數(shù)字圖像變換技術(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)2課件

1、3.3.4 沃爾什函數(shù)的性質(zhì) 沃爾什函數(shù)有如下一些主要性質(zhì)： （） 在區(qū)間0,1內(nèi)有下式成立 (4119)(4120)(4121)這說(shuō)明在0,1區(qū)間內(nèi)除了 外，其他沃爾什函數(shù)取和的時(shí)間是相等的。 （） 在區(qū)間0,1的第一小段時(shí)間內(nèi)（通常稱為時(shí)隙）沃爾什函數(shù)總是取。（） 沃爾什函數(shù)有如下乘法定理 (4122) 并且，該定理服從結(jié)合律(4123) 證明：由定義式 但是因此以上便是乘法定理的證明。（） 沃爾什函數(shù)有歸一化正交性(4124) 證明：由乘法定理有其中 由于 所以當(dāng)l=0，即i=j時(shí)，則而當(dāng) ，即 時(shí)，則正交性得證。 3.3.5 沃爾什變換 離散沃爾什變換可由下二式表達(dá) (4127) (4

2、128)離散沃爾什變換解析式寫成矩陣式可得到沃爾什變換矩陣式 (4130)式中代表階沃爾什矩陣。另外，沃爾什函數(shù)可寫成如下形式式中 因此，可得到指數(shù)形式的沃爾什變換式 (4133)以上是離散沃爾什變換的三種定義，其中矩陣式最為簡(jiǎn)潔。 (4132) 3.3.6 離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換 由沃爾什函數(shù)的定義可知，按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)與按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)相比較只是排列順序不同，其本質(zhì)并沒(méi)有什么不同。但是哈達(dá)瑪矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，也就是高階矩陣可用低階矩陣的直積得到，這就使得沃爾什一哈達(dá)瑪變換有許多方便之處。因此，用得較多的是沃爾什哈達(dá)瑪變換。 離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的定義可直接由沃爾什變換

3、得到，只要用按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)去代替沃爾什排列的沃爾什函數(shù)，就可以得其矩陣式如下： (4-134)式中， 是沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)序列，是時(shí)間序列， ，p為正整數(shù)。式(3134)的逆變換式如下 (4135) 例：將時(shí)間序列做沃爾什哈達(dá)瑪變換及反變換。反變換為3.3.7 離散沃爾什變換的性質(zhì) 離散沃爾什變換有許多性質(zhì)。下面把主要性質(zhì)列舉于下。為敘述方便起見，用 表示時(shí)間序列，用 表示變換系數(shù)序列，以 表示沃爾什變換對(duì)應(yīng)關(guān)系。 (4136) （）線性 如果 則 其中為常數(shù)。（） 模2移位性質(zhì) 將時(shí)間序列 作L位模2移位所得到的序列，我們稱為模2移位序列。模2移位是這樣實(shí)現(xiàn)的： 設(shè)： 是周期長(zhǎng)度

4、為N的序列。作一個(gè)新的序列 (4137) 其中 。此時(shí)，稱 是序列f(t)的位模2移位序列。 例：L=2， 則：由于=(2)D =(3)D =(0)D =(1)D =(6)D =(7)D =(4)D =(5)D所以 同理 用矩陣表示為式中 (4139) (4140) 按照模2和的性質(zhì)，可知這里I是么陣。(4141) 模2移位性質(zhì)是指下面的關(guān)系：如果 ，并且 是 的模2移位序列，則 式中： ， 是矩陣 中的第n行第l列的元素； n=0，1，2，(N-1)；t=0，1，2，(N-1)； ，p是正整數(shù)。此定理可證明如下： 令 為 的元素， 是 的模2移位序列，則令 ，則有 ，并且當(dāng) t 取值由0到N

5、-1時(shí)，r 也取同樣的值，只不過(guò)取值的順序不同而已。于是可寫成如下形式：所以，證明 又因?yàn)?，這說(shuō)明 與l無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，模2移位后的序列，作沃爾什變換后，所得到的第n個(gè)系數(shù)的平方 與模2移位的移位位數(shù)無(wú)關(guān)。 仍然等于 。 因此，模2移位定理（或稱為并元移位定理）又可表達(dá)為輸入序列 模2移位后的功率譜是不變的。 例如：設(shè)輸入序列 ，對(duì)此序列作l=3的模2移位，得作沃爾什變換得根據(jù) 可得從上面結(jié)果可知可見n相同時(shí)，功率也相同，也就是說(shuō)功率列率譜是不變的。（） 模2移位卷積定理（時(shí)間） 在討論下面的定理之前，首先說(shuō)明一下模2移位卷積與模2移位相關(guān)的概念。 令 和 是兩個(gè)長(zhǎng)度相同的周期性序列。用下式

