高中不等式知識歸納總結(jié)

1、模塊七 不等式 考綱解讀 高考大綱 要求層次 考試內(nèi)容 A B C不等關(guān)系與不等式 不等式的解法 解一元二次不等式 用二元一次不等式組表示平面區(qū)域 簡潔的線性規(guī)劃 簡潔的線性規(guī)劃問題 利用基本不等式求最值 用基本不等式解決簡潔的最大（?。┲祮栴} 不等式的綜合運用 分析解讀 （1）明白不等式的有關(guān)概念及其分類,把握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用,明確各個性質(zhì)中結(jié)論 成立的前提條件 . （2）把握一元一次,一元二次不等式的解法 . （3）會求含有參數(shù)的一元二次不等式 . （4）會解簡潔的分式不等式,確定值不等式等 . （5）多考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,兼顧面積,距離,斜率等問題 . （6）能用線性規(guī)劃的方

2、法解決重要的實際問題,使收到的效益最大,耗費的人力,物力資 源最少 . （7）能夠利用基本不等式求函數(shù)的最值,能嫻熟運用比較法,綜合法證明不等式,留意掌 握變形過程中的一些常用技巧； 式. 能夠運用配方法思想, 函數(shù)思想, 分類爭辯思想來證明不等 （8）求函數(shù)的定義域,值域；比較大??；確定參數(shù)的取值范疇；利用不等式探討函數(shù)的性 質(zhì)；利用不等式求最值；解決實際應(yīng)用性問題 . 第 1 頁,共 14 頁學(xué)問導(dǎo)航 比較法 分析法 不等式的證明 綜合法 反證法 實數(shù)的大 不 小比較 數(shù)學(xué)歸納法 不等式 有理不等式 等 無理不等式 的性質(zhì) 式 解不等式 重要的 不等式 確定值不等式 指數(shù)不等式和對數(shù)不等式

3、 不等式的應(yīng)用 考點剖析 考點一 不等式的概念和性質(zhì) 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）號的定義： ab0ab; a b0a. b; a b0ab. （2） 不等式的分類：確定不等式；條件不等式；沖突不等式 （3） 同向不等式與異向不等式 . （4） 同解不等式與不等式的同解變形 . 2. 不等式的基本性質(zhì) （1） abbc a（對稱性） ； （2） ab,b ac （傳遞性） （3） abac b c （加法單調(diào)性） （4） ab, c dac bd （同向不等式相加） 第 2 頁,共 14 頁（5） ab,c dda c b d（異向不等式相減） （6） a. b, c 0ac b

4、c （7） ab,c 0ac bc （乘法單調(diào)性） （8） ab0, c d0ac bd （同向不等式相乘） 9 a b0,0 c ab（異向不等式相除） c d10 a b, ab 0n11 （倒數(shù)關(guān)系） ab（11） ab0a n bn n Z, 且 n 1 （平方法就） （12） aanb n Z ,且 n 1 （開方法就） b03. 幾個常用不等式 （1） a22b2a2bab 1 a21 b 依據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用 ； （2） a, b, c 2 R, a b22 c ab bc ca （當(dāng)且僅當(dāng) ab c 時,取等（3）如 ab0, m 0 ,就 ba bm（糖水的濃度問

5、題） ； 號） ； am考點二 不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根軸法） . 步驟：正化,求根,標(biāo)軸,穿線（偶重根打結(jié)） ,定解 . 特例： 一元一次不等式 axb 解的爭辯； 2一元二次不等式 ax +bx+c0 a 0 解的爭辯 . （2）分式不等式的解法 ：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化,就 f x 0f x g x 0; f x 0f x g x 0g x 0g x g x （3）無理不等式 ：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 f x g x f x 0 0定義域 f x g x 0 0g x f x g x f x g x f x g x 0 0 x 2或 f x g 第 3 頁,共 14 頁 f x

6、g x f x g x 0 02f x g x （4）指數(shù)不等式 ：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af x ag x a 1 0 f x g x; af x ag x 0 a1 f x g x af x b a 0, b f x lg alg b （5）對數(shù)不等式 ：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 loga f x loga gxa 1 f x 0loga f x loga g x0 a 1 f x 0gx 0; g x 0f x g x f x gx （6）含確定值不等式 1應(yīng)用分類爭辯思想去確定值； 2應(yīng)用數(shù)形思想； 3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 | f x | g x g x g x 0 f x g x 0 或 g x

