【試卷】201長沙模擬理科數(shù)學(xué)

【試卷】20191月長沙模擬理科數(shù)學(xué)【試卷】20191月長沙模擬理科數(shù)學(xué)【試卷】20191月長沙模擬理科數(shù)學(xué)2021年1月長沙模擬理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的．1．設(shè)會合M{x|x4n1,nZ},N{x|x2n1,nZ}，那么〔〕A．MNB．NMC．MND．NM2．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)mi的點(diǎn)位于第一象限，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是〔〕miA．(,1)B．(,0)C．(0,)D．(1,)3．在等比數(shù)列{an}中，“a1,a3是方程x23x10的兩根〞是“a21〞的〔〕A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件4．以下函數(shù)中，圖象對于原點(diǎn)對稱且在定義域內(nèi)單一遞加的是〔〕A．f(x)sinxxB．

f(x)ln(x1)ln(x1)exexC．f(x)D．2

f(x)

xe15．一種元件的使用壽命超出1年的概率為，超出2年的概率為，假定一個這類元件使用不到1年時還未無效，那么這個元件使用壽命超出2年的概率為〔〕A．B．C．D．6．F,F是雙曲線C:y2x21的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以FF為直徑的圓1212經(jīng)過點(diǎn)P，那么△PF1F2的面積為〔〕2B．1C．2D．2A．27．在△ABC中，AB10,BC6,CA8，且O是△ABC的外心，那么CAAO〔〕A．16B．32C．16D．328．我國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了有名的祖暅原理：“緣冪勢即同，那么積不容異也〞．“冪〞是截面積，“勢〞是幾何體的高，11意思是兩等高幾何體，假定在每一等高處的截面積都相等，那么兩立方體體2積相等．某不規(guī)那么幾何體與如圖三視圖所對應(yīng)的幾何體知足“冪勢同〞，那么該不規(guī)那么幾何體的體積為〔〕A．84B．83

