理解從工具性走向關(guān)系性

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命題設(shè)計(jì)不僅要考核學(xué)生是否能得到正確的結(jié)果，更要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解及前后知識(shí)點(diǎn)的貫穿，考察點(diǎn)應(yīng)落在學(xué)生的思維品質(zhì)上。由學(xué)生的解題過程，可以透視學(xué)生的思維水平，分析學(xué)生的思維能力。好的命題可以促進(jìn)教師反思課堂教學(xué)，在教學(xué)中關(guān)注知識(shí)來源、關(guān)注學(xué)習(xí)過程、關(guān)注能力發(fā)展，推動(dòng)教學(xué)走向更深層次。

命題;過程;思維;評(píng)價(jià)

在一次學(xué)校自己組織的測(cè)評(píng)中有一道題引發(fā)了教師們的探討熱心：批卷老師探討如何評(píng)判學(xué)生的對(duì)錯(cuò)，任課老師探討評(píng)價(jià)的意圖與導(dǎo)向，教學(xué)中心則思考如何改進(jìn)評(píng)價(jià)的形式與質(zhì)量。此題之所以引起大家的探討，是由于形形色色的答案彰顯出學(xué)生的不同理解，而教師對(duì)不同答案的解讀，折射出的是各自不同的教學(xué)觀。這道試題的浮現(xiàn)，引起了教師對(duì)考什么、怎么考的思辨。

一、案例介紹

試題內(nèi)容如下：聰聰在學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)乘法和倒數(shù)〞后，對(duì)“分?jǐn)?shù)除法怎樣計(jì)算〞感到很好奇，于是他翻閱了數(shù)學(xué)書，發(fā)現(xiàn)書上是這樣說的：“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。例如2÷[23]=2×[32]。〞聰聰雖然看懂了計(jì)算方法，但他在思考：“為什么除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)呢？〞請(qǐng)用你喜歡的方法說明2÷[23]=2×[32]的道理。

從測(cè)試中可以發(fā)現(xiàn)，好多學(xué)生不知道該如何闡述算理，“說明道理〞僅停留在“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)〞的算法上，或者“被逼著〞用以往的“平均分〞知識(shí)來解釋（如圖1）。

這是兩種對(duì)比典型但還不是最低水平的回復(fù)，測(cè)試中還有近10%的學(xué)生就是把算式抄一遍或干脆空著。

當(dāng)然，也有學(xué)生能夠從本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)除法的道理，并將自己的解題過程用“線段圖+推理描述〞的形式呈現(xiàn)出來，其思維過程清楚可見（如圖2）。

二、命題解讀

分?jǐn)?shù)除法建立在分?jǐn)?shù)乘法的基礎(chǔ)上，是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算中的最終一項(xiàng)內(nèi)容。這一內(nèi)容與好多知識(shí)有直接的聯(lián)系，如分?jǐn)?shù)乘法的意義、算法及其應(yīng)用，倒數(shù)、整數(shù)除法的意義、解方程等等。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，一方面會(huì)加深學(xué)生對(duì)乘除法關(guān)系的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)比和比例、百分?jǐn)?shù)打下基礎(chǔ)。該題的考察點(diǎn)在于：學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系是否打通，對(duì)算理是否真正理解，能否用所學(xué)知識(shí)來解決問題這三個(gè)方面。

分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法并不難，大多數(shù)學(xué)生在教師未教學(xué)前就已經(jīng)可以計(jì)算，所以好多教師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)往往一帶而過，沒有深入地引導(dǎo)學(xué)生思考探討“為什么這樣做〞。這種粗放型的教學(xué)方式，表面上“贏得了〞時(shí)間，讓學(xué)生有充裕的時(shí)間穩(wěn)定練習(xí)，但這種教學(xué)會(huì)造成學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)停留在“工具性〞理解上，無法達(dá)到“關(guān)系性〞理解的水平。本命題的落腳點(diǎn)就是考察學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的理解，是記住其“形〞，還是理解其“理〞，學(xué)生的思維到底達(dá)到了什么程度。

三、命題導(dǎo)向

一線教師往往有一種“你怎么考，我怎么教〞的心理，所以要從源頭上改進(jìn)教師的教學(xué)，需要以命題評(píng)價(jià)為導(dǎo)向，引領(lǐng)課堂教學(xué)。本測(cè)試內(nèi)容開放，答題的方式多元，可以見證學(xué)生對(duì)題目的多維理解。這與以往追求結(jié)果的命題方式不同，這樣的命題關(guān)注的是知識(shí)形成的過程，呈現(xiàn)的是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。命題者希望通過這道題目的測(cè)試提醒教師，命題檢測(cè)的核心意義在于透過學(xué)生的解題過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題策略、思考方式和思維品質(zhì)，從而促進(jìn)教師更好地反思教學(xué)、推動(dòng)教學(xué)。

四、教學(xué)思考

透過評(píng)價(jià)再重新審視“分?jǐn)?shù)除法〞這一內(nèi)容的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生從“工具性理解〞走向“關(guān)系性理解〞？是否可以從對(duì)這節(jié)課教學(xué)的反思延伸開去，思考一類課的教學(xué)？圍繞這些問題，浮現(xiàn)以下思考。

（一）反思交流，重構(gòu)教學(xué)過程

測(cè)試后，通過反思測(cè)試中出現(xiàn)的問題，結(jié)合與同伴交流的結(jié)果，重新設(shè)計(jì)了“分?jǐn)?shù)除法〞這節(jié)課的教學(xué)過程。

