2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例9.2用樣本估計(jì)總體學(xué)案文

1、2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例9.2用樣本估計(jì)總體學(xué)案文PAGE PAGE 5092用樣本估計(jì)總體 知識(shí)梳理1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布(1)頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布(2)作頻率分布直方圖的步驟：求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫(huà)頻率分布直方圖在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1.(3)頻率分布折線(xiàn)圖和總體密度曲線(xiàn)頻率分布折線(xiàn)圖：連接頻率分布直

2、方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線(xiàn)圖總體密度曲線(xiàn)：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線(xiàn)圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線(xiàn)，統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)之為總體密度曲線(xiàn)(4)莖葉圖：統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是指中間一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來(lái)方便莖葉圖的畫(huà)法步驟第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫(xiě)在左(右)側(cè)；有兩組數(shù)據(jù)時(shí)，寫(xiě)在中間；第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫(xiě)在其莖

3、的右(左)側(cè)2樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大小方差：s2eq f(1,n)(x1eq o(x,sup14()2(x2eq o(x,sup14()2(xneq o(x,sup14()2，標(biāo)準(zhǔn)差：s eq r(f(1,n)x1o(x,sup14()2x2o(x,sup14()2xno(x,sup14()2).(3)關(guān)于平均數(shù)、方差的有關(guān)性質(zhì)若x1，x2，xn的平均數(shù)為eq o(x,sup14()，那么mx1a，mx2a，mxna的平均數(shù)為meq o(x,sup14()a.數(shù)據(jù)x1，x2，xn與數(shù)據(jù)x1x1a，x2x2a，xnxna的方差

4、相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變?nèi)魓1，x2，xn的方差為s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差為a2s2.(4)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差，方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定3各種統(tǒng)計(jì)表的優(yōu)點(diǎn)與不足診斷自測(cè)1概念思辨(1)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大()(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了()(3)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序

5、寫(xiě)，右側(cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A3P70例題)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5 B91.5和92C91和91.5 D92和92答案A解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，中位數(shù)是eq f(9192,2)91.5，平均數(shù)eq o(x,sup14()eq f(8789909192939496,8)91.5.故選A.(2)(必修A3P82T7)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，

6、則()A甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)B甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)C甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差D甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差答案C解析由圖可得，eq o(x,sup14()甲eq f(45678,5)6，eq o(x,sup14()乙eq f(3569,5)6，故A錯(cuò)誤；甲的成績(jī)的中位數(shù)為6，乙的成績(jī)的中位數(shù)為5，故B錯(cuò)誤；seq oal(2,甲)2，seq oal(2,乙)2.4，故C正確；甲的成績(jī)的極差為4，乙的成績(jī)的極差也為4，D錯(cuò)誤故選C.3小題熱身(1)右面莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組

7、數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()A2,5 B5,5 C5,8 D8,8答案C解析由莖葉圖及已知得x5，又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，即eq f(91510y1824,5)16.8，解得y8，故選C.(2)(2018濟(jì)南調(diào)研)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，第五組，上圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為_(kāi)答案12解析全體志愿

8、者共有：eq f(20,0.240.161)50(人)，所以第三組有志愿者：0.3615018(人)第三組中沒(méi)有療效的有6人，有療效的有18612(人)題型1樣本數(shù)字特征的計(jì)算及應(yīng)用eq o(sup7(),sdo5(典例)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，eq o(b,sup14()，(a，b)，(eq o(a,sup14()，b)，(eq o(a,sup14()，eq o(b,sup14()，(a，b)，(a，b)，(a，eq o(b,sup14()，(eq o(a,sup14()，b)，(a，eq o(b,s

9、up14()，(eq o(a,sup14()，eq o(b,sup14()，(a，b)，(a，eq o(b,sup14()，(eq o(a,sup14()，b)，(a，b)，其中a，eq o(a,sup14()分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；b，eq o(b,sup14()分別表示乙組研發(fā)成功和失敗(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率 (1)直接用公式求解；(2)按古典概型求解解(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?,1,1,0,0,

10、1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.其平均數(shù)為eq o(x,sup14()甲eq f(10,15)eq f(2,3)；方差為seq oal(2,甲)eq f(1,15)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)210blc(rc)(avs4alco1(0f(2,3)25)eq f(2,9).乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數(shù)為eq o(x,sup14()乙eq f(9,15)eq f(3,5)；方差為seq oal(2,乙)eq f(1,15)eq blcrc(avs4alco1(blc(

11、rc)(avs4alco1(1f(3,5)29blc(rc)(avs4alco1(0f(3,5)26)eq f(6,25).因?yàn)閑q o(x,sup14()甲eq o(x,sup14()乙，seq oal(2,甲)eq o(y,sup14()，因此可看出A藥的療效更好(2)由觀(guān)測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有eq f(7,10)的葉集中在莖2,3上，而B(niǎo)藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有eq f(7,10)的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好.題型3頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)eq o(sup7(),sdo5(典例)(2016山東高考)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每

12、周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A56 B60 C120 D140首先求22.530范圍上的頻率，即求第三、四、五直方圖的面積，再求人數(shù)答案D解析由頻率分布直方圖知這200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為1(0.020.10)2.50.7，則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為2000.7140，故選D.角度2 利用頻率分布直方

13、圖估計(jì)總體eq o(sup7(),sdo5(典例)(2016四川高考)我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)解(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0,0.5)內(nèi)的頻率為0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)

14、，4,4.5等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得a0.30.(2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06十0.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3000000.1236000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸，因?yàn)榍?組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.730.5.又前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.480.5.所以2xeq o(x,sup14()B，sA

