異方差實證與估計

1、異方差的檢驗.估計與實證一、問題的提出如果在回歸模型y=/?0+必+如中，無論Xi取何值,ui的方差Var(ui)=E(u12)=a2(i=l,2,，N),就說隨機擾動項ui具有同方差性。然而，現(xiàn)實中的大量現(xiàn)象與同方差性相違背。研究結(jié)果表明用截面數(shù)據(jù)作樣本的計量經(jīng)濟學問題，由于在不同的樣本點上解釋變量以外的其他因素的差異較大，所以往往存在異方差性。用時間序列數(shù)據(jù)進行分析也存在異方差性問題。只是出現(xiàn)的頻率少于截面數(shù)據(jù)回歸分析，其主要原因是時間序列數(shù)據(jù)變量的演變大都是同步的，即數(shù)據(jù)單整階數(shù)相同。如消費和收入的變動趨勢基本相近，因此在估計消費函數(shù)時,不會出現(xiàn)異方差問題，但用單整階數(shù)不同的時序數(shù)據(jù)進行

2、時序回歸分析，就會遇到異方差性問題-因此，經(jīng)濟計量建模中對“異方差性”(Heteroskedasticity)的研究就成為不能回避的問題。計量經(jīng)濟理論認為如果存在異方差還用最小二乘法去估計參數(shù)，會產(chǎn)生以下嚴重后果：參數(shù)估計量非有效，即不再具有最小方差的性質(zhì)。而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計量具有一致性，但不具有漸進有效性；解釋變量的顯著性檢驗失效。在變量的顯著性檢驗中，構(gòu)造了t統(tǒng)計量，它是建立在隨機干擾項共同的方差2不變而正確估計了參數(shù)方差的基礎(chǔ)上的，如果出現(xiàn)了異方差，估計的參數(shù)方差出現(xiàn)偏誤，t檢驗就失去了意義，其他檢驗也是如此；模型預(yù)測失效。一方面，由于上述后果，使得模型不再具有良好的統(tǒng)計

3、性質(zhì)；另一方面，在預(yù)測值的置信區(qū)間中也包含有參數(shù)方差的估計量，仍然使用OLS估計量將會導(dǎo)致預(yù)測區(qū)間偏大或者偏小-二、異方差性的檢驗針對異方差問題，涌現(xiàn)出大量的檢驗方法，常見的有：圖示檢驗法、等級相關(guān)檢驗法、Glejser檢驗，Battlett檢驗、BreuschPagan檢驗、GoldfeldQuandt檢驗、Wald檢驗、拉格朗口乘數(shù)檢驗、似然比檢驗和Wliite大樣本檢驗。這些檢驗的共同思想是設(shè)法通過誤差的估計量來檢驗誤差方差與解釋變量間是否存在相關(guān)性。若存在明顯的相關(guān)，則原模型存在異方差性；否則，認為原模型滿足同方差條件。下面本文將在系統(tǒng)介紹異方差檢驗的各種方法的基礎(chǔ)上，分析各自的應(yīng)用條

4、件、注意事項，并對優(yōu)缺點進行評述。圖示檢驗法圖示檢驗法是一種定性分析，只能用來初步判斷異方差的存在與否。具體做法是先不考慮存在異方差的假定下構(gòu)造回歸模型，然后對回歸的殘差平方進行觀察。如果回歸模型是關(guān)于截面數(shù)據(jù)的，則看ef對Y或?qū)δ骋粋€解釋變量】白雪梅.異方左性的檢驗方法及評述幾東北財經(jīng)大學學報，2002,06:26-292李子奈.計呈經(jīng)濟學M.北京:高等教育出版社，2000Xi的散點圖。若散點圖呈現(xiàn)某種規(guī)律或趨勢，則表示存在異方差性；否則，認為不存在異方差性。如果回歸模型是一個時間序列模型，則看帚對時間t的散點圖，若寸隨時間t增加而變化，則表示存在異方差性；反之，則認為不存在異方差性。該檢驗

5、法的優(yōu)點是直觀、簡單、明了；缺點是檢驗的結(jié)論粗糙，是一種對殘差的定性分析。它要求回歸計算殘差的平方對真實關(guān)系中的隨機擾動項的平方I具有代表性，否則對Yi或某一個Xi存在明顯趨勢并不等于對Yi或某一個Xi也存在這種趨勢。帕克(Park)檢驗帕克檢驗是依據(jù)圖示提出慶是解釋變量Xi的某個函數(shù)，進而把圖示法公式化。帕克建議的函數(shù)形式為a2=a2Xiae-,取對數(shù)得lg&lnj+alnXi+W。由于尿是未知的，帕克提議以寸作為分的代表，進行下述回歸：Ine12=lncr2+alnXi+v】(l)對(1)式進行統(tǒng)計檢驗，若a在統(tǒng)計上顯著，則說明數(shù)據(jù)存在異方差性；若a在統(tǒng)計上不顯著，則說明不存在異方差性。帕

