2022屆高三理科數(shù)學(xué)全國大聯(lián)考試卷及解析

1、2022屆高三月考試卷答案版數(shù)學(xué)(理科)時量：120分鐘 總分值：150分一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1設(shè)復(fù)數(shù)zxyi，其中x，y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，假設(shè)eq f(y,1i)xi，那么復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由，y(1i)(xi)x1(1x)i，那么yx1，且1x0，即x1，y2.所以eq o(z,sup6()xyi12i，所對應(yīng)的點(1，2)位于第四象限，選D.2向量a與b的夾角是eq f(,3)，且|a|1，|b|4，假設(shè)(3ab)a，那么實數(shù)

2、的值為(B)A.eq f(3,2) Beq f(3,2) C.eq f(2,3) Deq f(2,3)【解析】由，(3ab)a0，即3a2ba0，所以320，即eq f(3,2)，選B.3以下說法中正確的選項是(C)A假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為5，那么樣本數(shù)據(jù)2x11，2x21，2xn1的平均數(shù)為10B用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取5名同學(xué)參加某項活動，假設(shè)抽取的學(xué)號為5，16，27，38，49，那么該班學(xué)生人數(shù)可能為60C某種圓環(huán)形零件的外徑服從正態(tài)分布N(4，0.25)(單位：cm)，質(zhì)檢員從某批零件中隨機(jī)抽取一個，測得其外徑為5.6 cm，那么這批零件不合格D對某樣本通過獨立性

3、檢驗，得知有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在該樣本吸煙的人群中有95%的人可能患肺病【解析】對于A，假設(shè)x1，x2，xn的平均數(shù)為5，那么2x11，2x21，2xn1的平均數(shù)為25111，所以說法錯誤；對于B，由抽取的號碼可知樣本間隔為11，那么對應(yīng)的人數(shù)為11555人假設(shè)該班學(xué)生人數(shù)為60，那么樣本間隔為60512，所以說法錯誤對于C，因為4，0.5，那么(u3，u3)(2.5，5.5)，因為5.6(2.5，5.5)，那么這批零件不合格，所以說法正確對于D，有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指對該樣本所得結(jié)論：“吸煙與患肺病有關(guān)系有95%的正確性，所以說法錯誤選C.4eq b

4、lc(rc)(avs4alco1(2x2f(1,x)eq sup12(n)(nN*)的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為128，那么其展開式中含eq f(1,x)項的系數(shù)是(A)A84 B84 C24 D24【解析】由，2n128，得n7，所以Tr1Ceq oal(r,7)(2x2)7req blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(r)(1)r27rCeq oal(r,7)x143r.令143r1，得r5，所以展開式中含eq f(1,x)項的系數(shù)為(1)5275Ceq oal(5,7)84，選A.5.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在R上單調(diào)遞增，假設(shè)a，b，

5、c成等差數(shù)列，且b0，那么以下結(jié)論正確的選項是(A)Af(b)0，且f(a)f(c)0 Bf(b)0，且f(a)f(c)0Cf(b)0，且f(a)f(c)0 Df(b)0，且f(a)f(c)0【解析】由，f(b)f(0)0.因為ac2b0，那么ac，從而f(a)f(c)f(c)，即f(a)f(c)0，選A.6設(shè)x為區(qū)間2，2內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，那么計算機(jī)執(zhí)行以下程序后，輸出的y值落在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)內(nèi)的概率為(C)A.eq f(3,4) B.eq f(5,8) C.eq f(1,2) D.eq f(3,8)【解析】因為當(dāng)x2，0時，y2xeq blcrc

6、(avs4alco1(f(1,4)，1)；當(dāng)x(0，2時，y2x1(1，5所以當(dāng)yeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)時，x1，1，其區(qū)間長度為2，所求的概率Peq f(2,4)eq f(1,2)，選C.7函數(shù)f(x)sin 2x2sin2x1，給出以下四個結(jié)論：(B)函數(shù)f(x)的最小正周期是2；函數(shù)f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,8)，f(5,8)上是減函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xeq f(,8)對稱；函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)yeq r(2)sin 2x的圖象向左平移eq f(,4)個單位得到其中正確結(jié)論的個數(shù)是A1 B2 C3 D4【

