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高等數(shù)學(xué)概率隨機(jī)變量函數(shù)的分布第1頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四一、問題的提出
在實(shí)際中,人們常常對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.例如,已知圓軸截面直徑
d
的分布,求截面面積A=的分布第2頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四又如:已知t=t0
時刻噪聲電壓
V的分布,
求功率
W=V2/R
(R為電阻)的分布等.定義(課本50頁定義2.10):設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值x的集合上的函數(shù)。如果對于的每一可能取值x,有另一個隨機(jī)變量的相應(yīng)取值y=f(x)則稱為的函數(shù),記作。第3頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四
這個問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的.
由定義可知,隨機(jī)變量的函數(shù)也是一個隨機(jī)變量,而且后者的分布由前者的分布完全確定。那么如何從的分布求出它的函數(shù)的分布呢?第4頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
解:
當(dāng)
取值-1,0,1,2
時,
取對應(yīng)值-2,-1,0,1。而且取某值與取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件,兩者具有相同的概率.
例1、設(shè)r.v.
的分布列如下,求和的分布列。第5頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四故的分布列為同理,當(dāng)
以概率取值-1,0,1,2
時,
以相同概率取對應(yīng)值4,1,0,1。注意:相當(dāng)于或者即
第6頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四故的分布列為第7頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四如果有一些f(xk)是相同的,把它們作適當(dāng)?shù)牟㈨?xiàng)即可,并項(xiàng)后的概率為它們的相應(yīng)概率之和.一般,若是離散型
r.v,其分布列為則也是離散型r.v,其分布列為第8頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四例2、設(shè)r.v.
的分布列如下,求和的分布列。第9頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四例3、一個儀器由兩個主要部件組成,其總長度為此二部件長度之和。這兩個部件的長度、為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布列如下。求此儀器長度的分布列。解:設(shè)儀器的總長度為
,則第10頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四而的所有可能取值為15,16,17,18。同理可求得,
,獨(dú)立第11頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四故的分布列為第12頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四例4、將兩封信隨機(jī)地往編號為1,2,3,4的郵筒內(nèi)投,表示第個郵筒內(nèi)信的數(shù)目。求的分布。解:的所有可能取值為0,1,2。第13頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四故的分布列為第14頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
例5、設(shè)r.v.
的概率密度為,求的概率密度。解:分布函數(shù)法(1)求的分布函數(shù)關(guān)鍵一步第15頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四(2)兩端對y
求導(dǎo)第16頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四例6、設(shè)r.v.
的概率密度為,求的概率密度。解:分布函數(shù)法(1)求的分布函數(shù)注意:因y為任意實(shí)數(shù),而,所以當(dāng)時,。第17頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四(2)兩端對y
求導(dǎo)第18頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四在這幾個例子中,我們使用了一種求連續(xù)型r.v的函數(shù)的分布的常用方法:分法布函數(shù)步驟一:求的分布函數(shù)。步驟二:兩端對y求導(dǎo)得。用的分布函數(shù)來表示第19頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四例7、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為
求的概率密度。第20頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)29分,星期四例8、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為
求的概率密度。第21頁,共23頁,2022年,5月20日,21點(diǎn)2
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