六年級奧數(shù)第30講解不定方程教師版

1、 PAGE 頁碼 14 / NUMPAGES 總頁數(shù) 14六年級奧數(shù)第30講解不定方程教師版教學(xué)目標(biāo) = 1 * GB3 熟練掌握不定方程的解題技巧； = 2 * GB3 能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程； = 3 * GB3 學(xué)會解不定方程的經(jīng)典例題。知識梳理 歷史概述 不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丟番圖方程中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題,公元世紀(jì)的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來考點說明 在各類

2、競賽考試中,不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn),除此以外,不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中,不定方程也同樣有著重要的地位,所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具,并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個工具解題。運用不定方程解應(yīng)用題步驟 1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程 2、根據(jù)解不定方程方法解方程 3、找到符合條件的解典例分析 考點一：不定方程與數(shù)論例1、把拆成兩個正整數(shù)的和,一個是的倍數(shù)要盡量小,一個是的倍數(shù)要盡量大,求這兩個數(shù)【解析】這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題可設(shè)拆成的兩個數(shù)分別為和,則有：,要讓取最小值,取最大值可把式子

3、變形為：,可見是整數(shù),滿足這一條件的最小為7,且當(dāng)時,則拆成的兩個數(shù)分別是和考點二：不定方程與應(yīng)用題例1、有兩種不同規(guī)格的油桶若干個,大的能裝千克油,小的能裝千克油,千克油恰好裝滿這些油桶問：大、小油桶各幾個？【解析】設(shè)有大油桶個,小油桶個由題意得：可知,所以由于、必須為整數(shù),所以相應(yīng)的將的所有可能值代入方程,可得時,這一組整數(shù)解所以大油桶有個,小油桶有個例2、某次聚餐,每一位男賓付元,每一位女賓付元,每帶一個孩子付元,現(xiàn)在有的成人各帶一個孩子,總共收了元,問：這個活動共有多少人參加成人和孩子？【解析】設(shè)參加的男賓有人,女賓有人,則由題意得方程：,即,化簡得這個方程有四組解：,和,但是由于有的

4、成人帶著孩子,所以能被整除,檢驗可知只有后兩組滿足所以,這個活動共有人或人參加例3、甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品由一個配件與一個配件組成甲每天生產(chǎn)300個配件,或生產(chǎn)150個配件；乙每天生產(chǎn)120個配件,或生產(chǎn)48個配件為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品,二人決定合作生產(chǎn),這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【解析】假設(shè)甲、乙分別有天和天在生產(chǎn)配件,則他們生產(chǎn)配件所用的時間分別為天和天,那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了配件個,共生產(chǎn)了配件個要將它們配成套,配件與配件的數(shù)量應(yīng)相等,即,得到,則此時生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為,要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多,就要使得最大,而最大為10,所以最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品例4、有一項工程,甲單獨做

5、需要天完成,乙單獨做需要天完成,丙單獨做需要天完成,現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做,在工作期間,丙休息了整數(shù)天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成這項工程也用了整數(shù)天,那么丙休息了 天【解析】設(shè)完成這項工程用了天,其間丙休息了天根據(jù)題意可知：,化簡得由上式,因為與都是的倍數(shù),所以必須是的倍數(shù),所以是的倍數(shù),在 的條件下,只有,一組解,即丙休息了天例5、實驗小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然,熱愛大自然”活動,所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車,已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間,求每輛大巴車的載客人數(shù)【解析】設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人,那么有：由于知道中巴車的

6、載客人數(shù),也就是知道了的取值范圍,所以應(yīng)該從入手顯然被除所得的余數(shù)與被除所得的余數(shù)相等,從個位數(shù)上來考慮,的個位數(shù)字只能為1或6,那么當(dāng)?shù)膫€位數(shù)是或時成立由于的值在20與25之間,所以滿足條件的,繼而求得,所以大巴車的載客人數(shù)為人例6、公雞1只值錢5,母雞一只值錢3,小雞三只值錢1,今有錢100,買雞100只,問公雞、母雞、小雞各買幾只？【解析】設(shè)買公雞、母雞、小雞各、只,根據(jù)題意,得方程組 由,得,即：,因為、為正整數(shù),所以不難得出應(yīng)為的倍數(shù),故只能為、,從而相應(yīng)的值分別為、,相應(yīng)的值分別為、所以,方程組的特殊解為,所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只考點三：不定方