正視圖側(cè)視圖C．822D．432俯視圖9．P(1,2)是函數(shù)f(x)Asin(x)(A0,0)圖象的一個最高點(diǎn)，B,C是與P相鄰的兩個最低點(diǎn)．設(shè)BPC，假定tan3〕2，那么f(x)的圖象對稱中心能夠是〔4A．(0,0)B．(1,0)C．3,0D．5,02210．f(x)ex11，假定函數(shù)g(x)[f(x)]2(a2)f(x)2a有三個零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．(2,1)B．(1,0)C．(0,1)D．(1,2)11．拋物線C:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Ap,a(a0)在C上，AF3，假定直線AF與4C的交于另一點(diǎn)B，那么AB的值是〔〕A．12B．10C．9D．4512．設(shè)正方體ABCDA1BC11D1的棱長為1，E為DD1的中點(diǎn)，M為直線BD1上一點(diǎn)，N為平面AEC內(nèi)一點(diǎn)，那么M,N兩點(diǎn)間距離的最小值為〔〕6B．6C．3D．3A．4636二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S1352，那么a4a8a9．14．為培育學(xué)生的綜合修養(yǎng)，某校準(zhǔn)備在高二年級開設(shè)A,B,C,D,E,F六門選修課程，學(xué)校規(guī)定每個學(xué)生一定從這6門課程中選3門，且A,B兩門課程起碼要選1門，那么學(xué)生甲共有種不一樣的選法．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的極點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)1,3，22那么cos2．316．二次函數(shù)f(x)ax2bxc，且4c9a，假定不等式f(x)0恒成立，那么f(0)f(1)的取f(1)值范圍是．三、解答題：共70分．解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都一定作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．〔一〕必考題：共60分．17．〔本小題總分值12分〕△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且asin(AB)sincBC；〔1〕求A；2〔2〕假定△ABC的面積為3，周長為8，求a．18．〔本小題總分值12分〕三棱錐PABC〔如圖一〕的平面睜開圖〔如圖二〕中，四邊形ABCD為邊長等于2的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐PABC中；〔1〕證明：平面PAC平面ABC；〔2〕假定點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時，求二面角PBCM的余弦值．19．〔本小題總分值12分〕橢圓C:x2y21(ab0)的離心率為1，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，a2b23A為橢圓C上一點(diǎn)，AF1與y軸交于B，AB4F2B,OB．〔1〕求橢圓C的方程；3〔2〕設(shè)橢圓C的左、右極點(diǎn)為A1、A2，過A1、A2分別作x軸的垂線l1、l2，橢圓C的一條切線l:ykxm(k0)與l1、l2交于M、N兩點(diǎn)，求證：MF1NMF2N．20．〔本小題總分值12分〕某互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)為了確立下一季度的先期廣告投入方案，采集了近6個月廣告投入量x〔單位：萬元〕和利潤y〔單位：萬元〕的數(shù)據(jù)以下表：月份123456廣告投入量24681012利潤他們分別用兩種模型①ybxa，②yaebx分別進(jìn)行擬合，獲得相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差剖析，得到以下列圖的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：66xyxiyixi2i1i17303641〕依據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合成效，應(yīng)選擇哪個模型？并說明原因；2〕殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被以為是異樣數(shù)據(jù)，需要剔除：i〕剔除異樣數(shù)據(jù)后求出〔1〕中所選模型的回歸方程；ii〕假定投入廣告量x18時，該模型利潤的預(yù)告值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)，其回歸直線y?a?的斜率和截距的最小二乘預(yù)計分bxnn別為：?(xix)(yiy)xiyinxy?．i1i1?bnnbx,ay(xix)2xi2nx2i1i121．〔本小題總分值12分〕函數(shù)f(x)ex(1alnx)，此中a0，設(shè)f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．〔1〕設(shè)g(x)exf(x)，假定g(x)≥2恒成立，求a的范圍；〔2〕設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0，函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為x1，當(dāng)a2時，求證：x0x1．〔二〕選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，那么按所作的第一題計分．22．【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】〔本小題總分值10分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸成立極坐標(biāo)系．曲線M的參數(shù)方程x1cos〔為參數(shù)〕，過原點(diǎn)O且傾斜角為的直線l交M于A、B兩點(diǎn)．為1sin1〕求l和M的極坐標(biāo)方程；20,時，求OAOB的取值范圍．〔〕當(dāng)423．【選修4—5：不等式選講】〔本小題總分值10分〕函數(shù)f(x)xxa,aR．〔1〕當(dāng)f(1)f(1)1，求a的取值范圍；〔2〕假定a0，對x,y(,a]，都有不等式f(x)≤y5a的取值范圍．ya恒成立，求42021年1月長沙模擬理科數(shù)學(xué)參照答案123456789101112ADADACDBDACB13121416151161(3,),161．答案：A分析：M{x|x4n1,nZ}{x|x22n1,nZ},N{x|x2n1,nZ}，故MN．2．答案：D分析：mi(mi)2m212mim210位于第一象限，那么m1．2m0mi(mi)(mi)m21m213．答案：A分析：a1,a3是方程x23x10的兩根，那么a1a331a2aa1，所以“a1,a3是，a3a1a31221方程x23x10的兩根〞是“a1〞的充分不用要條件．24．答案：D分析：選項A，f(x)sinxx，定義域?yàn)镽，f(x)sin(x)xsinxxf(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象對于原點(diǎn)對稱，f(x)cosx1≤0，所以f(x)在定義域內(nèi)單一遞減；選項B，f(x)ln(x1)ln(x1)，定義域?yàn)閧x|x1}，定義域不對于原點(diǎn)對稱；exe選項C，f(x)2

xexexy軸對稱；，定義域?yàn)镽，f(x)f(x)，圖象對于2選項D，f(x)ex1，定義域?yàn)镽，f(x)eex1e

xx

11exf(x)，圖象對于原點(diǎn)對稱，11ex且f(x)ex1(ex1)22，所以f(x)在定義域內(nèi)單一遞加．ex1ex11ex15．答案：A分析：設(shè)一個這類元件使用1年的事件為A，使用2年的事件為B，那么P(B|A)P(AB)P(A)0.75．6．答案：C分析：不如設(shè)點(diǎn)P在漸近線yx上，又P(x0,x0)在圓x2y22上，所以x01，S△PFF12212．1227．答案：D分析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)成立以下列圖平面直角坐標(biāo)系，那么C(0,0),A(8,0),B(0,6),O(4,3)，

