近世代數(shù)10套試題

《近世代數(shù)》試卷、間仞分鐘)二、判斷題(對打“V,錯打“X”，每小題2分，共20分)( )循環(huán)群的子群是循環(huán)子群。( )滿足左、右消去律的有單位元的半群是群。( )存在一個4階的非交換群。( )素數(shù)階的有限群G的任一子群都是6的不變子群。( )無零因子環(huán)的特征不可能是2001。( )無零因子環(huán)的同態(tài)象無零因子。( )模97的剩余類環(huán)Z97是域。( )在一個環(huán)中，若左消去律成立，則消去律成立。( )域是唯一分解整環(huán)。()整除關系是整環(huán)R的元素間的一個等價關系。一、填空題(共20分，第1、4、6小題各4分，其余每空2分)設A、B是集合，|A|=3,|B|=2,則共可定義個從A到B的映射，其中有個單射，有個滿射，有個雙射。設群6是24階群，G中元素2的階是6,則元素a2的階為，子群H=<a3>的在G中的指數(shù)是。設G=<a>是10階循環(huán)群，則G的非平凡子群的個數(shù)是。在模12的剩余環(huán)R=|[0],[1],……，[11](中,[5]+[10]=，[5]-[10]=，方程X2=[1]的所有根為。環(huán)Z6的全部零因子是。整環(huán)Z[V-3]不是唯一分解整環(huán)，因為它的元素《=在Z[V-3]中有兩種本質不同的分解a==。得分|評卷人復查人 三、解答題(共30分)設S3是3次對稱群,a=(123)eS3.寫出H=<a>的所有元素.3計算H的所有左陪集和所有右陪集.判斷h是否是s3rn不變子群，并說明理由.求模18的剩余類加群(Zi8，+,[0])的所有子群及這些子群的生成元。在整數(shù)環(huán)Z中，求由2004,125生成的理想A=(2004,125)。四、證明題(共30分)設6是一個階為偶數(shù)的有限群，證明G中階大于2的元素的個數(shù)一定為偶數(shù);G中階等于2的元素的個數(shù)一定為奇數(shù)。設巾是環(huán)(R,+,?，0,1)到環(huán)(履，+，?，0/,1/)的同態(tài)滿射。N=Keg={x|xeR且d)(x)=0/},證明：巾是同構映射當且僅當N={0}。證明：非零整環(huán)R只有有限個理想當且僅當日是域。《近世代數(shù)》試卷2(時間仞分鐘)一、填空題(共20分)設G=(a)是6階循環(huán)群，則G的子群有。設A、B是集合，|A|=2,|B|=3,則共可定義個從A到B的映射，其中有個單射，有個滿射，有個雙射。在模12的剩余環(huán)R=|[0],[1],……，[11](中,[10]+[5]=，[10]-[5]=，方程X2=[1]的所有根為。在5次對稱群S5中，(12)(145)=，(4521)一1=，(354)的階為。5整環(huán)Z中的單位有。在多項式環(huán)^[x]中，([6]x+[2])11=0二、判斷題(對打“V，錯打“X”，每小題2分，共20分)()若群G的每一個元滿足方程X2=e(其中。是6的單位元)，則6是交換群。( )一個階是13的群只有兩個子群。( )滿足左、右消去律的有單位元的半群是群。()設6是群，H1是6的不變子群，H2是叫的不變子群，則H2是6的不變子群。 1 2()主理想整環(huán)R上的一元多項式環(huán)R[x]是主理想整環(huán)。()存在特征是2003的無零因子環(huán)。( )在一個環(huán)中，若左消去律成立，則消去律成立。( )模21的剩余類環(huán)Z21是域。()整除關系是整環(huán)R的元素間的一個等價關系。()除環(huán)只有零理想和單位理想。三、解答題(共30分)設H=|(1)，(123)，(132)(是對稱群S3m子群，寫出H的所有左陪集和所有右陪集，問h是否是s3rn不變子群？為什么？