6、來(lái)定義兩個(gè)序列的模2移位卷積：(4143) (4144) 式中 為模2卷積， 為模2減運(yùn)算符，它的運(yùn)算結(jié)果與模2加一樣。 模2移位相關(guān)的定義式如式(3144)所示其中 表示模2移位相關(guān)， 是 的模2移位序列。 由式(4143)和(4144)可見，模2移位卷積和模2移位相關(guān)具有相同的結(jié)果,即： 如果用W 代表作沃爾什變換，則：則(4145) 下面討論模2移位卷積定理 如果所以證明 （） 模2移位列率卷積定理模2移位列率卷積由下式來(lái)表示(4146) 依照模2時(shí)間卷積定理，模2移位列率卷積定理如下 如果 (4147) 仿照模2移位時(shí)間卷積定理的證明方法可得到證明。則（） 模2移位自相關(guān)定理 從模2

7、移位時(shí)間卷積(相關(guān))定理可以得到模2移位自相關(guān)定理。只要把定理中的 和 換成 和 便立即可以得到模2移位自相關(guān)定理。(4148) 其證明方法也與模2移位時(shí)間卷積定理的證明一樣。 從式(4148)可以建立一個(gè)重要概念：模2移位自相關(guān)序列的沃爾什變換等于序列的功率譜。也就是說(shuō)，模2移位下的自相關(guān)序列的沃爾什變換正好與序列的功率譜相符合。與傅里葉變換相比較，模2移位下的自相關(guān)與沃爾什譜的關(guān)系相當(dāng)于線性移位下的自相關(guān)序列的離散傅里葉變換與其功率譜的關(guān)系。 （）帕斯維爾定理 如果 則 (4149) 證明：設(shè) 因?yàn)槭亲韵嚓P(guān)函數(shù)，所以 則 又由于 所以如果令t=0，則由于 l 僅是求和運(yùn)算的變量，因此將 l

8、 換成 t ，即可得：（）循環(huán)移位定理 把序列 循環(huán)地向左移若干位，例如移l位，l=1，2，N-1，這樣得到的序列叫循環(huán)移位序列。如果用 來(lái)表示循環(huán)移位序列，(4150) 例如：有一個(gè)N=8的序列， 當(dāng)l=5，l=3 的循環(huán)移位序列分別為循環(huán)移位定理的內(nèi)容如下： 如果 和它的循環(huán)移位序列 的沃爾什哈達(dá)瑪變換分別是 和 ，則 (4151) 式中 這個(gè)定理把序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)與循環(huán)移位序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)聯(lián)系了起來(lái)。即某些之 和 與 之和是相等的。所以這個(gè)定理又稱為沃爾什哈達(dá)瑪變換的循環(huán)移位不變性。下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明本定理的意義。 例如設(shè) ，經(jīng)沃爾什哈達(dá)瑪變換后的系數(shù)序列為 現(xiàn)將

9、做l=3的循環(huán)移位，則 此序列經(jīng)沃爾什哈達(dá)瑪變換后的系數(shù)序列為從兩個(gè)序列 與 可以看出當(dāng)r=1時(shí)，則： 所以 當(dāng)時(shí)，則： 所以 當(dāng)r=3時(shí)，則：所以： 顯然，這些關(guān)系符合循環(huán)移位定理。 需要特別指出的是這個(gè)定理只適用于沃爾什哈達(dá)瑪變換。此定理的更加一般性的證明，請(qǐng)參閱有關(guān)書籍。4.3.8 快速沃爾什變換 離散付里哀變換有快速算法。同樣，離散沃爾什變換也有快速算法。利用快速算法，完成一次變換只須 次加減法，運(yùn)算速度可大大提高。當(dāng)然快速算法只是一種運(yùn)算方法，就變換本身來(lái)說(shuō)快速變換與非快速變換是沒(méi)有區(qū)別的。 由于沃爾什哈達(dá)瑪變換有清晰的分解過(guò)程，而且快速沃爾什變換可由沃爾什哈達(dá)瑪變換修改得到，所以下

10、面著重討論沃爾什哈達(dá)瑪快速變換。式中 為正整數(shù)。(4152) 由離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的定義可知 這里以8階沃爾什哈達(dá)瑪變換為例，討論其分解過(guò)程及快速算法。由克羅內(nèi)克積可知： (3153) 其中(4154) (4155) (4156) 其中 均為么陣由上面的分解有 (4157) 令 則 下面是具體計(jì)算 的公式及流程圖。(4158) (4-159)(4160) 圖 414 快速沃爾什-哈達(dá)瑪變換信號(hào)流圖（N=8）離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的特點(diǎn)： 1）、WHT只有加減運(yùn)算，沒(méi)有乘除運(yùn)算，運(yùn)算速度快； 2）、H是對(duì)稱矩陣，H=H ,所以，正反變換均用一樣的公式，一樣的運(yùn)算程序，甚至用一樣的硬件，給工程帶來(lái)