7、 f x 0g x 或 f x g x | f x | g x g x 0 f x, g x 不同時為 考點三 不等式的證明 1,證明不等式的方法：比較法,分析法,綜合法和放縮法 比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式,配方,通分等手段變形判定符號或與 1 的大小,然后作出結(jié)論； 2,常用的放縮技巧有： 111111 11nn1nn 1 n2 nn n 1nk 1 k k 1k 11k k k 112 k k 1考點四 簡潔的線性規(guī)劃 1,涉及到的概念 （1） 目標(biāo)函數(shù) : P=2x+y 是一個含有兩個變 量 x 和 y 的 函數(shù),稱為目標(biāo)函數(shù) . （2）可行域 : 約束條件所表示的平面區(qū)域

8、稱為可行域 . 第 4 頁,共 14 頁（3）整點 : 坐標(biāo)為整數(shù)的點叫做整點 （4）線性規(guī)劃問題 : 求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題, 通常稱為 線性規(guī)劃問題只含有兩個變量的簡潔線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決 （5）整數(shù)線性規(guī)劃 : 要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃 . 2,方法技巧 （1）對于不含邊界的區(qū)域,要將邊界畫成虛線 （2）確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法,常用的一種方法是“選點法”： 任選一個不在直線上的點, 檢驗它的坐標(biāo)是否中意所給的不等式, 如適合, 就該點所在的一 側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域； 否就,直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域 如直

9、線不過原點, 通常選擇原點代入檢驗 （3）平移直線 y=-kx+p 時,直線必需經(jīng)過可行域 （4）對于有實際背景的線性規(guī)劃問題, 可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域, 此時變動直線的正確位置一般通過這個凸多邊形的頂點 （5）簡潔線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解,無論此類題目是 以什么實際問題提出, 其求解的格式與步驟是不變的： 查找線性約束條件, 線性目標(biāo)函數(shù)； 由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解 . 考點六 不等式的綜合應(yīng)用 1. 利用均值不等式求最值：假如 a1, a2 R ,那么 + a bab . 2留意到：“一正二定

10、三相等,和定積最大,積定和最小”這 17 字方針； 2. 求函數(shù)定義域,值域, 方程的有解性, 判定函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間, 確定參數(shù)的取值范疇 等. 這些問題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,或證明不等式 . 3. 涉及不等式學(xué)問解決的實際應(yīng)用問題, 二是建立函數(shù)式求最大值或最小值 . 這些問題大體分為兩類： 一是建立不等式解不等式； 4,不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用 函數(shù)方程思想和 “分別變量法” 轉(zhuǎn)化為最值問題, 也可抓住宅給不等式的結(jié)構(gòu)特點,利用數(shù) 形結(jié)合法） （1）恒成立問題 第 5 頁,共 14 頁如不等式 f x A 在區(qū)間 D

11、 上恒成, 就等價于在區(qū)間 D上 f x min A 立 如不等式 f x B 在區(qū)間 D 上恒成立 , 就等價于在區(qū)間 D上 f x max B （2） 能成立問題 如在區(qū)間 D 上存在實數(shù) x 使不等式 f x A 成立 , 就等價于在區(qū)D上 f x max A ； 間 如在區(qū)間 D 上存在實數(shù) x 使不等f x B 成立 , 就等價于在區(qū)間 D 上的 f x min B . 式 （3）恰成立問題 如不等式 f x A 在區(qū)D 上恰成立 , 就等價于不等式 f x A 的解集D ； 如不等式 f x 間 D 上恰成立 , 就等價于不等式 f x 為 D . B 在區(qū)間 B 的解集為 真題演

12、練 1.【 2022 北京 ,1,5 分】已知集合 A=x R|3x+2 0, B=x R| （ x+1） x-3 0 . 就 A B= A （ - , -1 ） B （ -1 , - 2） C（- 2,3 ） D 3,+ 33舉一反三 【 2022 重慶 ,2,5 分】不等式 x 10 的解集為 x 1 , 1 21, 2x 1A. 1,1 B. 1,1 C. . 11, D. 2221.2 【 2022 山東 ,13,4 分 】如 不等 式 kx 42的 解集 為 x 3, 就實 數(shù) k . 【 2022 遼寧 ,11,5 分】 函數(shù) f x 的定義域為 R , f 1 2 ,對任意 x