設6是一交換群，n是一正整數(shù)，H是6申所有階數(shù)是n的因數(shù)的元素的集合。試問:H是否是G的子群？為什么？在整數(shù)環(huán)Z中，求由2004,19生成的理想A=(2004,19)。四、證明題(共30分)設I廣{4k|keZ},I2={3k|keZ}，試證明:(1)I1,I2都是整數(shù)環(huán)Z的理想。(2)I；3l「(12)是Z的一個主理想。設R、R都是環(huán)，f是環(huán)日到R的滿同態(tài)映射，石是R的理想，試證明：A={a|a&R且f(a)eA}是日的理想。證明，設、是環(huán)(R，+，?，0，1)的子環(huán)，N是日的理想，且S「iN={0}，則剩余類環(huán)R/N有子環(huán)與、同構。《近世代數(shù)》試卷3（時間仞分鐘）一、填空題（共20分）設G=（a）是6階循環(huán)群，則G的子群有。設A、B是集合，|A|=|B|=3,則共可定義個從A到B的映射，其中有個單射，有個滿射，有個雙射。在4次對稱群S中，（24）（231）=，（4321）一1=，4（132）的階為。整環(huán)Z中的單位有。環(huán)匕的全部零因子是。設群6是24階群，G中元素2的階是6,則元素a2的階為，子群H=<a3>的在G中的指數(shù)是。二、判斷題（對打“V，錯打“X”，每小題2分，共20分）1.(）一個階是11的群只有兩個子群。2.(）設6是群，兒是6的不變子群，1兒是H的不變子群,IH是6的不變子群。2 1 23.(）素數(shù)階群都是交換群。4.(）循環(huán)群的商群是循環(huán)群。5.(）模27的剩余類環(huán)Z.是域。6.(）存在特征是2004的無零因子環(huán)。7.(）在一個環(huán)中，若左消去律成立，則消去律成立。8.(）域是主理想整環(huán)。9.(）域只有零理想和單位理想。10.(）相伴關系是整環(huán)R的元素間的--個等價關系。三、解答題（共30分）1.設H=|（1），（12）（是對稱群S3m子群，寫出H的所有左陪集和所有右陪集，問H是否是s3rn不變子群？為什么？在整數(shù)環(huán)Z中，求由2004,17生成的理想A=(2004,17)。四、證明題(共30分)設I廣{2k|k&Z},I廣{3k|k&Z},試證明：(1)I1,I2都是整數(shù)環(huán)z的理想。(2)1；布廣(6)是Z的一個主理想。設?是群G到群H的同態(tài)滿射,H1是H的子群。證明：G1={x|xeG且e(x)GH1}是G的子群。 1 1 1設環(huán)(R,+,?，0,1)是整環(huán)。證明：多項式環(huán)R[x]能與它的一個真子環(huán)同構?！督来鷶?shù)》試卷4(時間仞分鐘)一、填空題(共20分，每空2分)設A、B是集合，|A|=2,|B|=3,則共可定義個從A到B的映射，其中有個單射，有個滿射，有個雙射。設G=(a)是6階循環(huán)群，則G的子群的個數(shù)是。在剩余類環(huán)Z18中，[8]+[12]=，[6]?[7]=。環(huán)Z』全部零因子是。在多項式環(huán)Zi7[x]中，([6]x+[7])17=。在模7的剩余類環(huán)匕中，方程乂2=1的所有根是。二、判斷題(對打“V5,錯打“X”，每小題2分，共20分)( )交換群的子群是不變子群。( )一個階是11的群只有兩個子群。( )無零田子環(huán)的特征不可能是2004。( )有單位元且滿足消去律的半群是群。5-(球21的剩余類環(huán)4是域。( )在一個環(huán)中，若右消去律成立，則左消去律成立。()若日是主理想整環(huán)，則一元多項式環(huán)R[x]是主理想整環(huán)。( )除環(huán)只有零理想和單位理想。( )歐氏環(huán)是唯一分解整環(huán)。( )無零田子環(huán)的同態(tài)象無零田子。