最新人教A版必修四高中數(shù)學(xué)112-弧度制公開課課件

§1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制§1.1任意角和弧度制明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測041.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對應(yīng)關(guān)系3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.31.度量角的單位制(1)角度制用

作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的

.(2)弧度制①弧度制的定義長度等于

的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.以

作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.度填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)

半徑長弧度1.度量角的單位制度填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)

半徑長弧度4②任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系正角的弧度數(shù)是一個

；負(fù)角的弧度數(shù)是一個

；零角的弧度數(shù)是

.③角的弧度數(shù)的計算如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝

.正數(shù)負(fù)數(shù)零

②任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系正數(shù)負(fù)數(shù)零

5角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°2.角度制與弧度制的換算(1)2π360°π180°角度化弧度弧度化角度360°＝rad2π6度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

度120°135°150°270°360°弧度π2π

度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度7度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝l＝

扇形的面積S＝S＝

＝

3.扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則

度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝l＝ 扇形的面8探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)

探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)

9探究點(diǎn)一弧度制思考1

1弧度的角是怎樣規(guī)定的？1弧度的角和圓半徑的大小有關(guān)嗎？你能作出一個1弧度的角嗎？答把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一個定值，與所在圓的半徑無關(guān).如圖所示，∠AOB就是1弧度的角.探究點(diǎn)一弧度制思考11弧度的角是怎樣規(guī)定的？1弧度的角和10思考2如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α的弧度數(shù)與l、r之間有著怎樣的關(guān)系？請你完成下表，找出某種規(guī)律.

AB的長OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)0沒旋轉(zhuǎn)順時針方向πr逆時針方向2πr順時針方向00°

－90°π180°－2π－360°（思考2如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α11

逆時針方向

r逆時針方向

2r順時針方向

1°1－2

逆時針方向 r逆時針方向 2r順時針方向 1°1－212

13思考3角度制與弧度制換算時，靈活運(yùn)用下表中的對應(yīng)關(guān)系，請補(bǔ)充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad1rad＝2π360°π180°思考3角度制與弧度制換算時，靈活運(yùn)用下表中的對應(yīng)關(guān)系，請補(bǔ)14例1

(1)把67°30′化成弧度；例1(1)把67°30′化成弧度；15反思與感悟?qū)⒔嵌绒D(zhuǎn)化為弧度時，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記πrad＝180°即可求解.把弧度轉(zhuǎn)化為角度時，直接用弧度數(shù)乘以

即可.反思與感悟?qū)⒔嵌绒D(zhuǎn)化為弧度時，要把帶有分、秒的部分化為度之16

288

28817探究點(diǎn)二弧度制下的弧長公式和扇形面積公式思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角度制下的弧長公式和扇形面積公式，請根據(jù)“一周角(即360°)的弧度數(shù)為2π”這一事實(shí)化簡上述公式.(設(shè)半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α).探究點(diǎn)二弧度制下的弧長公式和扇形面積公式思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)18例2已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r.∴當(dāng)半徑r＝10cm時，扇形的面積最大，最大值為100cm2，所以當(dāng)扇形的圓心角為2rad，半徑為10cm時，扇形的面積最大為100cm2.例2已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么19反思與感悟靈活運(yùn)用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決此類問題的關(guān)鍵，有時運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有關(guān)最值問題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r的二次函數(shù)的最值問題.反思與感悟靈活運(yùn)用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決20

21探究點(diǎn)三利用弧度制表示終邊相同的角導(dǎo)引在弧度制下，與α終邊相同的角連同α在內(nèi)可以表示為2kπ＋α(k∈Z)，其中α的單位必須是弧度.思考1利用弧度制表示出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合.終邊所在的位置角的集合x軸

y軸

坐標(biāo)軸

{α|α＝kπ，k∈Z}探究點(diǎn)三利用弧度制表示終邊相同的角導(dǎo)引在弧度制下，與α終22思考2利用弧度制表示出終邊落在各個象限的角的集合.α終邊所在的象限角α的集合Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

思考2利用弧度制表示出終邊落在各個象限的角的集合.α終邊所23

解

(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.