13、R , f x 2 , 就 f x 2x 4 的解集為 , 1） D（ , + ） A（ 1, 1） B（ 1 ,+ ） C（ 第 6 頁,共 14 頁2. 【 2022 北京 ,2,5 分】設(shè)不等式組 0 x 2, ,表示平面區(qū)域為 2D,在區(qū)域 D 內(nèi)隨機(jī)取一 0y 個點,就此點到坐標(biāo)原點的距離大于 2 的概率是 （ A） 4（B） 22（C） 6（ D） 44舉一反三 2.1 【 2022 福建 ,8,5 分】已知 O 是坐標(biāo)原點,點 A -1,1 ）,如點 M x, y 為平面區(qū)域 x y 2x 1 上的一個動點,就 OA OM 的取值范疇是 y 2A.-1.0 B.0.1 C.0.2

14、 D.-1.2 【 2022 江蘇 ,14,5 分】已知正數(shù) a,b,c 中意： 5c 3a b 4c a ,c ln b a cln c,就 ba的取值范疇是 ； x y 1 0, 3. 【 2022 北京 ,5,5 分】照實數(shù) x, y 中意 x y 0, 就 z 3x 2y 的最小值是（ ） x 0, A 0 B 1 C 3 D 9 舉一反三 x y 3 0 【 2022 福建 ,9,5 分】如函數(shù) y=2 x 圖像上存在點（ x,y）中意約束條件 x 2 y 30 , x m就實數(shù) m 的最大值為 第 7 頁,共 14 頁A 12C. 3就 z=3x y 的最小值為 23.2 【 20

15、22 全國 ,13,5 分】如 x, y 中意約束條件 3.3 【 2022 四川 ,9,5 分】某公司生產(chǎn)甲,乙兩種桶裝產(chǎn)品；已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原 料 1 千克, B 原料 2 千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克；每桶甲產(chǎn) 品的利潤是 300 元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是 400 元； 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中, 要求每 天消耗 A , B 原料都不超過 12 千克；通過合理支配生產(chǎn)方案,從每天生產(chǎn)的甲,乙兩種產(chǎn) 品中,公司共可獲得的最大利潤是（ ） , 2800 元 D, 3100 元 ax A, 1800 元 B , 2400 元 C4.【

16、 2022 北京 ,7,5 分】 設(shè)不等式組 x y 11 0D,如指數(shù)函數(shù) y 3x y 30表示的平面區(qū)域為 的圖象上存在區(qū)域 D 上的點,5x 3y 90（C） 1,2 （ D） 3, a 的取值范疇是 （A） 1,3 就 （ B） 2,3 舉一反三 【 2022 山東 ,5,5 分】已知變量 x 2 y , 2x, y 中意約束條件 2x y 4,就目標(biāo)函數(shù) z 3x y 的取值范疇是 4x y 1（ A） 3,6 （ B） 3 21 23（ C） 1,6 （ D） 6, 2第 8 頁,共 14 頁x 0【 2022 安徽 ,11,5 分】如 x, y 中意約束條件： x 2y 3 ；

17、就 x y 的取值范疇為 2x y 34.3 【2022 江西 ,8,5 分】某農(nóng)戶方案種植黃瓜和韭菜, 種植面積不超過 50 計,投入資金不 超過 54 萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量,成本和售價如下表 黃瓜 年產(chǎn)量 / 畝 年種植成本 / 畝 每噸售價 4 噸 1.2 萬元 0.55 萬元 韭菜 6 噸 0.9 萬元 0.3 萬元 為使一年的種植總利潤（總利潤 植面積（單位：畝）分別為 =總銷售收入減去總種植成本）最大,那么黃瓜和韭菜的種 A 50, 0 B 30, 20 C 20, 30 D0, 50 x y 205.【2022 北京 ,10,5 分】照實數(shù) x, y 中意 x 4就 s

