太原理工微積分與數(shù)學(xué)模型10年修改版第七章理工大高數(shù)7

1、第七節(jié) 函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)二 泰勒級(jí)數(shù)一 問題的提出三 函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?1.如果能展開, 是什么?上節(jié)例題即得形如 函數(shù)的展開式需要考慮問題 是否存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以 為和函數(shù)?一、 問題的提出1. Toylor公式：復(fù)習(xí)前面的兩個(gè)公式其中 在 與 之間二、 泰勒級(jí)數(shù)2. Maclaurin公式 其中 在 與 之間函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的必要條件定理1 若 在 處能展開成冪級(jí)數(shù) ,則 在 內(nèi)具有任意階導(dǎo) 數(shù),且證明:在 內(nèi)收斂于 ,令 ,即得逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得即為泰勒系數(shù)且泰勒系數(shù)是唯一的,所以的展開式是唯一的問題泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f (

2、x) ? 定義 如果 f (x) 在點(diǎn) 處任意階可導(dǎo),則冪 級(jí)數(shù) 稱為 在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù) 。 稱 為 在點(diǎn) 的麥克勞林級(jí)數(shù)。任意可導(dǎo),且例如 在 x = 0點(diǎn)麥克勞林級(jí)數(shù)為該級(jí)數(shù)在 內(nèi)和函數(shù) 可見，除 外, 的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的充要條件證明：設(shè) 能展開為泰勒級(jí)數(shù)定理2 在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù),在 內(nèi) 收斂于 在 內(nèi)必要性充分性又的泰勒級(jí)數(shù)收斂于定理3 設(shè) 在 上有定義, 對 恒有 則 在 內(nèi)可展 開成點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)。證明:在 收斂故可展成點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)1. 直接法 (泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:寫出 級(jí)數(shù)討論 或則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于三、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)解:由于M的任意性,即得例1將 展開成冪級(jí)數(shù)在 上解:且例2將 展開成 冪級(jí)數(shù)解例3將 展開成 冪級(jí)數(shù)在 內(nèi),若利用得即牛頓二項(xiàng)式展開式注意在 處收斂性與 的取值有關(guān)。當(dāng) 時(shí),有當(dāng) 時(shí),有雙階乘當(dāng) 時(shí),有2. 間接法根據(jù)唯一性，利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算, 恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求展開式。由例4將 展開成 冪級(jí)數(shù)解：把 換成 得例