點撥】 求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補(bǔ)法和等積變換法(等體積法)：割補(bǔ)法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積. 等積變換法：特別地，對于三棱錐，由于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體積；利用“等積性”還可求“點到面的距離”. (2019全國卷)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型. 如圖

18、，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，ABBC6 cm，AA14 cm，3D打印所用原料密度為0. 9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_g. 解：由題意得，S四邊形EFGH464eq f(1,2)2312 (cm2)，因為四棱錐OEFGH的高為3 cm，所以VOEFGHeq f(1,3)12312 (cm3). 又因為長方體ABCDA1B1C1D1的體積為V2466144 (cm3)，所以該模型體積為VV2VOEFGH14412132 (cm3)，其質(zhì)量m0. 9132118.

19、 8 (g). 故填118. 8. 考點三空間旋轉(zhuǎn)體的面積、體積命題角度1空間旋轉(zhuǎn)體的面積如圖，四邊形ABCD為梯形，ADBC，ABC90，以A為圓心，AD為半徑畫一個扇形，則圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為_. 解：依題意，形成的幾何體是一個圓臺從上面挖出一個半球，S半球eq f(1,2)4228，又CDeq r(（52）242)5，所以S圓臺側(cè)(25)535，S圓臺底25. 故所求幾何體的表面積S表8352568. 故填68. 【點撥】 求旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用. 直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)一周形成的是圓臺，四分之一圓繞半徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的是半球，所

20、以陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周形成的是組合體，圓臺挖去半球，S表S圓臺側(cè)S下底面S半球表. 如圖，在四邊形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2eq r(2)，AD1，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為_. 解：過點C作CEAD，垂足為E，如圖所示. 因為ADC135，所以EDC45，所以CDE是等腰直角三角形，因為CD2eq r(2)，所以ECED2. 又因為AD1，所以AEADDE3. 所以BCeq r(（52）232)3eq r(2). 四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐. 其中圓臺的上下底面圓的半徑分別為EC，AB，高為AE；圓錐的底

21、面圓的半徑為EC，高為DE. 所以所得幾何體的表面積S52(25)3eq r(2)22eq r(2)25(eq r(2)1). 故填25(eq r(2)1). 命題角度2空間旋轉(zhuǎn)體的體積(2021湖北省天門中學(xué)模擬)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積是 ()A. 5 B. 3 C. eq f(5,2) D. eq f(3,2)解：如圖，過C作y軸的垂線交y軸于E，則DCE是直角三角形，四邊形ABCE是直角梯形，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個圓錐和一個圓臺的組合體，易求得AB1，BCeq r(2)，CE2，

22、AE1，ED2，DC2eq r(2)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為Veq f(1,3)222eq f(,3)(11222)15. 故選A. 【點撥】 求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何量. 求旋轉(zhuǎn)體的體積常用公式法、分割法等，注意相關(guān)公式要牢記. 烏鴉喝水的寓言故事，鼓勵人們遇到困難要運用智慧、認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解. 如圖所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶，上面部分是圓柱體，下面部分是圓臺，瓶口直徑為3 cm，瓶底直徑為9 cm，瓶口距瓶頸為2eq r(3) cm，瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為eq f(3r(3),2) cm. 現(xiàn)將1顆石子投入瓶中

23、，發(fā)現(xiàn)水位線上移eq f(r(3),2) cm. 若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時，烏鴉才能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是(石子體積均視為一致) ()附：圓臺體積公式：V圓臺eq f(1,3)h(R2r2Rr)，其中h為圓臺高，R為圓臺下底面半徑，r為圓臺上底面半徑. A. 2顆 B. 3顆 C. 4顆 D. 5顆解：如圖所示，AB9 cm，EFGH3 cm，LO3eq r(3) cm，所以A60. 原水位線直徑CD6 cm，投入石子后，水位線直徑IJ5 cm，則由圓臺公式得到，V石子eq f(1,3)MN(CN2IM2CNIM)eq f(91r(3),24) cm3. 同理，空瓶體積是由空

24、瓶圓臺加圓柱體得到，即V空瓶V空圓臺V圓柱體eq f(1,3)LN(CN2EL2CNEL)EL2KLeq f(63r(3),8)eq f(36r(3),8)eq f(99r(3),8) cm3，則需要石子的個數(shù)為eq f(V空瓶,V石子)eq f(f(99r(3),8),f(91r(3),24)eq f(99,8)eq f(24,91)eq f(297,91)(3，4)，則至少需要4顆石子. 故選C. 考點四與球相關(guān)的切、接問題命題角度1幾何體的外接球(2021全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為 ()A. eq f(r(2

25、),12) B. eq f(r(3),12) C. eq f(r(2),4) D. eq f(r(3),4)解：如圖，ACBC，ACBC1，所以ABC為等腰直角三角形，所以ABeq r(2)，則ABC外接圓的半徑為eq f(r(2),2)，又球的半徑為1，設(shè)O到平面ABC的距離為d，則deq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sup12(2)eq f(r(2),2)，所以VOABCeq f(1,3)SABCdeq f(1,3)eq f(1,2)11eq f(r(2),2)eq f(r(2),12). 故選A. 【點撥】 幾何體的外接球問題關(guān)鍵是確定球心位置，主要方法有：將幾何體還原或補(bǔ)為正方體或長方體，進(jìn)而確定球心；幾何體的外接球球心一定在過底面的外心與底面垂直的直線上；球心到各頂點的距離都相等；球心一定在外接球的直徑上. (2020全國卷)已知A，B