第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8＜0”是命題．(

)(2)四種形式

題中，真命題的個(gè)數(shù)為

0

或

2

或

4.(

)(3)命題“三角形的內(nèi)角和是

180°”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是

180°”．(

)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(

)(5)給定兩個(gè)命題

p，q.若

p是

q

的充分不必要條件，則￢p

是￢q

的必要不充分條件．(

)夯基釋疑解析

(1)命題的逆否命題是條件和結(jié)論對(duì)調(diào)且都否定，注意“且”應(yīng)換成“或”．【例1】(1)(2016·銀川一中模擬)命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且

b＝0”的逆否命題是(

)若a2＋b2≠0，則a≠0

且b≠0若a2＋b2≠0，則a≠0

或b≠0若a＝0

且b＝0，則a2＋b2≠0若a≠0

或b≠0，則a2＋b2≠02n

n(2)原命題為“若an＋an＋1

a

，n∈N*，則{a

}為遞減數(shù)列”，關(guān)于＜其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(

)A．真，真，真C．真，真，假B．假，假，真

D．假，假，假考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系考點(diǎn)突破解析

(2)從原命題的真假入手，【例1】(2)原命題為“若na

＋a＋n

12*n

n＜a

，n∈N

，則{a

}為遞減數(shù)列”關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(

)

A．真，真，真C．真，真，假B．假，假，真

D．假，假，假考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系考點(diǎn)突破由于an＋an＋12＜an?an＋1＜an?{an}為遞減數(shù)列，即原命題和逆命題均為真命題，又原命題與其逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，則其逆命題、否命題和逆否命題均為真命題．答案

(1)D

(2)A簡(jiǎn)答規(guī)律方法熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真關(guān)鍵；根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假；判斷一個(gè)命題為假命題可舉反例．考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系解析

(1)將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題，故原命題的逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”．簡(jiǎn)答【訓(xùn)練1】(1)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(

)A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”

C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”(2)見下一頁(yè)考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系【訓(xùn)練

1】(2)已知：命題“若函數(shù)

f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則

m≤1”，則下列結(jié)論正確的是(

)否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題解析

(2)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系【訓(xùn)練

1】(2)已知：命題“若函數(shù)

f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則

m≤1”，則下列結(jié)論正確的是(

)否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx

在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題．答案

(1)B

(2)D考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系【例2】(1)(2015·中山二模)已知條件p：|x＋1|＞2，條件

q：5x－6＞x2，則￢p

是￢q

的(

)A．充分不必要條件

C．充分必要條件B．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)二 充分必要條件的判定考點(diǎn)突破解析(1)∵p：|x＋1|＞2，∴x＞1或x＜－3，q：5x－6＞x2，∴2＜x＜3，∴q?p，p

?q等價(jià)于￢p?￢q，且￢q

?￢p，∴￢p是￢q的充分不必要條件．故選A.【例

2】(2)(2016·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知

p：函數(shù)

f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，q：函數(shù)

g(x)＝loga(x＋1)(a＞0且

a≠1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，則￢p

是

q

的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件解析

(2)p成立?a≤1，所以￢p成立?a＞1，又q成立?a＞1，則￢p是q的充要條件．故選C.答案

(1)A

(2)C考點(diǎn)二 充分必要條件的判定考點(diǎn)突破規(guī)律方法充分條件和必要條件的判斷，可按照以下三個(gè)步驟進(jìn)行：①確定條件p是什么，結(jié)論q是什么；②嘗試由條件p推結(jié)論q，由結(jié)論q推條件p；③確定條件p和結(jié)論q的關(guān)系．對(duì)于含否定形式的問題，如￢p是￢q的什么條件，可轉(zhuǎn)化為求q是p的什么條件．考點(diǎn)突破考點(diǎn)二 充分必要條件的判定解析

(1)由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因?yàn)閧x|1＜x＜2}

{x|x＜2}，所以“x＜2”是“x2－3x＋2＜0”成立的必要不充分條件，故選A.【訓(xùn)練

2】(1)(2016·東北三省四市聯(lián)考)“x＜2”是“x2－3x＋2＜0”成立的(

)A．必要不充分條件C．充分必要條件B．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)突破說明：x20