15、sB B.eq o(x,sup14()AsBC.eq o(x,sup14()Aeq o(x,sup14()B，sAsB D.eq o(x,sup14()Aeq o(x,sup14()B，sAsB答案B解析由圖可知A組的6個(gè)數(shù)為2.5,10,5,7.5,2.5,10，B組的6個(gè)數(shù)為15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq o(x,sup14()Aeq f(2.51057.52.510,6)eq f(37.5,6)，eq o(x,sup14()Beq f(151012.51012.510,6)eq f(70,6).顯然eq o(x,sup14()AsB，故選B.7(2017廣東肇慶一模

16、)圖1是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來(lái)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖，第1次到14次的考試成績(jī)依次記為A1，A2，A14.圖2是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖那么算法流程圖輸出的結(jié)果是()A7 B8 C9 D10答案D解析該程序的作用是求考試成績(jī)不低于90分的次數(shù)，根據(jù)莖葉圖可得不低于90分的次數(shù)為10.故選D.8(2017吉林模擬)下面的莖葉圖是某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試時(shí)的成績(jī)：根據(jù)莖葉圖，得出該班男、女生數(shù)學(xué)成績(jī)的四個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是 ()A15名女生成績(jī)的平均分為78B17名男生成績(jī)的平均分為77C女生成績(jī)和男生成績(jī)的中位數(shù)分別為82,80D男生中的高分段和低分段均比女生多

17、，相比較男生兩極分化比較嚴(yán)重答案C解析15名女生成績(jī)的平均分為eq f(1,15)(909380808282838385707173756657)78，A正確；17名男生成績(jī)的平均分為eq f(1,17)(9393968082838686887174756262685357)77，故B正確；觀(guān)察莖葉圖，對(duì)男生、女生成績(jī)進(jìn)行比較，可知男生兩極分化比較嚴(yán)重，D正確；根據(jù)女生和男生成績(jī)數(shù)據(jù)分析可得，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為80，C錯(cuò)誤故選C.9(2015全國(guó)卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的

18、效果最顯著B(niǎo)2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D解析從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；20042006年二氧化硫排放量越來(lái)越多，從2007年開(kāi)始二氧化硫排放量變少，故B正確；從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯(cuò)誤故選D.二、填空題10(2017聊城模擬)某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)動(dòng)員身高(單位：厘米)分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高

19、為175 cm，但有一名運(yùn)動(dòng)員的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，那么x的值為_(kāi)答案2解析由題意有：175718021705112x45x2.11某商場(chǎng)調(diào)查旅游鞋的銷(xiāo)售情況，隨機(jī)抽取了部分顧客的購(gòu)鞋尺寸，整理得如下頻率分布直方圖，其中直方圖從左至右的前3個(gè)小矩形的面積之比為123，則購(gòu)鞋尺寸在39.5,43.5)內(nèi)的顧客所占百分比為_(kāi)答案55%解析后兩個(gè)小組的頻率為(0.03750.0875)20.25，所以前3個(gè)小組的頻率為10.250.75，又前3個(gè)小組的面積比為123，即前3個(gè)小組的頻率比為123.所以第三小組的頻率為eq f(3,123)0.750.375，第四小組的頻率為0.08752

20、0.175，所以購(gòu)鞋尺寸在39.5,43.5)的頻率為0.3750.1750.5555%.12從某小區(qū)抽取100戶(hù)居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中x的值為_(kāi)；(2)在這些用戶(hù)中，用電量落在區(qū)間100,250)內(nèi)的戶(hù)數(shù)為_(kāi)答案(1)0.0044(2)70解析(1)由頻率分布直方圖知200,250)小組的頻率為1(0.00240.00360.00600.00240.0012)500.22，于是xeq f(0.22,50)0.0044.(2)數(shù)據(jù)落在100,250)內(nèi)的頻率為(0.00360.00600.0044)500.7，所求戶(hù)數(shù)為1

21、000.770.13已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a，b的取值分別是_答案10.5,10.5解析中位數(shù)為10.5，eq f(ab,2)10.5，即ab21.eq o(x,sup14()eq f(2337ab1213.718.320,10)10，s2eq f(1,10)(210)2(310)22(710)2(a10)2(b10)2(1210)2(13.710)2(18.310)2(2010)2令y(a10)2(b10)22a242a2212eq blc(rc)(avs4alco1(af

22、(21,2)2eq f(1,2)，當(dāng)a10.5時(shí)，y取最小值，方差s2也取最小值a10.5，b10.5.三、解答題14(2017福建八校聯(lián)考)某教師為了了解高三一模所教兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，將兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)繪制成如圖所示的莖葉圖(1)分別求出甲、乙兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)；(2)若規(guī)定成績(jī)大于等于115分為優(yōu)秀，分別求出兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率；(3)從甲班中130分以上的5名同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的概率解(1)由所給的莖葉圖知，甲班50名同學(xué)的成績(jī)由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，數(shù)量最多的是103，故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中

23、位數(shù)是108.5，眾數(shù)是103；乙班48名同學(xué)的成績(jī)由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，數(shù)量最多的是92和101，故乙班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是106.5，眾數(shù)為92和101.(2)由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，甲班中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為20，優(yōu)秀率為eq f(20,50)eq f(2,5)；乙班中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為18，優(yōu)秀率為eq f(18,48)eq f(3,8).(3)將分?jǐn)?shù)為131,132,136的3人分別記為a，b，c，分?jǐn)?shù)為141,146的2人分別記為m，n，則從5人中抽取3人的不同情況有abc，abm，abn，acm，acn，amn，bcm，bcn，bmn，cmn，共10種情況記“至多有1人的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上”為事件M，則事件M包含的情況有abc，abm，abn，acm，acn，bcm，bcn，共7種情況，所以從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，至多有1人的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的概率為P(M)eq f(7,10).15(