工程力學(xué)ii導(dǎo)學(xué)12動量矩定理

1、工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理1工程力學(xué)導(dǎo)學(xué)動量矩定定理動量矩定理2工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定原理 目錄內(nèi)容提要 3基本要求 8典型例題 9補(bǔ)充習(xí)題 25工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理31.內(nèi)容提要1) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量是度量剛體角動量改變時的旋轉(zhuǎn)慣性。轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量大小有關(guān)，更取決于質(zhì)量的分布。(1) 對軸與對點的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式空間剛體平面剛體（剛體位于oxy平面）對軸nJ m ( y 2 z 2 )iiii1nJ m (x2 z 2 )iiii1niiiJm (x2 y 2 )i1nJ m y 2xiii1nJ m x 2yiii1對點J 1 (J J J )O2xyzJ

2、z JO Jx Jy4J z md2 JCz工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理(2)回轉(zhuǎn)半徑表示的轉(zhuǎn)動慣量2lJ ml ，有l(wèi)對任一軸(3)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量等于它對過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距平方的乘積。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理52) 質(zhì)系動量矩計算動量對不同點之矩的表達(dá)式對靜點對質(zhì)心任意nLO ri mivii1vi 質(zhì)點的絕對速度。nLC riC mivii 1 m nriCivici1riC 為任意點到質(zhì)心的矢徑；viC 為任意點相對質(zhì)心的速度；質(zhì)系剛體LO L CrCp J CrCpLC JC特例定軸轉(zhuǎn)動 Lz J z平面運(yùn)動LC J

3、C工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理63) 動量矩定理動量矩定理的各種表達(dá)式對靜點O對質(zhì)心C任意質(zhì)系dLO nM(F E ) dtOii1dLC nM(F E ) dtCii1剛體d J r p n M(F E )dtCCOii1nCCiJ M(F E )i1特例定軸轉(zhuǎn)動nJ M (F E )zzii1平面運(yùn)動nCCiJ M(F E )i1工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理7ECiFi1maECCiM(F)J i1上式在剛體運(yùn)動平面中有二個投影方程，及nEni1CiLCM (F ) 0，則常矢量；若nCzii1CzM(F E ) 0，則特例：若L const。ni1zL constM (F E )

4、 0 ，則特例： 若 zi4)動量矩守恒Eni1OiM(F ) 0OL，則常矢量；5)剛體平面運(yùn)動微分方程將質(zhì)心運(yùn)動定理與質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理結(jié)合，就有剛體的平面運(yùn)動微分方程n若工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理82. 基本要求會正確計算質(zhì)點系和剛體系對固定點或質(zhì)心的動量矩。用動量矩定理求解質(zhì)點系問題時，能正確地進(jìn)行受力分析，分清外力和內(nèi)力，并將外力畫出來；能正確地進(jìn)行運(yùn)動分析，確定系統(tǒng)的獨(dú)立的運(yùn)動未知量。能熟練地寫出平面運(yùn)動微分方程和列寫運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理93.典型例題工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理10例1：求直角桿OAB對O軸的轉(zhuǎn)動慣量解:直角桿可以分割

5、成兩段OA和AB采用分割法3m l 2JO (OA) 1222212O ( AB )m2lJ m2l 2212171321233OO ( AB )OOAm 2l 2m l 2J J J m2l m l 2 m l 2OAB1m , l2m , 2l工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理11（a）解:圖（a）中桿OA作定軸轉(zhuǎn)動，輪A作平面運(yùn)動OAvAr1r2vA r1 r2 r1 r1 r2 A 整個系統(tǒng)對固定軸O的動量矩：LO LO ( 桿OA) LO（A） m1vA r1 r2 J AA JO222121121 13121r3m r m r r 1r r12mr r211213 3r1 2r2m

6、mr1 r23 2 r r （逆時針）例2：試下圖中各質(zhì)點系對軸O的動量矩圖（a）中輪A的質(zhì)量為m1，輪O的質(zhì)量為m2，桿OA的質(zhì)量為m3工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理12圖（b）輪的半徑均為r，質(zhì)量為m，重物A的質(zhì)量也為m，輪心D的速度為v。rOAvrB圖（b）中重物A作直線運(yùn)動，輪B作平面運(yùn)動，輪O作定軸轉(zhuǎn)動vA vO B vr整個系統(tǒng)對固定軸O的動量矩：vLO LO（A） LO（B） LO (O ) mvAr mvr JBB JOO2221v1v r mvr mvr mrmr2r 3mvr工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理13例3：為了求半徑為R質(zhì)量為m的飛輪對于通過其中心并垂直于輪面的

