2023屆北京市西城區(qū)普通中學數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：2B2B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。函數(shù)y 4x2的定義域為A，集

Blog2

x1

A B（ ）1xB．2x2x1x一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（ ）3

33

D．3bc在三角形ABC中，a1，

ab

，求bsinA（ ） 2

3

sinA sinAsinBsinC12

2已知函數(shù)f(x)lnx，若F(x)f(x)3kx2有2個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）

16e2

,0

1

1,06e

C．

16e

D．

1 6e2f(xln

1

|的圖象大致為A． B． C．D．6．已知集合ABC{2,3,4,5}，則(AB)C（ ）C．{2,3,4,5} S126，則①應為（）A．n5? B．n6? C．n7? D．n8?fxsin0,A10fx圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個極值點xx 2 3 1 2xx1

1，則下列區(qū)間中存在極值點的是（ ）A．,0

B．0,1

C．1,

D． , 6

2

3

3 2 9．若zia2iaR為純虛數(shù)，則z＝（ ）A．16i3

B．6i C．20i D．203若izsin

icos3 3

的共軛復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限f(xln(x1)axyf(x在點(0,f(0))y2xa（）A．-2 B．-1 C．1 D．2“1號”“2號”“3號設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐“3號P1，P2，則（）1 1 5A．P1?P2＝4 B．P1＝P2＝3 C．P1+P2＝6 D．P1＜P2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程．y112

x2的焦點坐標為 .某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成五音不”.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，可排種不同的音序.7017（12分）已知函數(shù)f(x)lnxax23x（aR）f(x在點(1,f(1))y2f(x的極值；

m

x當a1時，對于任意x

，當x

x時，不等式f x

f x

2 1 恒成立，求出實數(shù)m的取值范圍.

1 2 2 1

1 2 xx2118（12分）已知數(shù)列an

nn項和，對于任意的nN*滿足關系式2Sn

3an

3.求數(shù)列n設數(shù)列n

的通項公式；的通項公式是bn

loga3

1log3

an2

n項和為Tn

，求證：對于任意的正數(shù)n，總有Tn

3.419（12分）已知函數(shù)f(x)exlnx.af(x在[1,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最大值；（2）若0a1f(x2lna.a20（12分）如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABC，SD1，cosASD長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.

5ABCD是邊5求證（）直線SA 平面EF；ACSDB.21（12分）設函數(shù)fxx1x2a1．a(chǎn)1fx6；設a12ax1fx2x6有解，求實數(shù)a的取值范圍．222（10分）已知函數(shù)fxlnx1xR.x x x1fx0恒成立，求的最小值；設數(shù)列a

1N*，其前nS

a，證明：S S a

ln2.n n n 2n n 4參考答案125601、A【解析】根據(jù)函數(shù)定義域得集合A，解對數(shù)不等式得到集合B，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)y

4x24x20x2A2x又log2x11log22x1Bx則ABx1x2.A.【點睛】2、B【解析】因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的【詳解】

1，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.612小時，轉(zhuǎn)過的角度為2，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為121.6 3故選：B【點睛】3、A【解析】利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角B的值，再利用正弦定理可求得bsinA的值.【詳解】

bcbcabsinA sinAsinBsinC，由正弦定理得

ab

，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cosB

a2c2b2

a abc1，0B，B.2ac 2 33a由正弦定理 b 得bsinAasinB1sin .3asinA sinB 3 2A.【點睛】4、C【解析】F(x)f(x3kx20，可得k合已知，即可求得答案.

lnx，要使得F(x)0有兩個實數(shù)解，即yk和g(x)lnx3x2 3x2

有兩個交點，結(jié)【詳解】F(xf(x3kx20，k

lnx，3x2F(x0ykg(xg(x)12lnx，3x3令12lnx0，

lnx有兩個交點，3x2e可得x ，ee當x(0, e)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(0, e)上單調(diào)遞增；當x( e,)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在( e,)上單調(diào)遞減ex

g(x)

，1max 6e1ykg(x)

lnx 1有兩個交點，則k 0, .3x2 6ek的取值范圍是

16e.C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5、D【解析】由題可得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x1}，f(xln|1x|ln|1x|f(xf(x為奇函數(shù)，排除選項B；1x 1xf(1.1)ln211f(3)ln21ACD．6、D【解析】根據(jù)集合的基本運算即可求解.【詳解】解：ABC{2,3,4,5}，則ABC{2,3,4,5}故選：D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．7、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應填n≤1．故選B這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．8、A【解析】1

1 結(jié)合已知可知，T1可求T，進而可求，代入f(xf()0，可求

，即可判斷．2 3【詳解】xx1 21T1即T2，2

滿足|xx1

|1，，

f(x)sin(x)

f(1)

