高中數(shù)學人教A版高中選修 圓錐曲線與方程教學設計2

1、圓錐曲線的光學性質（人教版2023課標版選修2-1第75頁）四川省峨眉第二中學校 陳 恒教材分析1.在學習完圓錐曲線的定義和性質的基礎上介紹圓錐曲線的光學性質，體會不同的圓錐曲線在反射光線時的不同情況。2.從實際生活的角度介紹圓錐曲線的光學性質的作用，讓學生感受到數(shù)學來源于生活。目標分析知識分析：學生在前面學習了橢圓，雙曲線，拋物線的定義和幾何意義，以及直線對稱等問題，對理解證明拋物線的光學性質有一定基礎，繼而可以類比得到其他圓錐曲線的光學性質。能力分析：通過拋物線的光學性質的證明，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想為橋梁和紐帶指向空間想象能力的形成。素養(yǎng)分析：本節(jié)探究與發(fā)現(xiàn)指向學生數(shù)學建模，數(shù)學運算等學

2、科核心素養(yǎng)的形成，每個核心素養(yǎng)分為三個水平要求。數(shù)學建模：水平一：能夠從拋物線的光學性質的證明過程中，模仿學過的數(shù)學建模過程解決問題；水平二：能夠從實際的凹面鏡反射到拋物線的光學性質這一關聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，理解建模的意義，能夠運用數(shù)學語言，表述數(shù)學建模過程中的問題以及解決問題的過程和結果；水平三：能夠理解建立數(shù)學模型的意義和作用，能夠運用數(shù)學語言，清晰、準確地表達數(shù)學建模的過程和結果。數(shù)學運算水平一：能夠在拋物線的光學性質證明過程中，進行特殊值得計算；水平二：能夠在拋物線的光學性質證明過程中，進行全字母運算證明；水平三：能模仿拋物線的證明過程，對橢圓的光學性質，雙曲線的光學性質進

3、行嚴謹?shù)淖C明。教學重點與難點重點：建立正確的數(shù)學模型，找到解決實際問題的正確方法。難點：拋物線光學性質的證明過程。教學過程情境與問題上周周練選擇題12題，我們遇到一個拋物線的問題，在解決這個問題的過程中我們要使用到拋物線的一條光學性質。這條光學性質在現(xiàn)實生活中依然有廣泛的應用，例如手電筒發(fā)光，以及奧運會利用凹面鏡聚光點燃火炬等，讓學生觀看相關視頻。設計意圖：設置情境，提出問題.首先在考試中出現(xiàn)了利用拋物線光學性質的題目，對學生來說，這是一個迫切需要解決的問題。其次，通過手電筒發(fā)光，凹面鏡聚光等實際問題中都應用到了拋物線的光學性質，說明拋物線的光學性質在實際生活中應用廣泛，讓學生感受到數(shù)學來源于

4、生活。知識與技能我們能否用數(shù)學的方法證明凹面鏡的聚光原理？設計意圖：抽象出數(shù)學模型如圖1，截取凹面鏡的軸截面，將立體問題平面化。凹面鏡可以看做是拋物線繞著對稱軸旋轉得來。如果能證明平行于對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射會經(jīng)過焦點，則可以說明凹面鏡的聚光原理了。通過轉化與化歸的數(shù)學思想培養(yǎng)學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。圖1嘗試解決數(shù)學模型模仿前面解析幾何的處理方法，借助代數(shù)運算解決幾何問題。引導學生建立直角坐標系，寫出拋物線的方程，再將光線表示成直線，進行證明，如圖2。讓學生體會數(shù)形結合的數(shù)學思想圖2思維與表達請通過運算進行嚴謹?shù)淖C明，并邀請同學進行展示。設計意圖：數(shù)學模型已經(jīng)建立起來，現(xiàn)在需要學生用嚴謹?shù)倪\

5、算來進行證明。計算過程中涉及拋物線求切線、直線關于直線對稱等問題，運算過程較為復雜，可以鍛煉學生的運算能力，培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。針對學生的不同情況，可以先利用從特殊到一般的數(shù)學思想，先計算特殊拋物線，特殊直線的情況，再過渡到一般拋物線，一般直線。能力較強的學生可以直接證明。應用與拓展我們已經(jīng)證明了拋物線的光學性質，可以解釋凹面鏡的聚光原理了，同時，我們也可以利用這一性質解決課前提出的問題。設計意圖：證明性質后，要讓學生感受到性質的作用，及時的訓練也能加強記憶。讓學生體會數(shù)學從生活中來，到生活中去，又應用于數(shù)學的理念，解決學數(shù)學沒用的困惑。我們研究完拋物線的光學性質后，能否拓展到其他的圓

6、錐曲線，例如橢圓。讓同學們先猜想，再模仿拋物線光學性質的證明過程，也建立模型進行證明。設計意圖：類比拋物線的證明過程，去建立模型證明橢圓的光學性質，進一步讓學生體會數(shù)學建模，培養(yǎng)數(shù)學數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。橢圓的證明過程比拋物線更困難，進一步培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。交流與反思例：已知分別是橢圓的左、右焦點，點的坐標為，則的角平分線所在直線的斜率為 請同學們思考并討論這個題的解法。設計意圖：這個題是一題多解，解法一：利用角平分兩側的點對稱的性質，找到兩邊對稱的點，利用中點在角平分線上，求出角平分的斜率。解法二：根據(jù)橢圓的光學性質，與可以看做橢圓中的入射光學和反射光學，角平分線正好是他們的法線，所以只要求出點處的切線，利用切線與法線垂直，直接找到角平分線的斜率。反思：橢圓的光學性質告訴我們，橢圓上一點出發(fā)鏈接橢圓兩焦點，正好符合橢圓的光學性質，則的角平分線就是法線。這可以成為橢圓中求角平分線的通法。體現(xiàn)出橢圓的光學性質的重要作用。小結知識了解并證明了拋物線，橢圓的光學性質。了解他們在現(xiàn)實生活中的應用和在數(shù)學解