18、 y x 的最小值為. y 5舉一反三 x y 10 20, 就2x 3 y 的最大值為 5.1 【 2022 遼寧 ,8,5 分】設(shè)變量 x, y 中意 0 x y 0y 15 y 2A 20 B 35 C 45 D 55 5.2 【 2022 廣東 ,5,5 分】已知變量 x, y 中意約束條件 x y 1,就 z=3x+y 的最大值為 x y 1第 9 頁,共 14 頁ln x, x 05.3 【 2022 陜西 ,14,5 分】設(shè)函數(shù) f x , D 是由 x 軸和曲線 y f x 2x 1, x 0及 該 曲 線 在 點 1,0 處 的 切 線 所 圍 成 的 封 閉 區(qū) 域 , 就

19、 z x 2 y 在 D 上 的 最 大 值 為 1 , x 06. 【 2022 北京 ,13,5 分】如函數(shù) f x x 就不等式 | f x | 1 的解集為 , x 1x 0 33 . 舉一反三 6.1 【 2022 遼寧 ,9,5 分】設(shè)函數(shù) f x 21 x , x 11,就中意 f x 2 的 x 的取值范疇 1log 2 x, x 是 A 1 ,2 B 0 , 2 C 1 , + D0 , + 分】 0 b 1 a , 如關(guān)于 x 的不等式 2 2 x b ax 的解集中的整 【 2022 天津 ,10,5 數(shù)恰有 3 個,就 （A） 1a0（B） 0a1（ C） 1 a3（

20、D） 3 a6【 2022 浙江 ,17,4 2 分】設(shè) a R,如 x 0 時均有 a 1 x 1 x ax 1 0,就 a 7.【 2022 北京 ,13,5 分】已知函數(shù) f x 2 x cos x ,對于 , 上的任意 2 2x1, x2 ,有如 下條件： 第 10 頁,共 14 頁 x1 x2 ； x1 2x2 ； 2 x1 x2 其中能使 f x1 f x2 恒成立的條件序號是 舉一反三 【 2022 浙江 ,9,5 b 2分】設(shè) a 大于 0, b 大于 0. 2a b 23b ,就 a b 40 ,a A如 2 2a 3b ,就 a b a B如 22a C如 2a2a b 2

21、3b ,就 a b D如 2ab 23b ,就 a b 2 c 10 ,2 x 2 y 2 z 分】設(shè) a, b, c, x, y, z 是正數(shù),且 a2b2【 2022 湖北 ,6,5 ax by cz 20 ,就 abc Cx2 12D 34x y z A 14B 1 37.3 【 2022 江蘇 ,13,5 分】已知函數(shù) f x axb a,bR 的值域為 0 , ,如關(guān)于 x 的不等式 f x c 的解集為 m ,m 6 ,就實數(shù) c 的值為 輕松驛站 令今人汗顏的楊一清數(shù)學(xué)政治思維 明朝的歷史真相被雪藏了許久, 本世紀(jì)初明朝的價值得以被快速擴(kuò)大化； 然而, 物極必 反；當(dāng)目光全部都投

22、入到了帝王將相的爾虞我詐, 金戈鐵馬的時候, 許多歷史真實被人們忽 略了；特殊是在這個虛浮的時代； 摘自：白銀帝國：翻翻明朝的老賬 弘治十七年也就是公元 1504 年的某一天,都察院左副都御史,督理陜西政馬茶法,茶 馬互市的楊一清, 伏案看著奏報, 他是越看越興奮, 不禁提筆向皇帝陛下寫了封奏章； 他說： 由于販私茶的現(xiàn)象嚴(yán)肅,早已經(jīng)陳舊的茶馬法規(guī),貿(mào)易法就根本無法實行；此次,我 用了 1570 余兩銀子收購茶葉 78820 斤,換得馬 900 多匹；假如用銀直接買馬的話就至少需 要 7000 余兩；由于目前的茶葉價格是 兩一斤,馬價一般為 兩,每匹馬就要折茶 第 11 頁,共 14 頁389