7、軸的轉(zhuǎn)動慣量，可在飛輪上纏一細(xì)繩，繩下端系重物，重量為P，重物自h處落下（不計摩擦），測得重物下落的時間 t，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。FOxFOymg解：v取整體為研究對象，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動分析EdLOM(F)dtOiPR2PR2a gJO h 1 at 2221t2JO PR( 2h g )vPRgLO JOvREM(F) PROi工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理14例4：塔輪分別由半徑為r1和r2的兩個勻質(zhì)圓盤固連在一起組成，它的總質(zhì)量為m，對水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，兩輪上各纏有繩索，并掛有重物A和B，重物A和B的質(zhì)量分別為m1和m2。如果不計繩重和軸承O處的摩擦，求重物A下降的加速度和軸承

8、O的約束力。v2v1OABmgm1gm2gFOxFOya2a1解:本題需應(yīng)用動量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動定理或動量定理聯(lián)合求解。首先應(yīng)用動量矩定理求重物A的加速度a1，取整個系統(tǒng)為研究對象，作受力分析和運(yùn)動分析 。dLOM(F E )dtOi工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理15LO JO m1v1r1 m2v2 r2vr 2r1r1 JO 1 m1v1r1 m2v1 2E11221 12 2M(F) m gr m grm r m rgOi21 12 21Odv1 1 J代入動量矩定理： dtr m r 2 m v r1 12 1 2m r m rg1O1 12 1 2gm1r1 m2 r2 r1a d

9、v1 dtJ m r 2 m v r 2應(yīng)用動量定理求軸承O處的約束力：dpx FOx 0dtdpydt FOy m m1 m2 g11 12 21vrpy m1v1 m2v2 m r m r21 12 21 12 1 2Om r m rFOy m m1 m2 g J m r 2 m v r 2gOxF 0也可利用質(zhì)心運(yùn)動定理求約束力工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理16Dr1r2ABODFAyFNFAx FdFBxFN例5： 勻質(zhì)圓輪的質(zhì)量為m1，半徑為r，以角速度繞桿OA的A端轉(zhuǎn)動，1此時將輪A放在質(zhì)量為m2的另一靜止的勻質(zhì)圓輪B上，其半徑r2 ，放置后輪A的重量由輪B支持。略去軸承摩擦和桿

10、重，并設(shè)兩輪間的摩擦系數(shù)為fd。求自輪A放在輪B上到兩輪間沒有相對滑動為止所經(jīng)過的時間。解:本題與兩輪間的相互作用力有關(guān)，故分別取輪A和輪B為研究對象，作受力分析和運(yùn)動分析dF Am1gFBy DBm2gFd fd FN fd m1 g對輪A，有輪A作定軸轉(zhuǎn)動d 1d11 1 dm r 21 F r f m gr 21 1dt工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理17r11d2 fg得： t 1 m r 2 d2 Fdr2 fd m1 gr2對輪B， 22 2dt積分110dr1dt2 fgtd積分2201dm2r2tddt2m fg 0得：21dm2 r22mfgt 設(shè)兩輪間沒有相對滑動為止所經(jīng)過

11、的時間為，這時有：1r1 2 r2 （1）（2）（3）聯(lián)立求解式（1）、式（2）和式（3），解得兩輪沒有相對滑動所需的時間： m2r12 fd g m1 m2 工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理18例6： 勻質(zhì)鋼桿AB的質(zhì)量為m，長度為2l，放在鉛直面內(nèi)，兩端分別沿光滑鉛直墻壁和光滑水平地面滑動。假設(shè)桿的初始位置與墻壁的傾角為0，初角速度為零；當(dāng)桿的A端沿鉛直墻壁下滑而未脫離墻壁時，試求在任意傾角時桿的角aBBAFAFBaAmgBCyx速度和角加速度以及A和B處的約束力。解: 桿AB作平面運(yùn)動，用平面運(yùn)動微分方程求解，作受力分析和運(yùn)動分析根據(jù)平面運(yùn)動微分方程，有mxC FAmyC FB mgJC