1考點(diǎn)二 充分必要條件的判定解析

(2)令f(t)＝sint－t，則f′(t)＝cos

t－1≤0恒成立，所以f(t)＝sint－t在[0，π]上是減函數(shù)，f(t)≤f(0)＝0，所以sin

t＜t(0＜t＜π)，0π【訓(xùn)練

2】(2)(2015·福建卷)“對(duì)任意

x∈

，2，ksin

xcos

x＜x”是“k＜1”的(

)A．充分不必要條件

C．充分必要條件B．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)突破考點(diǎn)二 充分必要條件的判定令t＝2x，則sin

2x＜2x0＜x

＜2π，所以2sin

xcosx＜2x，所以sin

xcos

x＜x.當(dāng)k＜1時(shí)，ksin

xcos

x＜x，故必要性成立；0π【訓(xùn)練

2】(2)(2015·福建卷)“對(duì)任意

x∈

，2，ksin

xcos

x＜x”是“k＜1”的(

)A．充分不必要條件

C．充分必要條件B．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)突破考點(diǎn)二 充分必要條件的判定π當(dāng)x＝3時(shí)，ksin

2x＜2x

可化為k＜π2×32πsin

3不等式成立，但此時(shí)k＞1，故充分性不成立．答案

(1)A

(2)B＝4

3π9而94

3π

44＞3，取k＝3，xy112–1Oy＝2x(x≤0)–3

–2

–1解析

(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過點(diǎn)(1，0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒有零點(diǎn)?函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無(wú)公共點(diǎn)．由數(shù)形結(jié)合，可得a≤0或a>1.觀察選項(xiàng)，根據(jù)集合間關(guān)系{a|a<0}?{a|a≤0或a>1}，選A.【例

3】

(1)(2016·洛陽(yáng)模擬)函數(shù)

f(x)＝log2x，x>0，x－2

＋a，x≤0有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是(

)1

1A．a(chǎn)<0

B．0<a<2

C.2<a<1 D．a(chǎn)≤0或a>1考點(diǎn)突破

考點(diǎn)三

根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍y＝a又B＝(2，3]，當(dāng)a＞0時(shí)，A＝(a，3a)；當(dāng)a＜0時(shí)，A＝(3a，a)，中a≠0，q：實(shí)數(shù)

x

滿足【例3】(2)(2015·青島調(diào)研)設(shè)p：實(shí)數(shù)

x

滿足x2－4ax＋3a2＜0，其x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0，若p

是q

的必要不充分條件則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

．解析

(2)∵p是q的必要不充分條件，即q?p但p

?

q，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則B?A，當(dāng)a＜0時(shí)，顯然A∩B＝?，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2]．答案

(1)A

(2)(1，2]∴當(dāng)a＞0

時(shí)，有a≤2，3＜3a，考點(diǎn)突破

考點(diǎn)三

根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍說明：x1解得1＜a≤2；2BAa33ax1

2

30BA3a–2

–1a規(guī)律方法充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時(shí)需注意：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．考點(diǎn)突破考點(diǎn)三根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍考點(diǎn)突破

考點(diǎn)三

根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍【訓(xùn)練3】已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且￢q的一個(gè)充分不必要條件是￢p，則a的取值范圍是(

)A．[1，＋∞)

B．(－∞，1]

C．[－1，＋∞)

D．(－∞，－3]解析

由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由￢q的一個(gè)充分不必要條件是￢p，可知￢p是￢q的充分不必要條件，

等價(jià)于q是p的充分不必要條件．故a≥1.答案

A思想方法1．寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來(lái)寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來(lái)判定．課堂小結(jié)思想方法2．充分條件、必要條件的幾種判斷方法定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．等價(jià)法：即利用A?B與￢B?￢A；B?A與￢A?￢B；A?B與￢B?￢A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A?B，則p是q的充分不必要條件，若A＝B，則p是q的充要條件．三種不同的方法各適用于不同的類型，定義法適用于定義、定理判斷性問題，而集合法多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題，等價(jià)轉(zhuǎn)化法適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)判斷．課堂小結(jié)易錯(cuò)防范當(dāng)一個(gè)命題有

而要寫出其他三種命題時(shí)，必須保留

．判斷命題的真假及寫四種命題時(shí)，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p，則q”的形式．

3．判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個(gè)充分而不必要條件是q”的語(yǔ)言.課堂小結(jié)（見）考點(diǎn)突破備選題

ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是(

)A．0＜a≤1

B．a(chǎn)＜1

C．a(chǎn)≤1

D．0＜a≤1或a＜0(2)法一

當(dāng)a＝0時(shí)，原方程為一元一次方程2x＋1＝0，2

1設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－a，x1x2＝a