7、解析】f(x)sin 2xcos 2xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4).因為2，那么f(x)的最小正周期T，結(jié)論錯誤當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(f(,8)，f(5,8)時，2xeq f(,4)eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)，那么f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,8)，f(5,8)上是減函數(shù)，結(jié)論正確因為feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)eq r(2)為f(x)的最大值，那么f(x)的圖象關(guān)于直線xeq f(,8)對稱，結(jié)論正確設(shè)g(x)eq r(2)sin 2x

8、，那么geq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq r(2)sin 2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)eq r(2)cos 2xf(x)，結(jié)論錯誤，選B.8.命題p：假設(shè)a2且b2，那么abab；命題q：x0，使(x1)2x1，那么以下命題中為真命題的是(A)Apq B(綈p)q Cp(綈q) D(綈p)(綈q)【解析】假設(shè)a2且b2，那么eq f(1,a)eq f(1,2)且eq f(1,b)eq f(1,2)，得eq f(1,a)eq f(1,b)1，即eq f(ab,ab)0

9、，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)雙曲線上存在點M滿足|MF1|2|MO|2|MF2|，那么雙曲線的離心率為(C)A6 B3 C.eq r(6) D.eq r(3)【解析】過點M作x軸的垂線，垂足為A，因為|MO|MF2|，那么A為OF2的中點，所以|AF2|eq f(c,2)，|AF1|eq f(3c,2).設(shè)|MF2|m，那么|MF1|2m.在RtMAF1中，|MA|24m2eq f(9,4)c2.在RtMAF2中，|MA|2m2eq f(c2,4)，那么4m2eq f(9,4)c2m2eq f(c2,4)，即3m22c2.因為|MF1|MF2|2a，那么m2a，所以

10、3(2a)22c2，即c26a2，所以eeq f(c,a)eq r(6)，選C.12對于給定的正整數(shù)n，設(shè)集合Xn1，2，3，n，AXn，且A記I(A)為集合A中的最大元素，當(dāng)A取遍Xn的所有非空子集時，對應(yīng)的所有I(A)的和記為S(n)，那么S(2 018)(D)A2 01822 0181 B2 01822 0171 C2 01722 0171 D2 01722 0181【解析】對于集合Xn，滿足I(A)1的集合A只有1個，即1；滿足I(A)2的集合A有2個，即2，1，2；滿足I(A)3的集合A有4個，即3，1，3，2，3，1，2，3；滿足I(A)n的集合A有2n1個，所以S(n)12232

11、2n2n1.由錯位相減法，得S(n)(n1)2n1，所以S(2 018)2 01722 0181，選D.二、填空題，本大題共4小題，每題5分，共20分13coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,3)，那么sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)_eq f(7,9)_【解析】sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(,2)cos 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2cos2eq blc(rc)(avs4alco1

12、(f(,3)1eq f(7,9).14如圖，在ABC中，eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(DC,sup6()，P是線段BD上一點，假設(shè)eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AC,sup6()，那么實數(shù)m的值為_eq f(1,3)_【解析】因為eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(DC,sup6()，那么eq o(AC,sup6()4eq o(AD,sup6()，所以eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().因為B，P，D三點共線，那么meq f

13、(2,3)1，所以meq f(1,3).15函數(shù)f(x)|2x1|a，假設(shè)存在實數(shù)x1，x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)1，那么a的取值范圍是_(1，2)_【解析】令f(x)1，那么|2x1|a1.據(jù)題意，直線ya1與函數(shù)y|2x1|的圖象兩個不同的交點，由圖可知，0a11，即1a2.16設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，且Sn4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,n)an(nN*)，那么數(shù)列an的通項公式是an_eq f(n,2n1)_【解析】當(dāng)n2時，anSnSn1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,n1)an1eq blc(rc)(avs4al

14、co1(1f(2,n)an，那么eq blc(rc)(avs4alco1(2f(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,n1)an1，即eq f(an,n)eq f(an1,2n1)，所以數(shù)列eq f(an,n)是首項為1，公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列，那么eq f(an,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，即aneq f(n,2n1).三、解答題：共70分解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：60分17(本小題總分值1