12、 FBl sin FAl cos上述3個方程，有5個未知量，需根據(jù)約束性質(zhì)，引入幾何關(guān)系DA 工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理19xC l sin yC l cosyC l sin 對時間求導(dǎo)： xC l cosx l cos l 2 sin y l sin l 2 cosCC將 xC 和 yC代入微分方程中，求得桿的角加速度：4l 3g sin 積分角加速度，考慮到： d d d d04l0dtdtdd3gsin dd 桿的角速度：02l 3g cos cos 這兩個關(guān)系式很重要20工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理將 和 代入質(zhì)心加速度，再代入微分方程，求約束力4A0F 3 mg 3 cos

13、 2 cossin 203342BF mg1 sin coscos cos 當(dāng)桿的A端脫離墻壁時，F(xiàn)A 0，此時的夾角為11 arccos 3 cos 20 本題中由于速度瞬心D到質(zhì)心C的距離始終為l，因此也可以應(yīng)用對速度瞬心D的動量矩定理直接求出角加速度。DD iMF EJ 3DCJ J ml 2 4 ml 2EDiF mgl sin M3g sin 4l工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理21例7：質(zhì)量m、長度l的均質(zhì)桿初始時刻被光滑的水平面和繩索約束，平衡于圖示位置?，F(xiàn)突然將繩索剪斷，試求剪斷后瞬時 A處的約束反力。450ABC0CyNJC FN l / 2 cos 45maCx 0ma m

14、g FFNAmgaCxCaCyB3個方程4個未知量，需補(bǔ)充運(yùn)動學(xué)關(guān)系解： 剪斷繩索的瞬時，桿作平面運(yùn)動，作受力分析和運(yùn)動分析：由平面運(yùn)動微分方程得：工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理22AaCxCaCyB以A為基點aCx aCy aA aCAt向y方向投影2Cya l cos 450aAaCAtaAN5F 2 mg將上式聯(lián)立平面運(yùn)動微分方程即可求出A處的約束力23DABEaDABEaCFDyFDxmgFB l4 l4工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理例8：直角彎桿的質(zhì)量m=3kg，且 ED=EA=l=0.2m，在D點鉸接于加速運(yùn)動的板上。為了防止桿的轉(zhuǎn)動，在板上A、B兩點固定兩個光滑螺栓，整個系統(tǒng)

15、位于鉛垂面內(nèi)，板沿水平直線軌道運(yùn)動，如圖所示。若板的加速度a=2g（g為重力加速度），試求螺栓A或B及鉸D對彎桿的約束力。若彎桿在A、B處均不受力，試求板的加速度a及鉸D對彎桿的約束力。解：取彎桿作為研究對象，作受力分析和運(yùn)動分析（1）由平面運(yùn)動微分方程得：工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理24444CDyDxBDxBDyJ 0 3 lF 1 lF 3 lFma F Fm 0 F mgFDy 29.4 N其中：a 2g聯(lián)立上式，可解得： FB 7.35 N（2）若要A、B處均不受力，則FDx 60.15 NFB 044CDyDxDxDyJ 0 3 lF 1 lFma Fm 0 F mg可解得：a

16、 3gFDx 88.2 NFDy 29.4 N工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理254.補(bǔ)充習(xí)題工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理261勻質(zhì)細(xì)長桿長為l，質(zhì)量為m。已知Jz=ml2/3，試求Jz1和Jz2。答案Jz1=Jz2=7ml2/48。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理272試求下列各勻質(zhì)板對軸x的轉(zhuǎn)動慣量。已知兩板的質(zhì)量均為m，尺寸如題圖所示。答案3x(a)J m (a2 3ab 4b2 ) ；(b)6xJ 5 m(a2 3ab 3b2 )。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理283試求證邊長為l的正方形薄板對于其對角線的轉(zhuǎn)動慣量為ml2/12。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理294圖示零件用鋼