三、解答題(第1小題15分，第2、3小題各10分，共35分)設H=|(1)，(12)(是對稱群83的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，試問H是否是83的不變子群？為什么？3.在整數(shù)環(huán)Z中，求由2005,6生成的理想(2005,6)。四、證明題(第1、2小題各10分，第3小題5分，共25分)設~是整數(shù)集Z上的模7同余關系，試證明~是Z上的等價關系，并求所有等價類。設R、R都是環(huán)，￡是環(huán)日到R的滿同態(tài)映射，石是R的理想，試證明A=|a|aeR且f(a)e區(qū)｝是日的理想。證明，非零整環(huán)R只有有限個理想當且僅當日是域。《近世代數(shù)》試卷5(時間仞分鐘)一、填空題(共20分，每空2分)在對稱群S4中，(134)(12)=，(2143)-i=o在多項式環(huán)Z11[x]中,([6]x+[2])n=o設G=(a)是6階循環(huán)群，則G的非平凡子群的個數(shù)是。在模6的剩余環(huán)匕中，方程乂2=1的所有根為。環(huán)Z10的所有零因子是。設A、B是集合，|A|=3,|B|=2,則共可定義個從A到B的映射，其中有個單射，有個滿射，有個雙射。二、判斷題(對打“V，錯打“X”，每小題2分，共20分)()循環(huán)群的子群是循環(huán)群。()若H1、H2都是群G的子群，則H*H2也是群G的子群。()交換群的子群是不變子群。1 2( )一個階是11的群只有兩個子群。( )模15的剩余類環(huán)Z15是域。( )無零因子環(huán)的同態(tài)象無零因子。( )歐氏環(huán)上的一元多項式環(huán)是歐氏環(huán)。( )在一個環(huán)中，若左消去律成立，則消去律成立。( )整除關系是整環(huán)R的元素間的一個等價關系。( )域是主理想整環(huán)。三、解答題(第1小題15分，第2、3小題各10分，共35分)設H=|(1)，(13)(是對稱群S3m子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，試問H是否是s3rn不變子群？為什么？3.在整數(shù)環(huán)Z中，求由2004,125生成的理想（2004,125）。四、證明題（第1、2小題各10分，第3小題5分，共25分）設~是整數(shù)集Z上的模6同余關系，試證明~是Z上的等價關系，并求所有等價類。設H1和H2分別是群咱，，e）的子群，并且|H1|=m，|H2|=n，m、n有限，（m，n）=1，試證：H1nH2=（e（o ' 2證明，設、是環(huán)（R，+，?，0，1）的子環(huán)，N是日的理想，且SnN={0}，則剩余類環(huán)R/N有子環(huán)與S同構?！督来鷶?shù)》試卷6一、 填空題（每空2分，共20分）1、 設有集合A和B,|A|=3,|B|=2，則共可定義—個從A到B的映射，其中有個單射,—個滿射，個雙射。2、 設G=0）是10階循環(huán)群，則G的非平凡子群的個敬為.3、 在5次對稱群S5中，（12）（135）=,（5132）的階是,（43125）-1=。4、 在模13的剩余類環(huán)九的多項式環(huán)孔［田中,（［7］x+［3］）13=。5、 在模6的剩余類環(huán)Z6中，方程x2=［1］的所有根是 .二、 判斷題（對打“寸”，錯打“x”，不說明理由，每小題2分，共20分）1、 （）模99的剩余類環(huán)Z99是域。2、 （）主理想整環(huán)R上的一元多項式環(huán)R［x］是主理想整環(huán)。3、 （）域有且僅有兩個理想。4、 （）在一個環(huán)中，若左消去律成立，則右消去律成立。5、 （）無零因子環(huán)的特征不可能是93。