15、2分)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB4，AD2，BAD60，BCD120.(1)假設(shè)BC2eq r(2)，求CBD的大?。?2)設(shè)BCD的面積為S，求S的取值范圍【解析】(1)在ABD中，因為AB4，AD2，BAD60，那么BD2AB2AD22ABADcosBAD164242eq f(1,2)12，所以BD2eq r(3).(3分)在BCD中，因為BCD120，BC2eq r(2)，BD2eq r(3)，由eq f(BC,sinCDB)eq f(BD,sinBCD)，得sinCDBeq f(BCsinBCD,BD)eq f(2r(2)sin 120,2r(3)eq f(r(2),2)，那么

16、CDB45.(5分)所以CBD60CDB15.(6分)(2)設(shè)CBD，那么CDB60.在BCD中，因為eq f(BC,sin60)eq f(BD,sin 120)4，那么BC4sin(60)(8分)所以Seq f(1,2)BDBCsinCBD4eq r(3)sin(60)sin 4eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )sin 3sin 22eq r(3)sin23sin 2eq r(3)(1cos 2)3sin 2eq r(3)cos 2eq r(3)2eq r(3)sin(230)eq r(3).(11分)因為060，那么30

17、230150，eq f(1,2)sin(230)1，所以0Seq r(3).故S的取值范圍是(0，eq r(3)(12分)18(本小題總分值12分)如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，AB2，AC4，BAC120，D為BC的中點(1)求證：ADPB；(2)假設(shè)二面角APBC的大小為45，求三棱錐PABC的體積【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得BC2416224cos 12028，那么BC2eq r(7).因為D為BC的中點，那么BDCDeq r(7).(2分)因為eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，那么eq o(A

18、D,sup6()2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)(416224cos 120)3，所以ADeq r(3).(4分)因為AB2AD2437BD2，那么ABAD.(5分)因為PA底面ABC，那么PAAD，所以AD平面PAB，從而ADPB.(6分)(2)解法一：因為AD平面PAB，過點A作AEPB，垂足為E，連結(jié)DE.那么DEPB，所以AED為二面角APBC的平面角(8分)在RtDAE中，由，AED

19、45，那么AEADeq r(3).(9分)在RtPAB中，設(shè)PAa，那么PBeq r(AB2PA2)eq r(4a2).(10分)因為ABAPPBAE，那么2aeq r(4a2)eq r(3)，即4a23(4a2)，解得a212，所以PAa2eq r(3).(11分)所以VPABCeq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)eq f(1,2)24sin 1202eq r(3)4.(12分)解法二：分別以直線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)PAa，那么點B(2，0，0)，D(0，eq r(3)，0)，P(0，0，a)所以eq o(BD,sup6()(2，eq r(

20、3)，0)，eq o(BP,sup6()(2，0，a)(8分)設(shè)平面PBC的法向量為m(x，y，z)，那么eq blc(avs4alco1(mo(BD,sup6()0，,mo(BP,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(2xr(3)y0，,2xaz0.)取xeq r(3)，那么y2，zeq f(2r(3),a)，所以meq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，2，f(2r(3),a).(9分)因為n(0，1，0)為平面PAB的法向量，那么|cosm，n|cos 45eq f(r(2),2)，即eq f(|mn|,|m|n|)eq f(r(2),2).所以eq f(2,

21、r(7f(12,a2)eq f(r(2),2)，解得a212，所以PAa2eq r(3).(11分)所以VPABCeq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)eq f(1,2)24sin 1202eq r(3)4.(12分)19(本小題總分值12分)有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的局部送餐員每單抽成6元，超過40單的局部送餐員每單抽成7元現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)1015101

22、05(1)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天，求這3天的送餐單數(shù)都不小于40單的概率；(2)假設(shè)同一個公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，答復(fù)以下兩個問題：()求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；()小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日均工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說明你的理由【解析】(1)由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A，那么P(A)eq f(Ceq oal(3,30),Ceq oal(3,50)eq f(29,140).(3分)(2)()設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為n，日工資

23、為X元，那么當(dāng)n38時，X386228；當(dāng)n39時，X396234；當(dāng)n40時，X406240；當(dāng)n41時，X4067247；當(dāng)n42時，X40614254.所以X的分布列為X228234240247254peq f(1,5)eq f(3,10)eq f(1,5)eq f(1,5)eq f(1,10)(7分)Eeq blc(rc)(avs4alco1(X)228eq f(1,5)234eq f(3,10)240eq f(1,5)247eq f(1,5)254eq f(1,10)238.6.(9分)()依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為380.2390.2400.3410.2420.139.