23、 斤；而本次交易中,每匹馬僅折茶 87 斤左右,折算成銀的話,每匹馬僅值 兩,凈 利潤約 兩,凈利潤率高達(dá) 347%；所以,萬歲呀,為了國家急缺的戰(zhàn)馬,為了增加國家 稅收, 防止巨額利潤流入奸商, 走私犯手中, 朝廷應(yīng)當(dāng)實行招商買茶制度； 國家不再統(tǒng)購統(tǒng) 銷,而是由商人自行買茶到指定地點銷售,照章納稅； 這次上書之后, 弘治皇帝批準(zhǔn)了戶部的建議, 準(zhǔn)備召集陜西, 山西的富商們進(jìn)行茶葉招 商引資；其后,楊一清再次上書,再次為皇帝算了幾道數(shù)學(xué)題；他說： 招商買茶能否成功全賴定價； 茶商為了利潤確定不會抬高收購價格, 這樣, 只要我們控 制好運輸價格,朝廷就能得利；當(dāng)然,也不能為了得利,而有意讓商人

24、賠本,這樣就沒人買 茶運茶了； 經(jīng)過臣的測算, 官商都中意的正確點是, 每 1000 斤運到茶馬司給銀 50 兩,其中 茶價銀 25 兩,加工費和運費 25 兩； 然而, 仍有一個問題, 假如某一兩家大型茶商買茶數(shù)量過多, 就會擠占其他中小茶商的 利益；這樣,政府就可能被一兩家或幾家大型茶商鉗制,從而影響國家法律施行；所以,每 名茶商買茶不能超過 1 萬斤； 依據(jù)以前的做法,官銀 1 萬兩,戰(zhàn)馬不過 1000 匹 馬價上升 ；依據(jù)上述方法,官銀 1萬兩,可以買茶 20 萬斤 茶價上升到每斤 0.05 兩 ,可買馬將近 3000 匹,平均 67 斤茶葉換 一匹馬,差價為 133 斤；由此,凈利潤

25、高達(dá) 200%； 明代中前期, 明政府最大的心腹之患就是北方蒙古部落； 到了弘治年間, 蒙古部落再次 崛起,邊關(guān)告急；弘治皇帝命令邊關(guān)積極備戰(zhàn),然而卻突然發(fā)覺戰(zhàn)馬不夠了； 明初茶馬貿(mào)易每年可換來幾十萬匹馬, 而此時馬匹卻少得不夠用了； 為了增加戰(zhàn)馬, 孝 宗急需能人來整頓茶馬互市和苑馬寺； 經(jīng)過考查, 兵部尚書劉大夏舉薦南京太常卿楊一清為 都察院左副都御史,督理陜西的茶法和馬政；弘治十五年 1502 年 楊一清走馬上任； 楊一清發(fā)覺,在邊關(guān)對茶馬貿(mào)易的治理本應(yīng)是一體的,但實際卻是分頭領(lǐng)導(dǎo)； 例如,馬 政由太仆寺, 苑馬寺負(fù)責(zé), 由巡撫兼管, 茶馬司由巡茶御史主持； 二者各自為政, 互不協(xié)作；

26、第 12 頁,共 14 頁如此造成的結(jié)果是, 茶馬司只管以茶易馬, 只留意完成換馬的數(shù)量卻不重視馬的質(zhì)量； 苑馬 寺只管將馬支配給官軍,不管馬匹能否上陣；許多戰(zhàn)馬買來之后,相繼病倒；為此,楊一清 主見合二為一,統(tǒng)一治理,由巡茶御史統(tǒng)一治理； 與此同時,他罷了苑馬寺卿李克恭的官職,這家伙在任三年竟然使 6400 多匹戰(zhàn)馬被人 盜賣；仍撤了靈武監(jiān)正李謙,這家伙在北京借了高利貸,為了仍錢到了靈武后四處搜刮； 在罷免了七八名辦事不力的官員后, 他又大舉提拔一些資格比較淺的官員, 如平?jīng)鐾ㄅ?張檄,涇荊州知州岳思忠等；他仍把山西行太仆寺卿王琰與陜西行太仆寺卿袁宏進(jìn)行對調(diào)； 王琰的特點是作風(fēng)兇悍, 袁宏是作風(fēng)穩(wěn)?。幻黠@, 對于身處改革之中的他來說,王琰比袁宏 更合適在他手下工作； 除此之