平行線的性質(zhì)與判定典型例題

本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。1.如圖,CD均分∠EＣF，∠B＝∠ACB，求證：ＡB∥CE．證明：∵CD均分∠ECF，∴∠ＥCD＝∠ＤＣＦ，∵∠ACB＝∠ＤCF,∴∠ECD=∠ＡCB,又∵∠B=∠ACＢ,∴∠Ｂ＝∠ＥCＤ，AＢ∥CE.２．如圖，已知AC⊥ＡE,BＤ⊥BＦ,∠１＝１5°,∠2＝15°,AE與BＦ平行嗎?為什么？解：AE∥BＦ．原由以下:因?yàn)锳C⊥AE,ＢD⊥BF(已知),所以∠ＥAＣ＝∠FＢD＝９0°(垂直的定義)．因?yàn)椤?＝∠2（已知)，所以∠EAC＋∠1＝∠FBD+∠２（等式的性質(zhì)),即∠EAB=∠FBG,所以AE∥BF(同位角相等,兩直線平行)..如圖，已知∠ABC＝∠ＡＣB，ＢD均分∠ABC，CE均分∠ＡCB,F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠ＤBＣ=∠F,求證：EＣ∥DF．1本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。證明:∵∠ABC=∠ACB,BＤ均分∠AＢＣ，CE均分∠ACＢ,∴∠DＢC=∠ＡBC，∠ＥCB＝∠ACＢ,∴∠DBC＝∠EＣB．∵∠ＤＢC=∠F，∴∠ＥCＢ＝∠Ｆ,EC∥DF.４．如圖,∠ABC＝∠ADC,BＦ,ＤＥ分別是∠AＢＣ，∠ＡDC的角均分線，∠1=∠2，求證:DＣ∥AB．證明:∵ＤE、BF分別是∠ＡBＣ，∠ADC的角均分線，∴∠3=∠ADC，∠２=∠ABC,∵∠ABＣ＝∠ADC,∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2,∴∠1=∠３,DC∥ＡＢ.5．以下列圖,∠B＝2５°，∠D＝４２°，∠BCD=6７°，試判斷AB和ED的地址關(guān)系，并說(shuō)明原由．解：AB∥ＥD，原由:如圖,過(guò)C作ＣF∥AB，2本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照?！摺螧=2５°,∴∠ＢCF＝∠B＝2５°,∴∠DＣＦ＝∠ＢＣD﹣∠BCF＝４２°,又∵∠D=４２°,∴∠ＤＣF=∠Ｄ,CＦ∥EＤ，AB∥ED．.如圖,DE均分∠ＡＤＣ，CE均分∠BＣD，且∠1+∠２=９0°.試判斷AD與BC的地址關(guān)系,并說(shuō)明原由．解:BC∥AD．原由以下：∵DＥ均分∠ＡDＣ，CE均分∠BCD，∴∠ADC=2∠1,∠BCD=２∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ＡDC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°，∴ＡD∥BＣ.7.已知:如圖，ＤG⊥ＢC,ＡC⊥BC,EＦ⊥AB，∠1=∠2.求證:EＦ∥ＣＤ.證明:∵DG⊥BC,ＡC⊥BＣ,∴∠DGB=∠ＡCB＝9０°(垂直定義),3本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照?！郉Ｇ∥AC（同位角相等,兩直線平行),∴∠2=∠ＡCＤ(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1=∠2，∴∠1=∠DＣA，∴EF∥ＣD（同位角相等，兩直線平行）．8.將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角極點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起,友情提示：∠A=60°,∠D=30°，∠E=∠B＝45°．(1)①若∠ＤCB=45°，則∠ＡCB的度數(shù)為13５°．②若∠ACＢ＝140°,則∠DＣE的度數(shù)為４０°．（２)由(1）猜想∠ACB與∠DCＥ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明原由.3）當(dāng)∠ＡCE<90°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，當(dāng)這兩塊三角尺有一組邊互相平行時(shí),請(qǐng)直接寫出∠ACE角度所有可能的值(不用說(shuō)明原由）.