6、克檢驗的問題是，V可能不滿足OLS法的假設(shè)條件，而且帚本身可能也存在異方差性。另外須指出，按照帕克檢驗得出的不存在異方差性的結(jié)論，只是對特定函數(shù)形式而言，如果在釆用其它函數(shù)形式的假定下，也可能存在異方差。由于函數(shù)具體形式未知，因此需要進行各種形式的試驗。戈里瑟(Glesier)檢驗戈里瑟檢驗法首先把被解釋變量Y對所有的解釋變量X】，X?,，Xk進行回歸，計算隨機誤差項u的估計值e,然后用某個馮的某種函數(shù)形式為解釋變量對|e|做回歸，即|e|=fQQ+6。選擇關(guān)于變量X的不用函數(shù)形式，對方程進行估計并進行顯著性檢驗：如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。如果認為罔與

7、多個解釋變量有關(guān)，那么可構(gòu)造囘同多個解釋變量的回歸模型進行類似檢驗，但這種情況下的操作相當繁瑣。戈里瑟檢驗可作為一種經(jīng)驗或?qū)嶋H處理方法加以應(yīng)用。優(yōu)點是不僅可以發(fā)現(xiàn)是否存在異方差性，而且還可以確定異方差性的具體形式，為進一步消除異方差奠定了基礎(chǔ)。缺點是倉不一定滿足OLS法的假定條件；設(shè)定的函數(shù)形式可能是關(guān)于參數(shù)非線性的，因此不能使用OLS法去估計參數(shù)；要求在大樣本情況下使用，對小樣本則只能從定性的角度給建模者提供有關(guān)異方差的信息；需要選擇不同的解釋變量，嘗試不同的函數(shù)形式，多次反復(fù)試驗，過程十分繁瑣。戈徳菲爾特一匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗戈徳菲爾特一匡特檢驗是以F檢驗為基礎(chǔ)的。適

8、用于樣本容量較大、異方差遞增或者遞減的情況。檢驗的原假設(shè)是尿=於。具體步驟：第一步將1】組樣本觀測值按解釋變量觀測值的大小排序；第二步將序列中間的c=n/4個觀測值除去，并將剩下的觀測值劃分為較小與較大的兩個子樣本，每個子樣本的容量均為（mc）/2；第三步對每個子樣本分別求回歸方程，并計算各自的殘差平方和S】和員；第四步計算統(tǒng)計量F=:并與顯著性水平為*自由度為2k1,k1）的F分布臨界値進彳丁比較，若FFa（vi，V2）表明存在遞增的異方差；若FFi.a（v2,W）,則表明存在遞減的異方差；反正，則不存在異方差。此檢驗的優(yōu)點是簡單，便于計算，在方法把握上沒有難度。缺點是：（1）按照解釋變量的

9、大小排列觀測值，隱含著一個假定即方差變化與X變化是同方向的，這一假定是否成立是未知的；（2）樣本必須足夠大；（3）要求不能違背檢驗的前提條件，如ui服從正態(tài)分布，ui不存在序列相關(guān)；（4）當模型中的解釋變量為2個或者2個以上時，按哪個解釋變量大小排列觀測值是一個問題；（5）只能檢驗遞增或者遞減的異方差，而不能檢驗復(fù)雜的異方差。（五）懷特（White）檢驗該檢驗是由懷特（White,1980）首次提出的。它是通過一個輔助回歸式構(gòu)造無2統(tǒng)計量進行異方差檢驗。假定有一個包含兩個（可推廣到兩個以上）解釋變量的多元回歸模型：Yi=0+0N汁02X”也首先，對上式進行OLS回歸，求出殘差M，然后對以下輔助

10、回歸方程進行估計：ui2=a0+aiXH+a2X2i+a4Xjf+aXsiaXixX21（3）式中，ui為（2）中的ui估計值。uP需對回歸式中的各個解釋變量、解釋變量的平方項、交義積項進行OLS回歸。懷特檢驗的原假設(shè)為Ho：比不存在異方差。（3）式計算的可決系數(shù)R?乘以樣本數(shù)N,漸進地服從力2分布。其自由度等于（3）式中解釋變量項數(shù)（注意，不計算常數(shù)項），即N應(yīng)無2（5）。若NR20.0676ScaledexplainedSS4.531095Prob.Chi-Square(2)0.1038TestEquation:DependentVariable:RESID恢Method:LeastSqu

11、aresDate:12/08/16Time:18:14Sample:130Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Error卜StatisticProb.C-65625.73117112.5-0.5603650.5799INC4.5161388.1809570.5520310.5855INC人2-3.93E-050.000135-0.2915470.7729R-squared0.179595Meandepende22995.33AdjustedR-squared0.118825S.D.dependentvar32499.22SEofregre