BO那么CA(8,0),AO(4,3),CAAO(8,0)(4,3)32．8．答案：BCA分析：該三視圖表示的幾何體是棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1，高為2的半圓柱，故該不規(guī)那么3幾何體的體積為8．P29．答案：D分析：取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，那么PD4，BPD，132在Rt△PBD中，由tan，得BD3．2O246421所以B(2,2),C(4,2)，2BP,CP的中點(diǎn)都是f(x)圖象的對稱中心，應(yīng)選D．BDC3310．答案：A4分析：由g(x)[f(x)]2(a2)f(x)2a[f(x)2][f(x)a]0，2得f(x)2或f(x)a，由圖象知，方程f(x)2有一個實(shí)根，1所以方程f(x)a有兩個不等實(shí)根，那么1a2，所以a(2,1)．11．答案：C2O2分析：AFpp3p11211116，4243，解得p4，AFBF,3BF2，可得BFp所以ABAFBF9．212．答案：B分析：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，那么OE//BD1，進(jìn)而BD1//平面AEC，所以M,N兩點(diǎn)間距離的最小值等于直線BD1到平面AEC的距離，而B到平面AEC的距離等于D到平面AEC的距離，ACBD,ACDD1,BDDD1D，所以AC平面BDD1，D1C1過D作DHOE于點(diǎn)H，那么又DHAC,OEACO，123A1EB1所以DH平面AEC，DE,OE,DO,H222CDEDO6D．DHEO6OAB13．答案：12分析：S1313(a1a13)13a752,a74,a4a8a9(a73d)(a7d)(a72d)3a712．2不如設(shè)等差數(shù)列{an}為常數(shù)列，ana，那么S1313a52,a4,a4a8a93a12．14．答案：16分析：分三類．選A不選B，共有C26種選法，選B不選A，共有C26種選法，選A且選B，共有C14444種選法，故學(xué)生甲共有66416種選法．解法2：從6門課程中選3門，共有C6320種選法，此中A,B兩門課程都不選共有C434種選法，故學(xué)生甲共有20416種選法．15．答案：1分析：由得cos1,sin3，所以cos2cos2sin21,sin22sincos3，2222所以cos2cos2cossin2sin11331．3332222解法2：不如取3，那么23，所以cos23cos1．16．答案：,1(3,)16分析：由ax2a0b,yc，那么x24ybxc0恒成立可知，設(shè)x9，b2y4acaa4那么f(1)1)cabcabcxy11y2，令zy2，那么z表示地區(qū)內(nèi)的點(diǎn)f(0)f((abc)abx1x1x192917(x,y)與P(1,2)A，所以kPA4連線的斜率，因?yàn)?,4．416設(shè)直線PB:yk(x1)2，聯(lián)立x24y，得x24kx4k80，yk(x1)216k216k320k1,k2，由圖可知，z,17(2,)，16故f(1),1(3,)．f(0)f(1)16A17．分析：〔1〕由得asinCccos．????????????????????2分2由正弦定理得sinAcosA，??????????????????????????4分2所以sinA1．????????????????????????????????5分22故A60．??????????????????????????????????6分〔2〕△1bcsinA3，進(jìn)而bc4．????????????????????8分SABC2由余弦定理得a2b2c22bccosAb2c2bc(bc)23bc(bc)212．????10分又abc8，故a2(8a)212，解得a13．??????????????????12分418．分析：〔1〕AC的中點(diǎn)O，接BO,PO．由意，得PAPBPC2,PO1，AOBOCO1，因在△PAC中，PAPC,OAC的中點(diǎn)，所以POAC，因在△POB中，PO1,OB1,PB2，PO2OB2PB2，所以POOB，??3分因ACOBO，所以PO平面ABC．因PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC．??????????????????5分〔2〕由〔1〕知，BOPO,BOAC,POACO,BO平面PAC，所以BMO就是直BM與平面PAC所成的角．且BO1tanBMOOMOM所以當(dāng)OM最短，即M是PA的中點(diǎn)，BMO