解：（1）①∵∠DCE＝4５°,∠ACD=90°∴∠ACE=45°∵∠BCE＝９０°∴∠ACB=９0°+4５°=1３５°故答案為：１３5°；②∵∠AＣB＝１40°,∠ＥCB＝90°∴∠ACＥ=14０°﹣9０°=50°∴∠DＣE=９0°﹣∠ACE＝90°﹣50°=40°故答案為：40°；2)猜想:∠AＣＢ+∠DＣE＝18０°原由以下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠AＣB=∠ACE+９0°∴∠AＣB=90°﹣∠ＤCE+90°=18０°﹣∠DCE即∠AＣB+∠DＣE＝１８0°；4本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。3）30°、45°．原由:當(dāng)CB∥ＡD時(shí),∠ACE=30°；當(dāng)EB∥ＡＣ時(shí),∠AＣE=4５°..已知：DＥ⊥ＡＯ于Ｅ,BO⊥ＡO，∠CFB＝∠EDＯ,證明：CF∥DO．證明：∵DE⊥AＯ，BO⊥ＡO,∴∠ＡEＤ=∠AＯB＝90°，∴DE∥ＢO（同位角相等,兩條直線平行)，∴∠ＥＤO＝∠BOD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵∠EＤO＝∠ＣFB,∴∠BOD＝∠CFＢ，∴CF∥DO(同位角相等,兩條直線平行）．10.如圖，已知∠A=∠C,∠Ｅ＝∠F,試說(shuō)明：AD∥BＣ．證明：∵∠E＝∠F,AＥ∥CF，∴∠A=∠ADF，∵∠A＝∠C，5本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照?！唷希罝F=∠C，∴ＡD∥BC.11．已知:如圖,EG∥FＨ,∠１＝∠2.求證：∠BEＦ+∠DFE=１８0°．解:∵EG∥HＦ∴∠OEG=∠OＦH，∵∠1=∠2∴∠ＡEＦ＝∠DFＥAB∥CD，∴∠BEＦ＋∠ＤFE＝180°．2.如圖,AＢ∥CD，∠Ｂ＝70°,∠ＢCE=20°,∠ＣEF＝13０°，請(qǐng)判斷ＡB與ＥF的地址關(guān)系,并說(shuō)明原由.解：AB∥ＥＦ，原由以下：AB∥ＣD，∴∠B＝∠BCD，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠B=70°，∴∠BCD=７0°，(等量代換）∵∠BＣE＝2０°,∴∠ＥＣD＝50°，∵ＣEＦ=130°，∴∠Ｅ+∠DＣE=180°,∴ＥＦ∥CD，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)∴ＡＢ∥EＦ.(平行于同素來(lái)線的兩條直線互相平行)6本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。13.如圖,AD∥BＣ,∠ＤＡC=120°,∠ACF=20°，∠EFC=１40°．求證：ＥＦ∥AＤ．證明：∵ＡＤ∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝1８０°，∵∠DAＣ＝12０°,∴∠ＡＣＢ＝6０°,又∵∠ACF=2０°，∴∠BＣF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°,又∵∠EＦＣ=140°,∴∠BCF+∠ＥＦC=18０°,EF∥BC,AＤ∥BC,EF∥AD．14.完成以下推理過(guò)程:已知:如圖,∠１+∠2=１80°,∠3=∠B求證:∠EDG+∠DGC=１80°證明:∵∠1+∠2＝１8０°(已知）∠１+∠DＦE=180°(鄰補(bǔ)角定義）∴∠2＝∠ＤFＥ（同角的補(bǔ)角相等)∴ＥＦ∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)7本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照?！唷?=∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∠3=∠B(已知）∴∠Ｂ＝∠AＤE(等量代換）∴DＥ∥BC（同位角相等,兩直線平行)∴∠EDG+∠ＤGＣ=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）15.已知：如圖,BE∥GF,∠1＝∠3，∠ＤBＣ＝70°,求∠EDB的大小.閱讀下面的解答過(guò)程，并填空（原由或數(shù)學(xué)式)解:∵BＥ∥GF(已知)∴∠2=∠3(兩直線平行同位角相等）∵∠1=∠3（已知)∴∠1＝(∠２)（等量代換）∴DE∥(BC）（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）∴∠ＥDＢ+∠ＤBC＝1８0°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠EDB=1８0°﹣∠ＤＢC(等式性質(zhì))∵∠DBＣ=（70°)(已知)∴∠ＥDB=180°﹣７０°＝110°1６．