24、8，(10分)所以甲公司送餐員的日平均工資為80439.8239.2元，(11分)因為238.6b0)的一個焦點與拋物線y24eq r(3)x的焦點重合，且直線yeq f(b,a)x與圓x2y210 x200相切(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)斜率為k且不過原點的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，假設(shè)k1，k，k2成等比數(shù)列，推斷|OA|2|OB|2是否為定值？假設(shè)是，求出此定值；假設(shè)不是，說明理由【解析】(1)因為拋物線y24eq r(3)x的焦點為(eq r(3)，0)，那么ceq r(3)，所以a2b23.(2分)因為直線bxay0與圓(x

25、5)2y25相切，那么eq f(5b,r(b2a2)eq r(5)，即a24b2.(4分)解得a24，b21，所以橢圓C的方程是eq f(x2,4)y21.(5分)(2)設(shè)直線l的方程為ykxm(m0)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線l的方程代入橢圓方程，得x24(kxm)24，即(4k21)x28kmx4m240，那么x1x2eq f(8km,4k21)，x1x2eq f(4m24,4k21).(7分)由，k2k1k2eq f(y1y2,x1x2)eq f(kx1mkx2m,x1x2)，那么k2x1x2(kx1m)(kx2m)，即km(x1x2)m20，所以eq f(8k2m2

26、,4k21)m20，即(14k2)m20.因為m0，那么k2eq f(1,4)，即keq f(1,2)，從而x1x22m，x1x22m22.(10分)所以|OA|2|OB|2xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)xeq oal(2,1)(kx1m)2xeq oal(2,2)(kx2m)2(k21)(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)2km(x1x2)2m2(k21)(x1x2)22x1x22km(x1x2)2m2.eq f(5,4)4m22(2m22)2m22m25為定值(12分)21(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)ex

27、a(x1)，aR，e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)假設(shè)存在x0(1，)，使f(x0)0，求實數(shù)a的取值范圍；(2)假設(shè)f(x)有兩個不同零點x1，x2，證明：x1x2x1x2.【解析】(1)解法一：f(x)exa.(1分)假設(shè)a0，因為ex0，那么f(x)0，此時f(x)在R上單調(diào)遞增當(dāng)x(1，)時，f(x)f(1)e0，不合題意(2分)假設(shè)a0，由f(x)0，得exa，即xln a，那么f(x)在(ln a，)上單調(diào)遞增，在(，ln a)上單調(diào)遞減，所以f(x)minf(ln a)eln aa(ln a1)a(2ln a)(4分)據(jù)題意，eq blc(avs4alco1(ln a1，,a2ln ae

28、2，所以a的取值范圍是(e2，)(5分)解法二：當(dāng)x(1，)時，由f(x)0，得exeq f(ex,x1).(1分)設(shè)g(x)eq f(ex,x1)(x1)，據(jù)題意，當(dāng)x(1，)時，ag(x)能成立，那么ag(x)min.(2分)因為g(x)eq f(exx1ex,x12)eq f(x2ex,x12)(x1)，(3分)那么當(dāng)x2時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1x2時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減(4分)所以g(x)ming(2)e2，故a的取值范圍是(e2，)(5分)(2)由題設(shè)，f(x1)f(x2)0，即eq blc(avs4alco1(ex1ax11，,ex2ax21，)那么ex1e

29、x2a2(x11)(x21)，即ex1x2a2(x1x2x1x21)(7分)要證x1x2x1x2，只要證ex1x2a2，即證x1x22ln a，即證x1e2，且x1ln ax2，從而2ln ax2ln a.因為f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，所以只要證f(x1)f(2ln ax2)，即證f(x2)f(2ln ax2)(9分)設(shè)h(x)f(x)f(2ln ax)，那么h(x)f(x)f(2ln ax)ex2ae2ln axexeq f(a2,ex)2a2eq r(exf(a2,ex)2a0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增因為x2ln a，那么h(x2)h(ln a)f(ln a)f(ln a)0，即f(x2)f(2ln ax2)0，即f(x2)f(2ln ax2)，所以原不等式成立(12分)(二)選考題：共10分請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計分22(本小題總分值10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