6、 （）無零因子環(huán)的同態(tài)象無零因子。6、（）歐氏環(huán)一定是唯一分解整環(huán)。8、 （）整除關系是整環(huán)R的元素間的一個等價關系。9、 （）循環(huán)群有且僅有一個生成元。10、 （）循環(huán)群的子群是不變子群。三、 解答題（第1題15分，第2,3題各10分，共35分）1、設H={⑴,（12）}是3次對稱群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，試問H是否是S3的不變子群？為什么？2、設a,b是群G的兩個元，ab=ba,a的階是m，b的階是n，m,n有限且(m,n)=1,H=(a),K=(b)，求HK。3、求模12的剩余類環(huán)Z修的所有理想。四、證明題(第1,2題各10分，第3題5分，共25分)1、證明：在整數(shù)環(huán)Z中由34和93生成的理想(34,93)就是Z本身。2、設H是群G的子群，對a,beG，定義a-boab一1eH，證明：~是G上的一個等價關系。3、設R,R都是環(huán)，中是環(huán)R到R的滿同態(tài)映射，0和0分別是環(huán)R和R的零元，1 2 1 2 1 2 1 2N=ker中={xIxeR,中(x)=0}，證明：中是同構映射當且僅當N={0}。1 2 1《近世代數(shù)》試卷7一、 判斷題（對打“^”，錯打“X”，不說明理由，每小題2分，共20分）1、 （）一個階是11的群只有兩個子群。2、 （）設G是群，A是G的不變子群，B是A的不變子群，則B是G的不變子群。3、 （）循環(huán)群的商群是循環(huán)群。4、 （）素數(shù)階的群都是交換群。5、 （）存在特征是2007的無零因子環(huán)。6、 （）有乘法單位元的環(huán)的同態(tài)象也有乘法單位元。7、 （）滿足左、右兩個消去律的有單位元的半群是群。8、 （）域只有零理想和單位理想。9、 （）主理想整環(huán)R上的一元多項式環(huán)R[x]是主理想整環(huán)。10、 （）在一個環(huán)中，若右消去律成立，則左消去律成立。二、 填空題（每空2分，共20分）1、 設有集合A和B,|A|=|B|=3，則共可定義—個從A到B的映射，其中有個單射,個滿射，個雙射。2、 設群G是12階群，G中元素a的階是6,則元素a2的階是 ，子群H=（a3）在G中的指?是 .3、 整敬環(huán)Z中的單位有.4、 模6的剩余類環(huán)Z6的所有零因子是 .5、 Z13是模13的剩余類環(huán)，在一元多項式環(huán)Z13[x]中,（[3]x+[6]）13=.6、 是整敬環(huán)的商域.三、 解答題（第1題15分，第2,3題各10分，共35分）1、設H={⑴,（23）}是3次對稱群S頂子群，求H的所有左陪集和右陪集，試問H是否是%的不變子群？為什么？2、 求模12的剩余類加群z口的所有子群。3、 在整數(shù)環(huán)Z中，求由182和51生成的理想A=(182,51)。四、證明題(第1,2題各10分，第3題5分，共25分)1、設Z是整數(shù)集，A={3婦keZ},B={2kIkeZ},證明：(1)A,B都是整數(shù)環(huán)Z的理想;(2)AB是z的由6生成的主理想(6)。2、設G和H是兩個群，f是群G到H的滿同態(tài)映射，B是H的子群，試證明:A={aIaeG,f(a)eB}是G的子群。3、設z是整數(shù)環(huán)，證明：多項式環(huán)Z[尤]能與它的一個真子環(huán)同構?！督来鷶?shù)》試卷8一、 填空題（每空2分，共20分）1、 4次對稱群七的階是____，在七中,（14）（312）=,（1423）-1=,元素（132）的TOC\o"1-5"\h\z階是 .2、 整數(shù)加群Z是一個循環(huán)群，它有且僅有兩個生成元是 和.3、 模6的剩余類環(huán)Z6的全部零因子是 .4、 在模12的剩余類環(huán)彳2中，[6]+[8]=,[8][6]=.5、 Z17是模17的剩余類環(huán)，在一元多項式環(huán)Z17[x]中,（[6]x+[8]）17=.