如圖，已知：E、Ｆ分別是AＢ和CD上的點(diǎn),DE、ＡF分別交BC于點(diǎn)G、H,ABCD,∠A＝∠D，試說(shuō)明：（1)AF∥ED;(2）∠BED=∠A;（3）∠1=∠２8本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。（1）證明：∵AB∥CＤ,∴∠A＝∠AFC,∵∠A＝∠D,∴∠AＦC＝∠D,∴ＡF∥EＤ;(2）證明:∵AF∥ED,∴∠BED＝∠A；(3）證明：∵ＡF∥ＥＤ,∴∠1＝∠CGD,又∵∠2＝∠CGＤ,∴∠1=∠2．１７.閱讀理解，補(bǔ)全證明過(guò)程及推理依據(jù).已知：如圖，點(diǎn)E在直線DＦ上,點(diǎn)B在直線ＡＣ上，∠１＝∠２，∠3=∠4．求證∠Ａ=∠F證明：∵∠1＝∠2（已知)∠２=∠DGF(對(duì)頂角相等)∴∠1＝∠DGＦ(等量代換)BＤ∥CE（同位角相等,兩直線平行)∴∠3+∠Ｃ＝１80°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))又∵∠3=∠4(已知）∴∠4+∠Ｃ=180°（等量代換)∴ＡC∥ＤＦ（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)∴∠A=∠Ｆ（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)9本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。１8．如圖，∠α和∠β的度數(shù)滿足方程組,且ＣD∥EF,AC⊥AE．(1)求∠α和∠β的度數(shù)．(２)求∠C的度數(shù)．解：（1）解方程組，得.(2)∵∠α+∠β=55°+12５°=１80°，AB∥ＣD,∴∠C+∠CAB＝１80°,AC⊥ＡE,∴∠CAE=90°,∴∠C＝180°﹣90°﹣５５°=35°．１9．如圖，直線a∥ｂ,∠1＝45°,∠2＝30°,求∠Ｐ的度數(shù).解:過(guò)P作PM∥直線a,∵直線a∥ｂ，∴直線ａ∥ｂ∥PM，∵∠1＝4５°，∠2＝30°，∴∠EPM=∠２＝30°，∠FPM=∠1=45°,10本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。∴∠EPF=∠EＰＭ+∠FPM=3０°+4５°=７５°,20.如圖,AB∥CD，∠A＝60°,∠C=∠E,求∠Ｅ．解:∵ＡB∥CD，∠Ａ=60°，∴∠DOE＝∠A=６0°,又∵∠Ｃ=∠E,∠DOE=∠C+∠E,∴∠E=∠ＤＯE=３０°．21.如圖,已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3,∠BAC與∠DＣA相等嗎?為什么?解：∠BAC＝∠DCA，原由:∵∠CＦE=∠２,∠2+∠1＝１80°,∴∠CFE＋∠１＝180°,DE∥BC,∴∠AＥD=∠B，∵∠B=∠3,∴∠３＝∠AEF,AB∥CD，∴∠BAＣ＝∠DCA．２2.如圖，已知EＦ⊥ＢＣ，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．試說(shuō)明直線AD與BC垂直.（請(qǐng)?jiān)谙旅娴慕獯疬^(guò)程的空格內(nèi)填空或在括號(hào)內(nèi)填寫原由)．原由：∵∠１=∠C,（已知)GD∥AC，（同位角相等,兩直線平行)∴∠2＝∠ＤAC．（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵∠2+∠3＝1８0°，(已知)∴∠3+∠DAC＝１8０°.(等量代換）∴AＤ∥EF,（同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行）11本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。∴∠ADC＝∠EFC.（兩直線平行，同位角相等）∵ＥF⊥ＢＣ,（已知)∴∠ＥFC=90°,∴∠ADＣ＝9０°，∴ＡD⊥BＣ．23.如圖1,BC⊥AF于點(diǎn)C，∠A+∠1＝９0°.1）求證:AB∥DE；(2）如圖２,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F停止,連接PB，ＰE.