11、極大方便。4.3.9 多維變換圖像處理多用二維變換，二維變換的定義： 二維沃爾什哈達(dá)瑪變換可用一維沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)計(jì)算，其步驟如下： (1)、以 ，對(duì) 中 個(gè)列中的每一列做變換，得到 ； (2)、以 對(duì) 中 行的每一行作變換，即可得到二維變換系數(shù) 。根據(jù)這一步驟，便可以利用一維快速沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)完成二維沃爾什哈達(dá)瑪變換的計(jì)算。另外一種計(jì)算方法是將二維沃爾什哈達(dá)瑪變換當(dāng)做一維來(lái)計(jì)算。這種方法是將數(shù)據(jù)矩陣的各列依次順序排列，這樣就形成由 個(gè)元素的列矩陣。然后再按照一維沃爾什哈達(dá)瑪變換方法來(lái)計(jì)算。下面用實(shí)例說(shuō)明一下兩種計(jì)算方法。 例：設(shè)數(shù)據(jù)矩陣如下 求 的二維沃爾什哈達(dá)瑪變換。 首先對(duì) 的每一

12、列作變換： 第一列 第三列 第二列 第四列 所以 第一行 對(duì) 每一行作變換 第二行 最后得到二維變換系數(shù)矩陣 以上是采用第一種算法得到的結(jié)果。 第二種算法如下： 將 改寫成列矩陣Y，即 對(duì)做一維變換 然后重排一下 顯然，與第一種算法得到的結(jié)果一致。 4.3沃爾什和哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換函數(shù)哈達(dá)瑪變換矩陣函數(shù) H=hadamard(n)返回nxn矩陣hadamard變換矩陣， H*H=n*I4.3沃爾什和哈達(dá)瑪變換Hadmard變換的應(yīng)用 sig=imread(lena.bmp); sig=double(sig)/255; subplot(121);imshow(sig) m_sig,n_sig=

13、size(sig); sizi=8; snum=64; T=hadamard(sizi); hdcoe=blkproc(sig,sizi sizi,P1*x*P2,T,T);4.3沃爾什和哈達(dá)瑪變換 coe=im2col(hdcoe,sizi sizi,distinct); coe_temp=coe; Y,Ind=sort(coe); m,n=size(coe); snum=m-snum; for i=1:ncoe_temp(Ind(1:snum),i)=0;end4.3沃爾什和哈達(dá)瑪變換 re_hdcoe=col2im(coe_temp,sizi sizi,m_sig,n_sig,disti

14、nct); re_sig=blkproc(re_hdcoe,sizi sizi,P1*x*P2,T,T); subplot(122);imshow(re_sig,)4.4 Radon變換Radon變換Radon變換是計(jì)算圖象在某一指定角度射線上投影的變換f(x,y)在某方向上的投影在該方向上的線積分：4.4 Radon變換Radon變換f(x,y)在某方向上的投影在該方向上的線積分：4.4 Radon變換Radon變換函數(shù) R,xp=radon(I,theta,N)I變換的圖象，theta變換的角度,R 的各列theta中各方向上的radon變換值，xp矢量沿x軸的坐標(biāo),N為可選參數(shù)，指定ra

15、don變換在N個(gè)點(diǎn)上進(jìn)行變換4.4 Radon變換Radon逆變換函數(shù) IR=iradon(R,theta)函數(shù)從平行光束投影中重建原始圖象4.4 Radon變換Radon變換函數(shù)I=zeros(100);I(25:75,25:75)=1;figure(1),imshow(I);4.4 Radon變換Radon變換函數(shù)R,xp=radon(I,0 45);figureplot(xp,R(:,1),title(R_00(xprime);4.4 Radon變換Radon變換函數(shù)figure(3),plot(xp,R(:,2),title(R_450(xprime);4.4 Radon變換應(yīng)用I:

16、檢測(cè)圖象直線I=imread(circuit.tif);BW=edge(I);figure(1),imshow(I);4.4 Radon變換應(yīng)用I: 檢測(cè)圖象直線BW=edge(I);figure(2), imshow(BW);4.4 Radon變換應(yīng)用I: 檢測(cè)圖象直線theta=0:179;R,xp=radon(BW,theta);figure(3),imagesc(theta,xp,R),colormap(hot);xlabel(ztheta(degress),ylabel(xprime);title(Rtheta(xprime);colorbar;4.4 Radon變換應(yīng)用II: 采樣

17、圖象的投影構(gòu)造和圖象重建原始圖象：P=phantom(256);imshow(P);4.4 Radon變換應(yīng)用II: 采樣圖象的投影構(gòu)造和圖象重建theta1=0:10:170;R1,xp=radon(P,theta1);figure,imagesc(R1),colormap(hot),colorbar;4.4 Radon變換應(yīng)用II: 采樣圖象的投影構(gòu)造和圖象重建theta2=0:5:175;R2,xp=radon(P,theta2);figure,imagesc(R2),colormap(hot),colorbar;4.4 Radon變換應(yīng)用II: 采樣圖象的投影構(gòu)造和圖象重建theta3=0