初中數(shù)學(xué)難題

經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．（初二）CEGABDOF2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．AD求證：△PBC是正三角形．（初二）PBC第1頁共22頁3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、ADCC1、DD1的中點(diǎn)．A2D2A1求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）D1B1C1B2C2BC4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BCF的延伸線交MN于E、F．E求證：∠DEN＝∠F．NCDABM經(jīng)典難題（二）第2頁共22頁1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．A1）求證：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）O·HEBMDC2、設(shè)MN是圓O外向來線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、CGE及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）O·CBDMPAQN第3頁共22頁3、假如上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MNEC于P、Q．MAQ·NP求證：AP＝AQ．（初二）·BOD4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，D點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．G求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）ECPFAQB經(jīng)典難題（三）第4頁共22頁1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD訂交于F．求證：CE＝CF．（初二）ADFEBC2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延伸線于F．求證：AE＝AF．（初二）ADFBCE3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF均分∠DCE．第5頁共22頁求證：PA＝PF．（初二）ADFBPCE4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO訂交于AB、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）BODPEFC經(jīng)典難題（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．第6頁共22頁求：∠APB的度數(shù)．（初二）APBC2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）ADPBC3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）ADBC第7頁共22頁4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF訂交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）ADFPBEC經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．AP第8頁共22頁BC2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．APB3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，而且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長(zhǎng)．APB

DCDC第9頁共22頁4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝300，A∠EBA＝200，求∠BED的度數(shù)．EDBC經(jīng)典難題（一）1.以下列圖做GH⊥AB,連結(jié)EO。因?yàn)镚OFE四點(diǎn)共圓，因此∠GFH＝∠OEG,EOGOCO得證。即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，因此CD=GFGFGHCD以下列圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，進(jìn)而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150因此∠DCP=300，進(jìn)而得出△PBC是正三角形第10頁共22頁3.以下列圖連結(jié)BC1和AB1分別找此中點(diǎn)F,E.連結(jié)C2F與A2E并延伸訂交于Q點(diǎn)，連結(jié)EB2并延伸交C2Q于H點(diǎn)，連結(jié)FB2并延伸交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=12A1B1=12B1C1=FB2，EB2=12AB=12BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,因此∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，因此A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,進(jìn)而可得∠A2B2C2=900，同理可得其余邊垂直且相等，進(jìn)而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。第11頁共22頁4.以下列圖連結(jié)AC并取此中點(diǎn)Q，連結(jié)QN和QM，因此可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，進(jìn)而得出∠DEN＝∠F。經(jīng)典難題（二）1.(1)延伸AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,進(jìn)而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM第12頁共22頁連結(jié)OB，OC,既得∠BOC=1200，進(jìn)而可得∠BOM=600,因此可得OB=2OM=AH=AO,得證。3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連結(jié)OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。ADACCD2FDFD因?yàn)?===，ABAEBE2BGBG由此可得△ADF≌△ABG，進(jìn)而可得∠AFC=∠AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，進(jìn)而可得AP=AQ。第13頁共22頁4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=EG+FH。2由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。AI+BIAB進(jìn)而可得PQ==，進(jìn)而得證。22經(jīng)典難題（三）1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連結(jié)CG.因?yàn)椤螦BG=∠ADE=900+450=1350第14頁共22頁進(jìn)而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形?！螦GB=300，既得∠EAC=300，進(jìn)而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。2.連結(jié)BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，因此∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，進(jìn)而可知道∠F=150，進(jìn)而得出AE=AF。第15頁共22頁3.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，能夠得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。XZtan∠BAP=tan∠EPF==

，可得YZ=XY-X2+XZ，Y-X+Z即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，獲得PA＝PF，得證。經(jīng)典難題（四）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP600，連結(jié)PQ，則△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。因此∠APB=1500。第16頁共22頁2.作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使AE∥DC，BE∥PC.能夠得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得證。3.在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：BE=AD，即AD?BC=BE?AC，①BCAC又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得ABDE②=，即AB?CD=DE?AC，ACDC由①+②可得:AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得證。第17頁共22頁4.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由SVADE=SYABCD=SVDFC，可得：2AEgPQ=AEgPQ，由AE=FC。22可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角均分線逆定理）。經(jīng)典難題（五）1.（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC600，可得△PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只需AP，PE，EF在一條直線上，即以下列圖：可得最小L=；第18頁共22頁（2）過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。因?yàn)椤螦PD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP①又BP+DP>BP②和PF+FC>PC③又DF=AF④由①②③④可得：最大L<2；由（1）和（2）既得：≤L＜2。2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC600，可得△PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只需AP，PE，EF在一條直線上，第19頁共22頁即以下列圖：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF=1+(3+1)2=2+3=4+23422=(3+1)223+1)2=(2=6+2。2第20頁共22頁3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP900，可得以下列圖：既得正方形邊長(zhǎng)L=(2+2)2+(2)2ga=5+22ga。224.在AB上找一點(diǎn)F，使∠BCF=600