初中數(shù)學北師大八年級上冊（2023年修訂） 一次函數(shù)2一次函數(shù)與正比例函數(shù)

1、2一次函數(shù)與正比例函數(shù)1、理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念,以及兩者之間的關系,利用一次函數(shù)和正比例函數(shù)解決實際問題.2、能夠根據(jù)所給條件寫出簡單的一次函數(shù)表達式,并利用它解決實際問題.3、.通過函數(shù)與變量之間的聯(lián)系,一次函數(shù)與一次方程的聯(lián)系,提高學生的數(shù)學思維能力.經(jīng)歷利用一次函數(shù)解決實際問題的過程,發(fā)展學生的數(shù)學應用能力.【重點】1.一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念.2.一次函數(shù)、正比例函數(shù)的關系.3.會根據(jù)已知信息寫出一次函數(shù)的表達式.【難點】一次函數(shù)知識的運用.【教師準備】引例和例題投影圖片.【學生準備】復習函數(shù)的定義、函數(shù)值等內(nèi)容.導入一:生活中充滿著許許多多變化的量,你了解這些變量之間的關

2、系嗎?如彈簧的長度(在彈性限度內(nèi))與所掛物體的質(zhì)量,輸液時間與相應時間內(nèi)水滴數(shù)目了解這些關系,可以幫助我們更好地認識世界.函數(shù)是刻畫變量之間關系的常用模型,其中最為簡單的是一次函數(shù),那么什么是一次函數(shù)?用一次函數(shù)可以解決哪些問題呢?你想了解這些嗎?一起進入這節(jié)課的學習吧!導入二:汽車的平均速度為95 km/h,A地直達北京的高速公路全程為570 km,小明想知道汽車從A地駛出后,距北京的路程和汽車在高速公路上行駛的時間有什么關系,以便根據(jù)時間估計自己與北京的距離.小明能得到一個什么樣的關系式呢?他是怎樣想的?猜猜看.過渡語怎樣寫出兩個變量之間的函數(shù)關系式呢?一、出示教材引例及問題某彈簧的自然長

3、度為3 cm.在彈性限度內(nèi),所掛物體的質(zhì)量x每增加1 kg,彈簧長度y增加0.5 cm.(1)計算所掛物體的質(zhì)量分別為1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg時彈簧的長度,并填入下表:x/kg012345y/cm(2)你能寫出y與x之間的關系式嗎?【分析】當不掛物體時,彈簧長度為3厘米,當掛1千克物體時,增加0.5厘米,總長度為3.5厘米,增加1千克物體,即所掛物體為2千克時,彈簧又增加0.5厘米,總共增加1厘米,由此可見,所掛物體為x千克時,彈簧就伸長0.5x厘米,則彈簧總長為原長加伸長的長度,即y=3+0.5x.二、做一做某輛汽車油箱中原有汽油60 L,汽車每行駛50 km耗油6

4、L.(1)完成下表:汽車行駛路程x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能寫出耗油量y(L)與汽車行駛路程x(km)之間的關系式嗎?(3)你能寫出油箱剩余油量z(L)與汽車行駛路程x(km)之間的關系式嗎?【答案與提示】(1)如下表所示:汽車行駛路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436(2)y=6x50=325x.(3)z=60-325x.【歸納】若兩個變量x,y間的對應關系可以表示成y=kx+b(k,b為常數(shù),k0)的形式,則稱y是x的一次函數(shù).例如y=2x+1, y=12x-1等都是一次函數(shù).特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數(shù).例如

5、,y=2x,y=-3x等都是正比例函數(shù).正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例,一次函數(shù)包含正比例函數(shù).正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系如圖所示.知識拓展正比例函數(shù)也是一次函數(shù),不過是特殊的一次函數(shù),就像是等邊三角形與等腰三角形的關系一樣.三、例題講解寫出下列各題中y與x之間的關系式,并判斷:y是否為x的一次函數(shù)?是否為正比例函數(shù)?(1)汽車以60 km/h的速度勻速行駛,行駛路程y(km)與行駛時間x(h)之間的關系;(2)圓的面積y(cm2)與它的半徑x(cm)之間的關系;(3)某水池有水15 m3,現(xiàn)打開進水管進水,進水速度為5 m3/h,x h后這個水池內(nèi)有水y m3.(由學生交流討論完成)解:(1)由