12、ssion30507.33Akaikeinfocriterion23.58396Sumsquaredresid2.51E10Schwarzcriterion23.72408Loglikelihood-350.7594Hannan-Quinncriter.23.62879F-statistic2.955294Durbin-Watsonstat2.893231Prob(F-statistic)0.069084在顯著性0.1下，X2(2)=4.61,nR2=5.387861,nR2/2(2),所以我們在0.1的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，模型(1)存在異方差。戈里瑟檢驗做|時對INC回歸,得到模型:|e

13、i|=16.55865+0.005423*INC(6)(-1.387756)(5.498399)R2=0.519168做|ei|對vn無回歸，得到模型：|ei|=-171.316622591+1.84670558611*VlNC(7)(-1.261219)(2.180356)R2=0.145141做|e|對INC2回歸，得到模型：|ei|=60.6512548456+8.88392117346e-08*INC2(8)(1.864198)(2.177417)R2=0.144807上述模型回歸系數(shù)均顯著不為零，即認為模型(1)存在異方差性。戈徳菲爾特一匡特檢驗首先，將樣本按照自標量“INC”的大小

14、進行排序，其次，去掉中間1/4個觀測值約8個，剩余22個觀測值，由前11個觀測值與后11個觀測值組成容量均為11的兩個子樣本，分別以這兩個子樣本數(shù)據(jù)建立回歸方程。經(jīng)回歸，得RSSi=82296.86,RSS2=383086.8,計算出F=383086.8/82296.86=4.65,取幺=0.05時，查F分布表得Fom(11，11)=2.85,而F=4.65F0.05(11，11)=2.85,所以模型(1)存在遞增的異方差。以上四種檢驗方法，都證明了模型存在異方差。異方差的消除當通過檢驗，探明模型中存在異方差后，要設(shè)法消除其影響，將異方差模型轉(zhuǎn)化為同方差模型，對其作OLS估計后，再變換回原模型

15、。常用的方法有加權(quán)最小二乘法(WLS)、對數(shù)據(jù)取對數(shù)等。1.加權(quán)最小二乘法以1/囘為權(quán)重進行加權(quán)最小二乘估計，得到下列回歸方程：DependentVariable:CLOMethod:LeastSquaresDate:12/08/16Time:18:19Sample:130Includedobsewations:30Weightingseries:1/ABS(RESID)Weighttype:Inversestandarddeviation(EViewsdefaultscaling)VariableCoefficientStd.ErrortStatisticProb.C-481.284844.

16、09936-10.913640.0000INC0.0361020.00201417.925980.0000WeightedStatisticsR-squared0.919849Meandependentvar756.0647AdjustedR-squared0916987S.D.dependentvar764.5738S.E.ofregression13.31833Akaikeinfocriterion8.080501Sumsquaredresid4966.584Schwarzcriterion8.173914Loglikelihood-119.2075HannarvQuinncriter.8

17、.110384F-statistic321.3408Durbin-Watsonstat1.376504Prob(F-statistic)0.000000Weightedmeandep.309.1599CLO=-481.28475218+0.0361016530719*INC(9)(-3.124130)(14.41743)R2=0.881287S.E=70.03382F=207.8623可以認為，該模型己經(jīng)消除了異方差。各項統(tǒng)計檢驗指標全面改善。R?=0.519168T).919849,F：30.23239321.3408,S.E=156.9645-13.31833,t：-1.387756,5.

18、498399-10.91364,17。92598。2.對數(shù)法通過對數(shù)據(jù)取對數(shù)也可以達到消除異方差的效果。原因是：對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮小；經(jīng)過對數(shù)變換后的線性模型，其殘差表示為相對誤差，而相對誤差往往比較小。對表1的數(shù)據(jù)取對數(shù)后，得到如下回歸方程：LOG(CLO)=-6.22185002228+1.21394235128*LOG(INC)(10)(-2.003176)(3.959979)S.E=0.364274R2=0.358995F=15.68143DependentVariable:LOG(CLO)Method:LeastSquaresDate：12/08/16Time：17:22

19、Sample:130Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Error卜StatisticProb.C-6.2218503.105992-2.0031760.0549LOGONC)1.2139420.3065533.9599790.0005R-squared0.358995Meandepende6.074992AdjustedR-squared0.336102S.D.dependentvar0.447072S.E.ofregression0.364274Akaikeinfocriterion0.882519Sumsquaredresid3.7

20、15474Schwarzcriterion0.975932Loglikelihood11.23779Hannan-Quinncriter.0.912403F-statistic1&.68143Durbin-Watsonstat1.3648&9Prob(F-statistic)0.000468對上述方程進行Wliite檢驗。Heteroskedasticity*Test:WhiteF-statistic0.137305Prob.F(2.27)0.8723Obs*R-squared0.302051Prob.Chi-Square(2)0.8598ScaledexplainedSS0.279932Prob.Chi-Square(2)0.8694TestEquation:Dependentvariable:RESIDA2Method:LeastSquaresDate:12/08/16Time:18: