人教版八年級上冊數(shù)學課件1312第1課時線段垂直平分線的性質和判定課件

第1課時

線段的垂直平分線的性質和判定葫蘆島第六初級中學第1課時線段的垂直平分線的性質和判定葫蘆島第六初級中學1

直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A

與點B

的距離之間的數(shù)量關系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝垂直平分線性質直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l2【猜想】點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離分別相等．線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.由此你能得到什么結論？你能驗證這一結論嗎？【猜想】點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離分線段3求證：OE是CD的垂直平分線.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為.在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC點P在線段AB的垂直平分線上線段的垂直平分的性質和判定∴△PCA≌△PCB（SAS）．結論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．在Rt△PCA和Rt△PCB中，①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；∴△PCA≌△PCB（SAS）．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關系．∴直線AM是線段BC的垂直（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結CD.∴PA=PB．證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P

在l上．求證：PA=PB．

證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC【驗證結論】求證：OE是CD的垂直平分線.已知：如圖，直線l⊥AB，4

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

)A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，5解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.方法歸納：利用線段垂直平分線的性質，實現(xiàn)線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE61.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為

.2.如圖2所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.510cmPABCD圖1ABCDE圖21.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線C7

尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點C

.求作：AB的垂線，使它經過點C

.作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁.（2）以點C

為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.F例2尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.8（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？（2）為什么要以大于的長為半徑作??？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？【想一想】（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？（2）9

已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上解析：例3已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂10證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.結論：

三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎？證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，結論：三角形三邊11

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連結AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.分析：(1)根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可得出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．(2)先根據線段垂直平分線的性質得出出AB＝BF，再結合（1）即可解答．例4如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E12證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.證明：(1)∵AD∥BC，13【想一】：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB

的垂直平分線上．垂直平分線的判定【想一】：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線14則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P在線段AB

的垂直平分線上．PABC證明：過點P

作AB

的垂線PC，垂足為點C．則∠PCA=∠PCB=90°．PABC證明：過點P作A15★線段垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．▼應用格式：∵

PA=PB，∴點P

在AB

的垂直平分線上．PAB▼作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.★線段垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段16

這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB

兩端點距離相等的點？

與A、B

的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點

的距離相等的所有點的集合.PABCl這些點能組成什么幾何圖形？你能再找一些到線段AB17▼應用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.▼應用格式：ABCDM這是判斷一條直線是線段的垂直18

已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分線.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC，∴DO=CO，例5已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA191.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA2.在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC

()A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點C.三條高的交點D.三邊垂直平分線的交點D1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（20(2)AB＝BC＋AD.∴OE＝OF.∴OC＝OD，AO＝OB，這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎？你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？證明：∵l⊥AB，又AC=CB，PC=PC，(2)AB＝BC＋AD.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OC＝OD，AO＝OB，(2)OE＝OF.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；∴Rt△OED≌Rt△OEC，①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；∴BC＝35－20＝15(cm).這些點能組成什么幾何圖形？線段的垂直平分的性質和判定（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.這些點能組成什么幾何圖形？(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．(1)找出圖中相等的線段；又AC=CB，PC=PC，∵E是CD的中點，∴DE＝EC.證明：(1)∵AD∥BC，(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．∴點P在線段AB的垂直平分線上．這些點能組成什么幾何圖形？①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；在Rt△PCA和Rt△PCB中，③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？▼作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關系．∴Rt△OED≌Rt△OEC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，這些點能組成什么幾何圖形？∴△ADE≌△FCE，線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.線段的垂直平分的性質和判定已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有種.在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC線段的垂直平分的性質和判定∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是cm.分析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；4.下列說法：①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①②③3.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有

種.無數(shù)(2)AB＝BC＋AD.(1)找出圖中相等的線段；4.下列說215.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

cm.ABCDE165.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E22證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關系．∴AB＝BF＝BC＋CF.①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；P3A____P3B【猜想】點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離分這些點能組成什么幾何圖形？①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.求作：AB的垂線，使它經過點C.尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.求證：OE是CD的垂直平分線.線段的垂直平分的性質和判定①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；(1)找出圖中相等的線段；已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結CD.解：AD垂直平分EF.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎？∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,則∠PCA=∠PCB=90°．∴OE是CD的垂直平分線.且AC＝BC＝AD＝BD.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有種.已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結CD.∴OE是CD的垂直平分線.6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.ABCDEF證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，6.如圖所示，在△23【拓展】如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．分析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據角平分線的性質可得OE＝OF.【拓展】如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂24解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，

∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD.

(2)OE＝OF.理由如下：在△AOC和△AOD中，

∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，25線段的垂直平分的性質和判定到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上內容作用線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個點是否在線段的垂直平分線上課堂總結性質判定內容線段的垂直平分的性質和判定到線段的兩個端點距離相等的點在線段26人教版八年級上冊數(shù)學課件1312第1課時線段垂直平分線的性質和判定課件27第1課時

線段的垂直平分線的性質和判定葫蘆島第六初級中學第1課時線段的垂直平分線的性質和判定葫蘆島第六初級中學28

直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A

與點B

的距離之間的數(shù)量關系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝垂直平分線性質直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l29【猜想】點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離分別相等．線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.由此你能得到什么結論？你能驗證這一結論嗎？【猜想】點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離分線段30求證：OE是CD的垂直平分線.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為.在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC點P在線段AB的垂直平分線上線段的垂直平分的性質和判定∴△PCA≌△PCB（SAS）．結論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．在Rt△PCA和Rt△PCB中，①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；∴△PCA≌△PCB（SAS）．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關系．∴直線AM是線段BC的垂直（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結CD.∴PA=PB．證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P

在l上．求證：PA=PB．

證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC【驗證結論】求證：OE是CD的垂直平分線.已知：如圖，直線l⊥AB，31

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

)A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，32解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.方法歸納：利用線段垂直平分線的性質，實現(xiàn)線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE331.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為

.2.如圖2所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.510cmPABCD圖1ABCDE圖21.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線C34

尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點C

.求作：AB的垂線，使它經過點C

.作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁.（2）以點C

為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.F例2尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.35（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？（2）為什么要以大于的長為半徑作??？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？【想一想】（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？（2）36

已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上解析：例3已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂37證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.結論：

三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎？證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，結論：三角形三邊38

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連結AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.分析：(1)根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可得出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．(2)先根據線段垂直平分線的性質得出出AB＝BF，再結合（1）即可解答．例4如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E39證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.證明：(1)∵AD∥BC，40【想一】：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB

的垂直平分線上．垂直平分線的判定【想一】：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線41則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P在線段AB

的垂直平分線上．PABC證明：過點P

作AB

的垂線PC，垂足為點C．則∠PCA=∠PCB=90°．PABC證明：過點P作A42★線段垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．▼應用格式：∵

PA=PB，∴點P

在AB

的垂直平分線上．PAB▼作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.★線段垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段43

這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB

兩端點距離相等的點？

與A、B

的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點

的距離相等的所有點的集合.PABCl這些點能組成什么幾何圖形？你能再找一些到線段AB44▼應用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.▼應用格式：ABCDM這是判斷一條直線是線段的垂直45

已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分線.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC，∴DO=CO，例5已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA461.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA2.在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC

()A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點C.三條高的交點D.三邊垂直平分線的交點D1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（47(2)AB＝BC＋AD.∴OE＝OF.∴OC＝OD，AO＝OB，這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎？你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？證明：∵l⊥AB，又AC=CB，PC=PC，(2)AB＝BC＋AD.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OC＝OD，AO＝OB，(2)OE＝OF.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；∴Rt△OED≌Rt△OEC，①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；∴BC＝35－20＝15(cm).這些點能組成什么幾何圖形？線段的垂直平分的性質和判定（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.這些點能組成什么幾何圖形？(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．(1)找出圖中相等的線段；又AC=CB，PC=PC，∵E是CD的中點，∴DE＝EC.證明：(1)∵AD∥BC，(2)OE、OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．∴點P在線段AB的垂直平分線上．這些點能組成什么幾何圖形？①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；在Rt△PCA和Rt△PCB中，③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？▼作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離之間的數(shù)量關系．∴Rt△OED≌Rt△OEC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，這些點能組成什么幾何圖形？∴△ADE≌△FCE，線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.線段的垂直平分的性質和判定已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有種.在銳角三角形ABC內一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC線段的垂直平分的性質和判定∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是cm.分析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；4.下列說法：①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①②③3.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有

種.無數(shù)(2)AB＝BC＋AD.(1)找出圖中相等的線段；4.下列說485.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

cm.ABCDE165.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E49證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上