高考數(shù)學(xué)(理科)總復(fù)習(xí) 112 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差課件

考點(diǎn)一

離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一

個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布

列,簡稱為X的分布列.Xx1x2…x1…xnPp1p2…p1…pn考點(diǎn)一

離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)Xx1x12.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì):(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1…+pj(i<j且i,j∈N*).【溫馨提示】分布列的性質(zhì)(2)的作用:可以用來檢查所寫出的分布列

是否有誤,還可以求分布列中的某些參數(shù).3.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)X01P1-pp2則稱X服從兩點(diǎn)分布.(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}

發(fā)生的概率為P(X=k)=

(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,稱分布列X01…mP

…

為超幾何分布列.則稱X服從兩點(diǎn)分布.X01…mP??…?為超幾何分布3例1

(2018廣東深圳南山入學(xué)摸底考試,5)一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤,

在不透明口袋中裝入除顏色外無差別的2個(gè)白球和3個(gè)紅球.游客向攤主

付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則如下:游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球,若摸

出的小球同色,則游客獲得3元獎(jiǎng)勵(lì);若異色,則游客獲得1元獎(jiǎng)勵(lì).則攤主

從每次游戲中獲得的利潤X(單位:元)的期望是

()A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5考向一

求離散型隨機(jī)變量的分布列考向突破例1

(2018廣東深圳南山入學(xué)摸底考試,5)一個(gè)攤主4X-11P

解析游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為

=

,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤的分布列為因此EX=-1×

+1×

=0.2.答案

AX-11P??解析游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為?=?,所5例2某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名

同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七

個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)

(每名同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.考向二

超幾何分布列的求解例2某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同6解析(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P

(A)=

=

.所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為

.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=

(k=0,1,2,3).∴P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

.P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.隨機(jī)變量X的分布列為X0123P

解析(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A7考向基礎(chǔ)1.均值與方差的定義若離散型隨機(jī)變量X的分布列為考點(diǎn)二

離散型隨機(jī)變量的均值與方差XX1x2…xi…xnPP1p2…pi…pn(1)均值稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映

了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差稱DX=

(xi-EX)2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度,其算術(shù)平方根

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.考向基礎(chǔ)考點(diǎn)二

離散型隨機(jī)變量的均值與方差XX1x2…82.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=①

aE(X)+b

.(2)D(aX+b)=②

a2D(X)

.(a,b為實(shí)數(shù))3.兩點(diǎn)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布,則EX=p,DX=p(1-p).2.均值與方差的性質(zhì)9例離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,則Dξ的值為

.ξ012P0.2ab考向

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差考向突破解析∵Eξ=1,∴結(jié)合離散型隨機(jī)變量ξ的分布列,得

解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.答案0.4例離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,則Dξ的值為10方法1

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的求法1.求離散型隨機(jī)變量的分布列,應(yīng)按下述三個(gè)步驟進(jìn)行

方法技巧方法1

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的求法方法技11說明:求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概

率,在求解時(shí),要注意計(jì)數(shù)原理、排列組合及常見概率模型.2.期望與方差的一般計(jì)算步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取值;(2)求X取各個(gè)值的概率,寫出分布列;(3)根據(jù)分布列,正確運(yùn)用期望與方差的定義或公式進(jìn)行計(jì)算.說明:求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的12例1

(2018河南安陽一模,19)某公司為了準(zhǔn)確把握市場,做好產(chǎn)品計(jì)劃,

特對(duì)某產(chǎn)品做了市場調(diào)查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x

分布在[50,100)內(nèi),且銷售量x的分布頻率f(x)=

(1)求a的值并估計(jì)銷售量的平均數(shù);(2)若銷售量大于或等于70,則稱該日暢銷,其余為滯銷.在暢銷日中用分

層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天,再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì),設(shè)這3

天來自X個(gè)組,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望(將頻率視為概率).例1

(2018河南安陽一模,19)某公司為了準(zhǔn)確把握13解題導(dǎo)引

解題導(dǎo)引

14解析(1)由題意知

解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9,結(jié)合f(x)=

得

+

+

+

+

=1,則a=0.15.可知銷售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率分別

是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,∴銷售量的平均數(shù)為55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.(2)銷售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率之比為2∶3∶3,所以解析(1)由題意知?解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,15在各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3.X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,P(X=2)=1-

-

=

.X的分布列為X123P

數(shù)學(xué)期望EX=1×

+2×

+3×

=

.在各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3.X123P???數(shù)學(xué)期16方法2

利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)當(dāng)我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí),則先求隨機(jī)變量ξ1,ξ2的期望,

當(dāng)E(ξ1)=E(ξ2)時(shí),不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩

個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度,偏離程度小的更好.(2)當(dāng)我們希望比較穩(wěn)定時(shí),應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.(3)當(dāng)對(duì)平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時(shí),一般先計(jì)算期望,若相等,

則由方差來確定哪一個(gè)更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的

方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大,應(yīng)

根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論,即是選擇較理想的平均水平還是選擇較

穩(wěn)定.方法2

利用期望與方差進(jìn)行決策的方法17例2

(2016課標(biāo)Ⅰ,19,12分)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三

年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零

件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)5

00元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整

理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:

例2

(2016課標(biāo)Ⅰ,19,12分)某公司計(jì)劃購買218以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件

數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購

買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中

選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?解題導(dǎo)引

(1)

(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損19解析(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換

的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.

(4分)所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(6分)解析(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需20(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.