，????????????????6分最大．??????????????7分由PO平面ABC,OBAC，所以POOB,POOC，于是以O(shè)坐原點(diǎn)，OC,OB,OP所在直分x，y，z成立如所示空直角坐系，O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(1,0,0)，P(0,0,1),M1,0,1，BC(1,1,0),PC(1,0,1),MC3,0,1．????????8分2222平面MBC的法向量mnBC0x1y101,z13，(x1,y1,z1)，，得3x1z1，令x11，得y1nMC00即m(1,1,3)．????????????????????????????????????9分平面PBC的法向量nnBC0x2y20(x2,y2,z2)，由0，得x2z2，nPC0令x1，得y1,z1，即n(1,1,1)．??????????????????????10分cosn,mmn1135533．??????????????????11分mn1133333由可知，二面角PBCM的余弦533．????????????????????12分33zPMOACxBy19．分析：〔1〕接AF2，由意得ABFBFB，所以BO△FAF的中位，2112又因BOF1F2，所以AF2F1F2，且AF2b28，??????????3分2BO3a又ec1，a2b2c2，得a29,b28，故所求方程x2y21．????????5分a398yABF1

O

F2

x〔2〕由可知，l1的方程x3，l2的方程x3．直l與直l1、l2立得M(3,3km)、N(3,3km)，所以FM1(2,3km),F1N(4,3km)，所以FM1F2M8m29k2．??????7分x2y21，得(9k28)x218kmx9m2立98720．ykxm因直l與C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化得m29k28．??????????????????????????????9分所以FM1F1N8m29k20，所以FM1F1N，故MF1N定．??????10分2同理F2M(4,3km),F2N(2,3km)，所以F2MF2N,MF2N．2故MF1NMF2N．??????????????????12分54N3M2142224681012A1F1OF2A12320．分析：〔1〕4模型①，因模型①殘差點(diǎn)比平均地落在水平的狀地區(qū)中，明模型合精度越高，回方程的精度越高．??????????????????????????2分53的數(shù)據(jù)后，得〔2〕〔i〕剔除異樣數(shù)據(jù)，即月份76663065x7.2,29.64,xiyi1464.24631.81273.44，5y5i15x262364328．?????????????????????????????6分ii15?xiyinxy5i1b532853；2nx2xii1??，aybx所以y對于x的性回方程：?3x．??????????????9分y〔ii〕把x18代入回方程得：?318，y故62.04萬元．????????????????12分21．〔1〕由可知，f(x)ex1axg(x)exf(x)1aalnx,g(x)x當(dāng)x(0,1)，g(x)0,g(x)在區(qū)

alnx(x0)，a(x1)0)．????????????2分x2(x(0,1)上減，當(dāng)x(1,)，g(x)0,g(x)在區(qū)(1,)上增，故g(x)在x1獲得最小，且g(1)1a，因?yàn)間(x)≥2恒成立，所以1a≥2，所以a≥1．??????????????????4分〔2〕h(x)f(x)ex1aalnx，h(x)ex12aaalnx．xxx2H(x)12aaalnx，H(x)2a2aaa(x22x2)0，xx2x2x3xx3故H(x)在(0,)上增．????????????????????6分因a2，所以H(1)a10,H11aln20，故存在x21,1，使得H(x2)0，22h(x)在區(qū)(0,x2)上減，在區(qū)(x2,)上增，故x2是h(x)的極小點(diǎn)，所以x2x1．?????????????????8分由〔1〕可知，當(dāng)a1，lnx1≥1．?????????????????9分x所以h(x)≥h(x)ex11aalnxex1(1a)0，即f(x)增．1x11因?yàn)镠(x1)0，即12aaalnx10，即1alnx1a2ax1x12x12，x1所以f(x1)ex1(1alnx1)ex1a2aaex112x10f(x0)．????????11分x12x1x12又由〔1〕可知，f(x)在(0,