二、 判斷題（對打“V”，錯打七”，不說明理由，每小題2分，共20分）1、 （）交換群的子群是不變子群。2、 （）若W是群G的子群，則H1H2也G是的子群。3、 （）任意兩個循環(huán)群同構。4、 （）模27的剩余類環(huán)Z27是域。5、 （）一個階是19的群只有兩個子群。6、 （）歐氏環(huán)上的一元多項式環(huán)是歐氏環(huán)。7、 （）在一個環(huán)中，若左消去律成立，則右消去律成立。8、 （）域是唯一分解環(huán)。9、 （）存在特征是143的無零因子環(huán)。10、 （）只有零理想和單位理想的環(huán)是域。三、 解答題（第1題15分，第2,3題各10分，共35分）1、設H={⑴,（123）,（132）}是3次對稱群七的子群，求H的所有左陪集和右陪集，試問H是否是％的不變子群？為什么？3、設G是交換群，e是G的單位元，n是正整數(shù)，H={aIaGG,an=e},問：H是否是G的子群？為什么？四、證明題（第1,2題各10分，第3題5分，共25分）1、證明：整數(shù)環(huán)Z中由34和15生成的理想（34,15）就是Z本身。2、設G和H是兩個群，eG和eH分別是G和H的單位元，f是群G到H的滿同態(tài)映射，B是H的子群，證明：A={aIaeG,f（a）eB}是G的子群。3、設S是環(huán)（R,+,?,0,1）的子環(huán)，N是R的理想且SN=｛0｝，證明：剩余類環(huán)Rn有子環(huán)與S同構?！督来鷶?shù)》試卷9一、填空題（每空2分，共20分）1、 設G=0）是15階循環(huán)群，則G的子群的個敬為.2、 整教加群Z是一個循環(huán)群，它有且僅有兩個生成元是 和.3、 4次對稱群S4的階是___，在S4中，（134）（12）=,（1324）-1=，元素（1234）的階4、 在剩余類環(huán)彳8中，[11]+[8]=,[5][6]=.5、 整敬環(huán)Z上的一元多項式環(huán)Z[x]中的理想不是一個主理想.6、 是整教環(huán)Z的一個商域.二、 判斷題（對打“V”，錯打，”，不說明理由，每小題2分，共20分）1、 （）一個階是13的群只有兩個子群。2、 （）交換群的子群是不變子群。3、 （）全體整教的集合對于普通減法構成一個群。4、 （）無零因子環(huán)的特征不可能是2007。5、 （）群G的指敬是2的子群一定是不變子群。6、 （）模15的剩余類環(huán)Z15是域。7、 （）在一個環(huán)中，若左消去律成立，則右消去律成立。8、 （）除環(huán)的中心是域。9、 （）歐氏環(huán)一定是主理想整環(huán)。10、 （）無零因子環(huán)的同態(tài)象無零因子。三、 解答題（第1題15分，第2,3題各10分，共35分）1、設H=｛（1）,（13）｝是3次對稱群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，試問H是否是S頂不變子群？為什么？3、在整數(shù)環(huán)Z中，求由2007和5生成的理想(2007,5)。四、證明題(第1,2題各10分，第3題5分，共25分)1、設~是整數(shù)環(huán)Z上的模5同余關系，試證明：~是Z上的一個等價關系并寫出這個等價關系所決定的等價類。2、設RR都是環(huán)，/題R到R的滿同態(tài)映射，B是氣的理想，試證明：A={aIaeR1,f(a)eB}是R1的理想。3、證明：非零整環(huán)R只有有限個理想當且僅當R是域。《近世代數(shù)》試卷10一、 判斷題（對打W，錯打“x”，