17、制成，其密度=7850kg/m2。已知R1=240mm， R2=120mm， 1=2=60mm，h=30mm。試求其對軸x的轉(zhuǎn)動慣量Jx和回轉(zhuǎn)半徑x。答案Jx=0.0767kgm 2, x=0.0849m。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理305 圖示擺由質(zhì)量為m1,長為4r的勻質(zhì)細(xì)桿AB和質(zhì)量為m2,半徑為r的勻質(zhì)圓盤組成。試求其對過點O并垂直于擺平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 14m1 99m2 r 26JO答案。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理316勻質(zhì)薄板，尺寸如圖，單位為mm。單位面積的質(zhì)量為510-4kg/mm2，試求其對軸x，y的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。答案Jx=2.2kgm 2 , Jy=4kg

18、m 2 , Jxy=1.2kgm 2。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理327剛體作平面運(yùn)動。已知運(yùn)動規(guī)律為xC=3t2, yC=4t2, =t3/2，其中，長度以m計，角度以rad計，時間以s計。設(shè)剛體質(zhì)量 m=10kg，對于通過質(zhì)心C且垂直于圖平面的慣性半徑=0.5m，試求當(dāng)t=2s時剛體對坐標(biāo)原點的動量矩。答案LO=15kgm 2/s。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理338 圓輪的輞重力為P，外徑為R，內(nèi)徑為r；輪輻為六根勻質(zhì)桿，各重P0。一繩跨過圓輪，兩端懸掛重P1及P2的重物。設(shè)圖示瞬時圓輪以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動，試求整個系統(tǒng)對O的動量矩。2O0122gL (4P P)r 2 (P 2P

19、2P )R 答案。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理349已知勻質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為R，當(dāng)它作圖示四種運(yùn)動時，對點O1的動量矩分別為多大？圖中O1C=l。答案a）LO1=ml2；b） LO1=mR2/2；c）LO1=mR2/2+ml2； d）LO1=mR2/2-mRl。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理3510兩個重物A，B其重力為P1，P2，分別系在兩條繩上，此兩繩又分別圍繞著半徑為r1，r2的鼓輪上，重物受重力的影響而運(yùn)動。試求鼓輪的角加速度。鼓輪和繩的質(zhì)量均略去不計。答案。Pr 2 Pr 2 1 11 2 g(P1r1 P2r2 )工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理3611一倒置的擺由兩根相

20、同的彈簧支持。設(shè)擺由圓球與直桿組成，球的質(zhì)量為m，半徑為r，桿重不計。彈簧的剛度系數(shù)為k。試問當(dāng)擺從平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振動？寫出能夠發(fā)生振動的條件。2b2答案k mgl。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理3712一半徑為r，重力為P1的勻質(zhì)水平圓形轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心O并垂直于臺面的鉛直軸轉(zhuǎn)動。重力為P2的人A沿圓臺邊緣以規(guī)律s=at2/2走動，開始時，人與圓臺靜止，試求圓臺在任一瞬時的角速度與角加速度。(P1 2P2 )r2aP2t 答案,。(P1 2P2 )r2aP2 工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理3813圖示A為離合器，開始時輪2靜止，輪1具有角速度。當(dāng)離合器接合后，依

21、靠摩擦使輪2啟動。已知輪1和輪2的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2。試求：（1）當(dāng)離合器接合后，兩輪共同轉(zhuǎn)動的角速度；（2）若經(jīng)過7s兩輪的轉(zhuǎn)速相同，離合器應(yīng)有多大的摩擦力矩。J1 J2J10(J1 J2 )tJ1J20答案（1） ; （2） M 。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理3914桿AB可在管CD內(nèi)自由地滑動，當(dāng)桿全部在管內(nèi)時（ x=0），這組件的角速度為1。如桿AB、管CD的質(zhì)量及長度均相等，可視為勻質(zhì)物體，忽略軸承摩擦。試求在x=l/2時，組件的角速度2。答案2=81/17。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理4015勻質(zhì)矩形薄片的質(zhì)量為m，寬為l，長為h，繞鉛垂軸 AB以初角速度0轉(zhuǎn)動；而薄片的每一部分均受到空氣阻力，其方向垂直于薄片的平面，其大小與面積及速度平方成正比，比例常數(shù)為k。試求薄片的角速度減為初角速度1/2時所需的時間。03kl2h4mt 答案。工程力學(xué)導(dǎo)學(xué) 動力學(xué)_動量矩定理4116滑輪質(zhì)量為m，可視為均質(zhì)圓盤，輪上繞以細(xì)繩，繩的一端