(8分)(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)n=19時(shí),EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.

(10分)當(dāng)n=20時(shí),EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)

選n=19.

(12分)(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=021endend謝謝謝謝考點(diǎn)一

離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一

個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布

列,簡稱為X的分布列.Xx1x2…x1…xnPp1p2…p1…pn考點(diǎn)一

離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)Xx1x242.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì):(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1…+pj(i<j且i,j∈N*).【溫馨提示】分布列的性質(zhì)(2)的作用:可以用來檢查所寫出的分布列

是否有誤,還可以求分布列中的某些參數(shù).3.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)X01P1-pp25則稱X服從兩點(diǎn)分布.(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}

發(fā)生的概率為P(X=k)=

(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,稱分布列X01…mP

…

為超幾何分布列.則稱X服從兩點(diǎn)分布.X01…mP??…?為超幾何分布26例1

(2018廣東深圳南山入學(xué)摸底考試,5)一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤,

在不透明口袋中裝入除顏色外無差別的2個(gè)白球和3個(gè)紅球.游客向攤主

付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則如下:游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球,若摸

出的小球同色,則游客獲得3元獎(jiǎng)勵(lì);若異色,則游客獲得1元獎(jiǎng)勵(lì).則攤主

從每次游戲中獲得的利潤X(單位:元)的期望是

()A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5考向一

求離散型隨機(jī)變量的分布列考向突破例1

(2018廣東深圳南山入學(xué)摸底考試,5)一個(gè)攤主27X-11P

解析游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為

=

,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤的分布列為因此EX=-1×

+1×

=0.2.答案

AX-11P??解析游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為?=?,所28例2某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名

同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七

個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)

(每名同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.考向二

超幾何分布列的求解例2某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同29解析(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P

(A)=

=

.所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為

.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=

(k=0,1,2,3).∴P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

.P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.隨機(jī)變量X的分布列為X0123P

解析(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A30考向基礎(chǔ)1.均值與方差的定義若離散型隨機(jī)變量X的分布列為考點(diǎn)二

離散型隨機(jī)變量的均值與方差XX1x2…xi…xnPP1p2…pi…pn(1)均值稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映

了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差稱DX=

(xi-EX)2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度,其算術(shù)平方根

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.考向基礎(chǔ)考點(diǎn)二

離散型隨機(jī)變量的均值與方差XX1x2…312.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=①

aE(X)+b

.(2)D(aX+b)=②

a2D(X)

.(a,b為實(shí)數(shù))3.兩點(diǎn)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布,則EX=p,DX=p(1-p).2.均值與方差的性質(zhì)32例離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,則Dξ的值為

.ξ012P0.2ab考向

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差考向突破解析∵Eξ=1,∴結(jié)合離散型隨機(jī)變量ξ的分布列,得

解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.答案0.4例離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,則Dξ的值為33方法1

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的求法1.求離散型隨機(jī)變量的分布列,應(yīng)按下述三個(gè)步驟進(jìn)行

方法技巧方法1

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的求法方法技34說明:求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概

率,在求解時(shí),要注意計(jì)數(shù)原理、排列組合及常見概率模型.2.期望與方差的一般計(jì)算步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取值;(2)求X取各個(gè)值的概率,寫出分布列;(3)根據(jù)分布列,正確運(yùn)用期望與方差的定義或公式進(jìn)行計(jì)算.說明:求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的35例1

(2018河南安陽一模,19)某公司為了準(zhǔn)確把握市場,做好產(chǎn)品計(jì)劃,

特對(duì)某產(chǎn)品做了市場調(diào)查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x

分布在[50,100)內(nèi),且銷售量x的分布頻率f(x)=

(1)求a的值并估計(jì)銷售量的平均數(shù);(2)若銷售量大于或等于70,則稱該日暢銷,其余為滯銷.在暢銷日中用分

層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天,再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì),設(shè)這3

天來自X個(gè)組,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望(將頻率視為概率).例1

(2018河南安陽一模,19)某公司為了準(zhǔn)確把握36解題導(dǎo)引

解題導(dǎo)引

37解析(1)由題意知

解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9,結(jié)合f(x)=

得

+

+

+

+

=1,則a=0.15.可知銷售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率分別

是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,∴銷售量的平均數(shù)為55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.(2)銷售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)內(nèi)的頻率之比為2∶3∶3,所以解析(1)由題意知?解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,38在各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3.X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,P(X=2)=1-

-

=

.X的分布列為X123P

數(shù)學(xué)期望EX=1×

+2×

+3×

=

.在各組抽取的天數(shù)分別為2,3,3.X123P???數(shù)學(xué)期39方法2

利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)當(dāng)我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí),則先求隨機(jī)變量ξ1,ξ2的期望,

當(dāng)E(ξ1)=E(ξ2)時(shí),不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩

個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度,偏離程度小的更好.(2)當(dāng)我們希望比較穩(wěn)定時(shí),應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.(3)當(dāng)對(duì)平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時(shí),一般先計(jì)算期望,若相等,

則由方差來確定哪一個(gè)更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的

方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大,應(yīng)

根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論,即是選擇較理想的平均水平還是選擇較

穩(wěn)定.方法2

利用期望與方差進(jìn)行決策的方法40例2

(2016課標(biāo)Ⅰ,19,12分)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三

年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零

件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)5

00元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整

理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:

例2

(2016課標(biāo)Ⅰ,19,12分)某公司計(jì)劃購買241以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件

數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購