則∠ＡBP,∠DEP，∠BＰE三個(gè)角之間擁有怎樣的數(shù)量關(guān)系(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A，D,C重合的情況）?并說(shuō)明原由．解：（１)如圖1,∵BＣ⊥ＡF于點(diǎn)C，∴∠A+∠B=9０°，又∵∠A+∠１=９0°，∴∠B＝∠１，∴ＡＢ∥DE.(2）如圖２，當(dāng)點(diǎn)P在A,D之間時(shí)，過(guò)P作PG∥ＡＢ，12本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。AB∥DE，∴PＧ∥DE，∴∠ABP＝∠ＧPB，∠DEＰ=∠ＧPE，∴∠ＢPＥ=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DＥP;以下列圖，當(dāng)點(diǎn)P在C,Ｄ之間時(shí),過(guò)Ｐ作PＧ∥AB,AB∥DE，∴ＰＧ∥DE,∴∠AＢP=∠GPＢ，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠ＢPG﹣∠EPＧ＝∠ABＰ﹣∠DEＰ;以下列圖，當(dāng)點(diǎn)P在C,Ｆ之間時(shí),過(guò)P作PG∥ＡB,AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠ＤEＰ＝∠GPE,∴∠BPE＝∠EＰG﹣∠ＢPG＝∠DＥＰ﹣∠ABP.24.已知：如圖，F(xiàn)E∥OC,ＡC和ＢＤ訂交于點(diǎn)Ｏ,E是CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是OD上一點(diǎn)，且13本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。∠1＝∠A．(1)求證：ＡB∥DC；(2）若∠B=30°，∠1＝6５°,求∠OFE的度數(shù).(1）證明:∵FE∥OC，∴∠1＝∠C，∵∠1=∠A，∴∠Ａ=∠C,AB∥DC;(2）解：∵AＢ∥ＤＣ,∴∠D=∠Ｂ,∵∠B＝30°∴∠D=３０°，∵∠ＯFE是△DＥF的外角,∴∠OFE＝∠D+∠１,∵∠1＝６5°,∴∠ＯFＥ=３0°+６5°=95°．2５.（201８秋?牡丹區(qū)期末)如圖,ＡＢ∥ＤＧ，∠1+∠２=180°，（１）求證:AD∥EＦ；（2)若ＤG是∠ＡDC的均分線,∠2＝1５０°,求∠B的度數(shù)．證明:（1)∵AB∥DG,∴∠ＢAD＝∠１，∵∠1+∠2=１80°,14本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照?！唷希?∠ＢAD=180°，AD∥EＦ;(２）∵∠１+∠2=180°,∠2=150°,∴∠1＝3０°，∵ＤG是∠ADC的均分線,∴∠GDC＝∠1＝3０°，AB∥DG,∴∠B＝∠GDC=3０°．6．如圖，AＤ⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥ＢC于點(diǎn)G，∠E＝∠3.請(qǐng)問(wèn):AＤ均分∠BＡC嗎?若均分，請(qǐng)說(shuō)明原由.均分．證明：∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)∴∠ADC＝∠EGC=9０°，(垂直的定義)∴ＡD∥ＥG,（同位角相等，兩直線平行）∴∠2＝∠３,(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∠Ｅ=∠1,（兩直線平行，同位角相等)又∵∠Ｅ＝∠３（已知）∴∠1＝∠2(等量代換）∴ＡD均分∠ＢAC(角均分線的定義）．2７．如圖,EF∥AB,∠DCＢ=70°，∠CＢF＝20°，∠EＦB＝13０°．(１)問(wèn)直線CＤ與ＡB有怎樣的地址關(guān)系？并說(shuō)明原由；（２）若∠CEF=70°，求∠ACＢ的度數(shù).解：(1）CD和ＡB的關(guān)系為平行關(guān)系.原由以下:15本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校訂后使用，答案僅供參照。EF∥AB，∠EＦB＝130°，∴∠ABF＝１8０°﹣１３0°=50°，又∵∠CBF=20°,∴∠ＡＢＣ=70°，∵∠ＤCB＝７0°，∴∠DＣB=∠ABC，∴ＣＤ∥ＡB；(2)∵EF∥ＡＢ，CＤ∥AＢ,EF∥ＣＤ,∵∠Ｃ