1.問題引入，獨(dú)立解決

教學(xué)開始，教師拋出問題：[45]÷2這樣的式子你會(huì)算嗎？想方法說明你的算法。教師要注意：?jiǎn)栴}浮現(xiàn)后，應(yīng)給予學(xué)生充分的探究時(shí)間，讓他們可以“用自己的方法說明道理〞。設(shè)計(jì)這個(gè)過程的目的在于喚醒學(xué)生舊知，激發(fā)學(xué)生調(diào)動(dòng)解決此問題所需要的一系列知識(shí)儲(chǔ)存。學(xué)生會(huì)自主溝通知識(shí)，通過想一想、畫一畫、算一算等方式理解算理。學(xué)生可能調(diào)用前面學(xué)過的知識(shí)，借助除法意義，用平均分的方法解釋，也可能采用具體操作，譬如折紙的方式解釋，等等。

2.交流反饋，建立連接

在反饋中，引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)：你能看懂這兩位同學(xué)的方法（如圖3、圖4）嗎？

生：把[45]平均分成2份與分?jǐn)?shù)乘法中求[45]的[12]含義上是一樣的。

生：[45]÷2可以轉(zhuǎn)化成[45]×[12]來計(jì)算。

3.溝通方法，拓展研究

師：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)可以轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來算，那假如除數(shù)不是整數(shù)，該怎樣算呢？

浮現(xiàn)問題：小明[23]小時(shí)走了2千米，小紅[56]小時(shí)走了[512]千米。誰走得快些？

生：用2÷[23]，[512]÷[56]算出兩個(gè)人的速度，同樣時(shí)間里，誰走的路程多誰就快。

生：也可以算走1千米需要多少時(shí)間，時(shí)間少的快。

師：這樣的算式你會(huì)算嗎？這樣算的道理是什么？我們先來研究2÷[23]。（師展示學(xué)生作品，如圖5）

師：你看懂了上面的哪些方法？

生：第①幅圖中的方法是對(duì)的，但是為什么這樣算沒有說明白。

生：我覺得第⑤幅圖表示得很明白，[23]小時(shí)走2千米，[13]小時(shí)就走1千米，1小時(shí)有3個(gè)[13]，所以每小時(shí)走3千米。

……

以上教學(xué)過程，學(xué)生不再僅僅把“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)〞作為解決這類問題的工具使用，而是充分經(jīng)歷了知識(shí)的形成過程，深入地理解了除以一個(gè)分?jǐn)?shù)與乘以它的倒數(shù)之間的關(guān)系。

事實(shí)證明，學(xué)生有分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，教師只要大膽放手，舍得花時(shí)間，就能讓學(xué)生的理解從“工具性〞走向“關(guān)系性〞。

（二）以點(diǎn)帶面，思考同類教學(xué)

1.關(guān)注知識(shí)來源，厘清知識(shí)脈絡(luò)

教學(xué)不能停留在知識(shí)的抽象層面，而要關(guān)注它的來龍去脈，從知識(shí)來源出發(fā)正確解讀教材，向數(shù)學(xué)本質(zhì)邁進(jìn)。人教版六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法〞單元里安排了三個(gè)例題：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，一個(gè)數(shù)（整數(shù)、分?jǐn)?shù)）除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除法解決問題。這是一個(gè)由易到難、循序漸進(jìn)的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生理解除法是乘法的逆運(yùn)算，分?jǐn)?shù)除法本質(zhì)上就是分?jǐn)?shù)乘法。教學(xué)時(shí)可以從等式的意義、直觀圖、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，再逐步溝通理解，引導(dǎo)學(xué)生建立模型。

在這一系列內(nèi)容中，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，學(xué)生相比較較簡(jiǎn)單理解。他們可以通過直觀操作，用折紙和畫圖數(shù)形結(jié)合的方法，分析、計(jì)算得出結(jié)果。而一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理就對(duì)比難理解，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖，將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，在數(shù)形結(jié)合中理解算理、發(fā)現(xiàn)算法。同時(shí)，“除以整數(shù)〞和“除以分?jǐn)?shù)〞這兩類題都可以放入“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)〞的關(guān)系中進(jìn)行理解，前者是已知幾份求每份數(shù)，后者是已知1份數(shù)的幾分之幾求每份數(shù)。在教學(xué)中，教師要關(guān)注知識(shí)的來源，引導(dǎo)學(xué)生厘清知識(shí)脈絡(luò)，使學(xué)生深入理解所學(xué)知識(shí)，逐步建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.關(guān)注能力發(fā)展，提升思維品質(zhì)

學(xué)生解決一個(gè)問題，運(yùn)用到的數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止一種，學(xué)生需要經(jīng)歷讀取分析、推理認(rèn)證、抽象概括等過程，檢驗(yàn)的是綜合應(yīng)用各種能力的結(jié)果，如動(dòng)手操作能力、問題解決能力、思維拓展能力等。如下面這個(gè)教學(xué)過程。

教師請(qǐng)學(xué)生自己計(jì)算2÷[23]，然后交流計(jì)算方法。

生：我覺得這里（如圖6）應(yīng)當(dāng)填個(gè)小括號(hào)，這樣看起來就明白除法變成分?jǐn)?shù)了。

生：除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線！

師：把你的想法寫給大家看看?。ㄈ鐖D7）

學(xué)生在完成特性化的算法建構(gòu)后，通過生生間的相互啟發(fā)、點(diǎn)撥、鼓舞，不斷修正，產(chǎn)生共鳴，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深層理解。

綜上所述，命題評(píng)價(jià)可以有效引導(dǎo)教師優(yōu)化課堂教學(xué)