6、路程=速度時間,得y=60 x,y是x的一次函數(shù),也是x的正比例函數(shù).(2)由圓的面積公式,得y=x2,y不是x的正比例函數(shù),也不是x的一次函數(shù).(3)這個水池每小時增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函數(shù),但不是x的正比例函數(shù).【思考】兩個變量之間存在函數(shù)關系,它們之間一定是一次函數(shù)或正比例函數(shù)關系嗎?我國自2023年9月1日起,個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定:月收入不超過3500元的部分不收稅;月收入超過3500元但不超過5000元的部分征收3%的所得稅如某人月收入3860元,他應繳納個人工資、薪金所得稅為(3860-3500)3%=10.8(元).(

7、1)當月收入超過3500元而又不超過5000元時,寫出應繳納個人工資、薪金所得稅y(元)與月收入x(元)之間的關系式;(2)某人月收入為4160元,他應繳納個人工資、薪金所得稅多少元?(3)如果某人本月繳納個人工資、薪金所得稅19.2元,那么此人本月工資、薪金收入是多少元?解析一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k0)中,自變量的取值范圍是全體實數(shù),但是在實際問題中,要根據(jù)具體情況來確定該一次函數(shù)的自變量的取值范圍.本例題的關鍵是確定問題當中的x的取值范圍.解:(1)當月收入超過3500元而不超過5000元時,y=(x-3500)3%,即y=0.03x-105.(2)當x=4160時,y=0.

8、034160-105=19.8(元)(3)因為(5000-3500)3%=45(元),19.2-14B.m 5C.m=-14D.m=52.下列函數(shù):y=4x+3;y=112x;y=x4;y=x2;y=1-x中,一次函數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D.4個3.在函數(shù)y=13x, y=12x+3,y=1x+3,y=2x2-3, y=2(x-3)中,是關于x的正比例函數(shù).【能力提升】4.容積為800 L的水池內(nèi)已蓄水200 L,若每分鐘注入的水量是15 L,設池內(nèi)的水量為Q(L),注水時間為t(min).(1)請寫出Q與t的函數(shù)關系式;(2)注水多長時間可以把水池注滿?(3)當注水時間為0. 2

9、h時,池中水量是多少?5.某自行車保管站在某個星期日接受保管的自行車共有3500輛次,其中變速車保管費是每輛一次0.5元,一般車保管費是每輛一次0.3元.(1)若一般車停放的輛次數(shù)為x,總的保管費收入為y元,試寫出y關于x的函數(shù)關系式;(2)若估計前來停放的3500輛自行車中,變速車的輛次不小于總輛次的25%,但不大于40%,試求該保管站這個星期日保管費收入總數(shù)的范圍.【拓展探究】6.為了節(jié)約資源,科學指導居民改善居住條件,小王向房管部門提出了一個購買商品房的政策性方案.人均住房面積/m2單價/(萬元/m2)不超過30的部分0.3超過30不超過n(m2)的部分(45n60)0.5超過n(m2)

10、的部分0.7根據(jù)這個購房方案解決下列問題:(1)若某三口之家欲購買120 m2的商品房,求其應繳納的房款;(2)設某三口之家購買商品房的人均面積為x m2,應繳納房款為y萬元,請寫出y關于x的函數(shù)表達式.【答案與解析】1.C(解析:函數(shù)y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y與x成正比例,m-50,4m+1=0,即m5,m=-14,m=-14.故選C.)2.C (解析:y=4x+3是一次函數(shù);y=112x是一次函數(shù);y=x4的自變量的次數(shù)不為1,故不是一次函數(shù);y=x2的自變量的次數(shù)不為1,故不是一次函數(shù);y=1-x是一次函數(shù).故選C.)3.y=13x(解析:只有y=13x符合y=kx(k0)

11、的形式.)4.解:(1)Q=200+15t,0t40.(2)注水40 min可以把水池注滿.(3)當注水0.2 h,即12 min時,池中水量為380 L.5.解:(1)y與x的關系式是y=0.3x+0.5(3500-x),即y=-0.2x+1750(0 x3500,且x為整數(shù)). (2)因為變速車停放的輛次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行車停放的輛次在350060%與350075%之間.當x=350060%=2100時,y=-0.22100+1750=1330;當x=350075%=2625時,y=-0.22625+1750=1225.所以該保管站這個星期日保管費收入總數(shù)在1225元至1330元之