7、程與生活中的應(yīng)用題例1、某地用電收費的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過度,則每度收角；若超過度,則超出部分按每度角收費某月甲用戶比乙用戶多交元角電費,這個月甲、乙各用了多少度電？【解析】3元3角即33角,因為既不是的倍數(shù)又不是的倍數(shù),所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是一個超過了50度,另一個則沒有超過由于甲用戶用電更多,所以甲用戶用電超過度,乙用戶用電不足度設(shè)這個月甲用電度,乙用電度因為甲比乙多交角電費,所以有容易看出,可知甲用電度,乙用電度例2、馬小富在甲公司打工,幾個月后又在乙公司兼職,甲公司每月付給他薪金元,乙公司每月付給他薪金元年終,馬小富從兩家公司共獲薪金元他在甲公司打工 個月,在乙公司兼職

8、個月【解析】設(shè)馬小富在甲公司打工月,在乙公司兼職月,、都是不大于的自然數(shù),則有,化簡得若為偶數(shù),則的末位數(shù)字為,從而的末位數(shù)字必為,這時但時,不是整數(shù),不合題意,所以必為奇數(shù)為奇數(shù)時,的末位數(shù)字為,從而的末位數(shù)字為,或但時容易看出,與矛盾所以,代入得于是馬小富在甲公司打工個月,在乙公司兼職個月例3、小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競賽,一共有100道題,每個人各解出其中的60道題,有些題三人都解出來了,我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來,我們稱之為“中等題”；有些題只有一人解出來,我們稱之為“難題”已知每個題都至少被他們中的一人解出,則難題比容易題多 道【解析】設(shè)容易題、中等題和難題分

9、別有道、道、道,則,由得,即,所以難題比容易題多20道例4、某男孩在年月日說：“我活過的月數(shù)以及我活過的年數(shù)之差,到今天為止正好就是”請問：他是在哪一天出生的？【解析】設(shè)男孩的年齡為個年和個月,即個月,由此有方程式：,也就是,得到,由于而且是整數(shù),所以,從年月日那天退回年又個月就是他的生日,為年月日實戰(zhàn)演練 課堂狙擊1、甲、乙二人搬磚,甲搬的磚數(shù)是的倍數(shù),乙搬的磚數(shù)是的倍數(shù),兩人共搬了塊磚問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【解析】設(shè)甲搬的是塊,乙搬的是塊那么觀察發(fā)現(xiàn)和都是的倍數(shù),所以也是的倍數(shù)由于,所以只能為6或12 時,得到；時,此時不是整數(shù),矛盾所以甲搬了塊,乙搬了塊,甲比乙搬得多,多塊單

10、位的職工到郊外植樹,其中有男職工,也有女職工,并且有的職工各帶一個孩子參加男職工每人種棵樹,女職工每人種棵樹,每個孩子都種棵樹,他們一共種了棵樹,那么其中有多少名男職工？【解析】因為有的職工各帶一個孩子參加,則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)設(shè)男職工有人,女職工有人則職工總?cè)藬?shù)是人,孩子是人得到方程：,化簡得：因為男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù),所以當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng),其中只有是的倍數(shù),符合題意,所以其中有12名男職工3、個大、中、小號鋼珠共重克,大號鋼珠每個重克,中號鋼珠每個重克,小號鋼珠每個重克問：大、中、小號鋼珠各有多少個？【解析】設(shè)大、中、小號鋼珠分別有個,個和個,則： ,得可見是3的倍數(shù),又是7的倍

11、數(shù),且小于30,所以只能為21,故,代入得,所以大、中、小號鋼珠分別有3個、3個和8個4、某服裝廠有甲、乙兩個生產(chǎn)車間,甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件現(xiàn)在要上衣和褲子配套,兩車間合作21天,最多能生產(chǎn)多少套衣服？【解析】假設(shè)甲、乙兩個車間用于生產(chǎn)上衣的時間分別為天和天,則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為天和天,那么總共生產(chǎn)了上衣件, 生產(chǎn)了褲子件根據(jù)題意,褲子和上衣的件數(shù)相等,所以,即,即那么共生產(chǎn)了套衣服要使生產(chǎn)的衣服最多,就要使得最小,則應(yīng)最大,而最大為21,此時故最多可以生產(chǎn)出套衣服5、每輛大汽車能容納54人,每輛小汽車能容納36人現(xiàn)有378人

12、,要使每個人都上車且每輛車都裝滿,需要大、小汽車各幾輛？【解析】設(shè)需要大、小汽車分別為輛、輛,則有：,可化為可以看出是3的倍數(shù),又不超過10,所以可以為0、3、6或9,將、3、6、9分別代入可知有四組解：；或；或；或即需大汽車1輛,小汽車9輛；或大汽車3輛,小汽車6輛；或大汽車5輛,小汽車3輛；或大汽車7輛6、某區(qū)對用電的收費標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過度的部分,按每度元收費；超過度而不超過度的部分,按每度元收費；超過度的部分按每度元收費某月甲用戶比乙用戶多交電費元,乙用戶比丙用戶多交元,那么甲、乙、丙三用戶共交電費多少元？用電都按整度數(shù)收費【解析】由于丙交的電費最少,而且是求甲、乙電費的

13、關(guān)鍵,先分析一下他的用電度數(shù)因為乙用戶比丙用戶多交元,所以二者中必有一個用電度數(shù)小于度否則差中不會出現(xiàn)元,丙用電少,所以丙用電度數(shù)小于度,乙用電度數(shù)大于度,但是不會超過度否則甲、乙用電均超過度,其電費差應(yīng)為的整數(shù)倍,而不會是元設(shè)丙用電度,乙用電度,由題意得：所以是的倍數(shù),又均為整數(shù),且都大于小于所以,所以丙用電度,交電費元；乙交電費元,甲交電費元,三戶共交電費元7、甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為分成績都是整數(shù)的測驗已知：甲得了分,乙得了最高分,丙的成績與甲、丁的平均分相等,丁的成績剛好等于五人的平均分,戊比丙多分求乙、丙、丁、戊的成績【解析】法一：方程法 設(shè)丁的分?jǐn)?shù)為分,乙的分?jǐn)?shù)為分,那么

14、丙的分?jǐn)?shù)為分,戊的分?jǐn)?shù)為分,根據(jù)“丁的成績剛好等于五人的平均分”,有,所以因為,所以,得到,故,代入得所以丁得分,丙得分,戊得分,乙得分法二：推理法因為丁為五人的平均分,所以丁不是成績最低的；丙的成績與甲、丁的平均分相等,所以丙在甲與丁之間；又因為戊和乙都比丙的成績高,所以乙、丙、丁、戊都不是最低分,那么甲的成績是最低的因為甲是分,所以丁可能是分或分由丙的成績與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù),經(jīng)檢驗丁得分時與題意不符,所以丁得分,則丙得分,戊得分,乙得分課后反擊1、某人打靶,發(fā)共打了環(huán),全部命中在環(huán)、環(huán)和環(huán)上問：他命中環(huán)、環(huán)和環(huán)各幾發(fā)？ 【解析】假設(shè)命中10環(huán)發(fā),7環(huán)發(fā),5環(huán)發(fā),則由可知除

15、以5的余數(shù)為3,所以、9如果為9,則,所以只能為4,代入原方程組可解得,所以他命中環(huán)發(fā),環(huán)發(fā),環(huán)發(fā)2、小花狗和波斯貓是一對好朋友,它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候若是早晨見面,小花狗叫兩聲,波斯貓叫一聲；若是晚上見面,小花狗叫兩聲,波斯貓叫三聲細(xì)心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計了天,發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面在這天內(nèi)它們共叫了聲問：波斯貓至少叫了多少聲？ 【解析】早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲,晚上見面共叫聲設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面次,晚上見面次根據(jù)題意有：,可以湊出,當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,因為小花狗共叫了 聲,那么越大,小花狗就叫得越多,從而波斯貓叫得越少,所以當(dāng),時波斯貓叫得最少,共叫了聲3、小

16、偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞,就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說：“我養(yǎng)的兔比雞多,雞兔共條腿”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？【解析】這是一道雞兔同籠問題,但由于已知雞兔腿的總數(shù),而不是雞兔腿數(shù)的差,所以用不定方程求解設(shè)小峰養(yǎng)了只兔子和只雞,由題意得：即：, 這是一個不定方程,其可能整數(shù)解如下表所示：由題意,且,均不為,所以,也就是兔有只,雞有只4、有兩小堆磚頭,如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去,那么第二堆將比第一堆多一倍如果相反,從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去,那么第一堆將是第二堆的倍問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【解析】設(shè)第一堆磚有塊,則根據(jù)第一個條件可得第二堆磚有塊再設(shè)從第二堆中取出塊

17、放在第一堆后,第一堆將是第二堆的倍,可列方程：,化簡得,那么因為是整數(shù),與互質(zhì),所以應(yīng)是的倍數(shù),最小是,推知最小是,所以,第一堆中的磚頭最少有塊5、某次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了支鉛筆作為獎品發(fā)給一、二、三等獎的學(xué)生,原計劃一等獎每人發(fā)給支,二等獎每人發(fā)給支,三等獎每人發(fā)給支,后來改為一等獎每人發(fā)支,二等獎每人發(fā)支,三等獎每人發(fā)支那么獲二等獎的有 人【解析】法一：根據(jù)“后來改為一等獎每人發(fā)支”,可以確定獲一等獎的人數(shù)小于否則僅一等獎就要發(fā)不少于支鉛筆,已超過支,這是不可能的分別考慮一等獎有人或者人的情況： 獲一等獎有人時,改變后這人共多得支,那么得二等獎和三等獎的共少得了14支鉛筆由于改變后二等獎多得1支

18、,三等獎少得1支,所以三等獎應(yīng)比二等獎多人,這樣他們少得的鉛筆數(shù)正好是一等獎多得的但此時三等獎至少14人,他們的鉛筆總數(shù)至少為,所以這種情況不可能發(fā)生 獲一等獎有1人時,類似前面情況的討論,可以確定獲三等獎的人數(shù)比二等獎多人,所以獲二等獎的有人經(jīng)檢驗,獲一等獎人,獲二等獎人,獲三等獎人符合題目要求,所以有3人獲二等獎法二：設(shè)獲一、二、三等獎的人數(shù)分別有人、人、人,則有方程組： 由將消元,則有,即,顯然該方程的正整數(shù)解只有,繼而可得到所以獲二等獎的有3人6、藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)保知識大賽,一共有名男、女選手參加初賽,經(jīng)過初賽、復(fù)賽,最后確定了參加決賽的人選已知參加決賽的男選手的人數(shù),占初賽的男

19、選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù),占初賽的女選手人數(shù)的,而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多參加決賽的男、女選手各有多少人？【解析】由于參加決賽的男選手的人數(shù),占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù),占初賽時女選手人數(shù)的,所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù),參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)設(shè)參加初賽的男生為人,參加初賽的女生為人根據(jù)題意可列方程：解得,或 又因為參加決賽的女選手的人數(shù),比參加決賽的男選手的人數(shù)多,也就是要比大,所以第一組解不合適,只有,滿足故參加決賽的男選手為人,女選手為人7、甲、乙兩人各有一袋糖,每袋糖都不到粒如果甲給乙一定數(shù)量的糖后,甲的糖就是乙的倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后,甲的糖就是乙的倍甲、乙兩人共有多少粒糖？【解析】設(shè)甲、乙原有糖分別為粒、粒,甲給乙的數(shù)量為粒,則依題意有：,且整理得由得,代入得,即因,故或若,則,不合題意因而,對應(yīng)方程組有唯一解,則甲、乙共有糖粒直擊賽場 1、資優(yōu)博雅杯用十進(jìn)制表示的某些自然數(shù),恰等于它的各位數(shù)字之和的倍,則滿足條件的所有自然數(shù)之和為_.【解析】若是四位數(shù),則,矛盾,四位以上的自然數(shù)也不可能。 若是兩位數(shù),則,也不可能,故只有三位數(shù). ,化簡得.由于, 所以或.時,