解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－24∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角.反思與感悟在同一問題中，單位制度要統(tǒng)一，角度制與弧度制不能混用.∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角.反思與感悟在同一問25跟蹤訓(xùn)練3

(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；跟蹤訓(xùn)練3(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的26(2)若β∈[－4π，0]，且β與(1)中α的終邊相同，求β.又β∈[－4π，0]，(2)若β∈[－4π，0]，且β與(1)中α的終邊相同，求β27當(dāng)堂測·查疑缺12341.時針經(jīng)過一小時，時針轉(zhuǎn)過了(

)解析時針經(jīng)過一小時，轉(zhuǎn)過－30°，B當(dāng)堂測·查疑缺12341.時針經(jīng)過一小時，時針轉(zhuǎn)過了(2812342.已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是(

)A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4解析設(shè)扇形半徑為r，中心角弧度數(shù)為α，C12342.已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇2912343.已知兩角的和是1弧度，兩角的差是1°，則這兩個角分別為__________________.解析設(shè)這兩個角為α，β弧度，不妨設(shè)α>β，12343.已知兩角的和是1弧度，兩角的差是1°，則這兩個角301234123431呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個角都有唯一的一個實(shí)數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個實(shí)數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng).呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)323.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應(yīng)用時，要注意角的單位取弧度.3.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應(yīng)33§1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制§1.1任意角和弧度制明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測041.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對應(yīng)關(guān)系3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.361.度量角的單位制(1)角度制用

作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的

.(2)弧度制①弧度制的定義長度等于

的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.以

作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.度填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)

半徑長弧度1.度量角的單位制度填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)

半徑長弧度37②任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系正角的弧度數(shù)是一個

；負(fù)角的弧度數(shù)是一個

；零角的弧度數(shù)是

.③角的弧度數(shù)的計算如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝

.正數(shù)負(fù)數(shù)零

②任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系正數(shù)負(fù)數(shù)零

38角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°2.角度制與弧度制的換算(1)2π360°π180°角度化弧度弧度化角度360°＝rad2π39度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

度120°135°150°270°360°弧度π2π

度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度40度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝l＝

扇形的面積S＝S＝

＝

3.扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則

度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝l＝ 扇形的面41探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)

探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)

42探究點(diǎn)一弧度制思考1

1弧度的角是怎樣規(guī)定的？1弧度的角和圓半徑的大小有關(guān)嗎？你能作出一個1弧度的角嗎？答把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一個定值，與所在圓的半徑無關(guān).如圖所示，∠AOB就是1弧度的角.探究點(diǎn)一弧度制思考11弧度的角是怎樣規(guī)定的？1弧度的角和43思考2如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α的弧度數(shù)與l、r之間有著怎樣的關(guān)系？請你完成下表，找出某種規(guī)律.

AB的長OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)0沒旋轉(zhuǎn)順時針方向πr逆時針方向2πr順時針方向00°

－90°π180°－2π－360°（思考2如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α44

逆時針方向

r逆時針方向

2r順時針方向

1°1－2

逆時針方向 r逆時針方向 2r順時針方向 1°1－245

46思考3角度制與弧度制換算時，靈活運(yùn)用下表中的對應(yīng)關(guān)系，請補(bǔ)充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad1rad＝2π360°π180°思考3角度制與弧度制換算時，靈活運(yùn)用下表中的對應(yīng)關(guān)系，請補(bǔ)47例1

(1)把67°30′化成弧度；例1(1)把67°30′化成弧度；48反思與感悟?qū)⒔嵌绒D(zhuǎn)化為弧度時，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記πrad＝180°即可求解.把弧度轉(zhuǎn)化為角度時，直接用弧度數(shù)乘以

即可.反思與感悟?qū)⒔嵌绒D(zhuǎn)化為弧度時，要把帶有分、秒的部分化為度之49

288

28850探究點(diǎn)二弧度制下的弧長公式和扇形面積公式思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角度制下的弧長公式和扇形面積公式，請根據(jù)“一周角(即360°)的弧度數(shù)為2π”這一事實(shí)化簡上述公式.(設(shè)半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α).探究點(diǎn)二弧度制下的弧長公式和扇形面積公式思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)51例2已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r.∴當(dāng)半徑r＝10cm時，扇形的面積最大，最大值為100cm2，所以當(dāng)扇形的圓心角為2rad，半徑為10cm時，扇形的面積最大為100cm2.例2已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么52反思與感悟靈活運(yùn)用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決此類問題的關(guān)鍵，有時運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有關(guān)最值問題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r的二次函數(shù)的最值問題.反思與感悟靈活運(yùn)用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決53

54探究點(diǎn)三利用弧度制表示終邊相同的角導(dǎo)引在弧度制下，與α終邊相同的角連同α在內(nèi)可以表示為2kπ＋α(k∈Z)，其中α的單位必須是弧度.思考1利用弧度制表示出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合.終邊所在的位置角的集合x軸

y軸

坐標(biāo)軸

{α|α＝kπ，k∈Z}探究點(diǎn)三利用弧度制表示終邊相同的角導(dǎo)引在弧度制下，與α終55思考2利用弧度制表示出終邊落在各個象限的角的集合.α終邊所在的象限角α的集合Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

思考2利用弧度制表示出終邊落在各個象限的角的集合.α終邊所56

解

(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.

解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－57∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角.反思與感悟在同一問題中，單位制度要統(tǒng)一，角度制與弧度制不能混用.∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角.反思與感悟在同一問58跟蹤訓(xùn)練3

(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0