1)0，3 31k，kZ，3|1，1，f(x)sin(x1)，2 3 3x1f(11為函數(shù)的一個極小值點，而1(

,0)．6故選：A．【點睛】

6 6 69、C【解析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】zia2i2aizia2iaR為純虛數(shù)，20且6a0得a2，此時z20i3 3【點睛】本題考查復數(shù)的概念與運算，屬基礎題.10、B【解析】由共軛復數(shù)的定義得到z，通過三角函數(shù)值的正負，以及復數(shù)的幾何意義即得解【詳解】zsin

2icos2，3 3因為sin2

0，cos

10，33 2 3 23所以z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限．故選：B【點睛】11、B【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程通過（，求解即可；【詳解】f（）的定義域為（，，1f′（x）

x，曲線＝（）在點（，）處的切線方程為2，1﹣a＝2故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．12、C【解析】將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、3213方案一坐車可能：132、、231，所以，P1＝6；2方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝6；5P1+P2＝6故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.452013yx3【解析】先求導數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.【詳解】2y

2x3，x2k 2xx M

3，xM

＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，y2x1yx3．yx3.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，切點處的導數(shù)值等于切線的斜率是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).14、0,3【解析】x2

12y，計算焦點得到答案.【詳解】y

1x2x212yp12

6，所以焦點坐標為0,3．故答案為：0,3【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.15、①②③【解析】通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】8060對于①，2至月份的收入的變化率為

20，111270

20，故相同，正確．32 2111260510確．9月每個月的收入分別為405060405060503萬元，正確．31030280﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結(jié)論，屬于基礎題目．16、1【解析】按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè)，此時有23A2A2

24種；2 2②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)；③若“角”在第二個或第四個位置上,則有2A2A2

8種；2 2綜上，共有24832種故答案為：1．【點睛】屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）ln25.（2）4【解析】根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù)a，再對函數(shù)求導，即可求得函數(shù)的極值；根據(jù)題意，對目標式進行變形，構(gòu)造函數(shù)hxfxm，根據(jù)hx是單調(diào)減函數(shù)，分離參數(shù)，求函數(shù)的最x值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)f(x)lnxax23x的定義域為(0,)，f(x)12ax3，f(1)12a30，a1，x 1 2x2 可知f(x) lnx x2 3x，f(x) 2x3 0，x x解得x1

1，x2

1，2x0,1f(x0f(x單調(diào)遞增， 2 2x1,1f(x0f(x單調(diào)遞減， 2 2f(xf(1)ln1132，2 2

1ln113ln25. 2 4 2 4（2）fx

fx

mx

x1 可以變形為f

fx

mm，1 2 xx

1 2 x x21 1 2可得fx1

mx1

fx2

m，x2f(xm在上單調(diào)遞減m m h(x)f(x) lnxx23x ，x xh(x)12x3m0，x x2m2x33x2x，F(xiàn)(x2x33x2x， 12 1F(x)6x26x16x 0， 2 2F(x在單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)

min

F(10)21033102101710，可知m1710，m的取值范圍為【點睛】本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值，以及對具體函數(shù)極值的求解，涉及構(gòu)造函數(shù)法，以及利用導數(shù)求函數(shù)的值域；第二問的難點在于對目標式的變形，屬綜合性中檔題.18（1）an

3n（2）證明見解析【解析】根據(jù)公式an

S n

n1

得到an

3an1

n2，計算得到答案.b

11

1 ，根據(jù)裂項求和法計算得到T

111 1

1 ，得到證明. n 2n n2 n 2 2 n1 n2【詳解】由已知得22Sn

S

3an

，故an

3an1

n2.故數(shù)列

為等比數(shù)列，且公比q3.nn12a1

3.a3a 3a 3，a11

3n.bn

loga3

1log3

1a1n2

n2

112n

1 n2.T bb

111111 b b 1n2

3 2 4 3 5 11n n2211n n22

1 3. 2 n1 n2 4【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和證明數(shù)列不等式，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.

1 （2）詳見解析2e2f(x)ex

1(x0)，ax在[1,2]f(xf(xex1 1

10恒成立，ax即xex恒成立，只需(xex) .a a max令t(x)xexx[1,2]，則t(xexxexx[1,2]，所以t(x)0.所以t(xxex在[1,2]上是增函數(shù)，所以(xex1 1

max

2e2，所以2e2，解得0aa

.2e2所以實數(shù)a的最大值為

1 .2e2f(x)ex

(x0)，f(x)ex .lnx lnx 1g(xex

(x0)，則g(x)ex ，1 ax ax21 1g(x0g(x在(0,.1又因為

1g( a

ea

10，x0時，1ax1

ex1g(xex100

10，ax所以存在

x(0,

g(x)ex

0，ex即0ex

01，xax 0

aln(ax0

0 ax0)lnalnx，0x(0,xg(x0f(x0f(x在(0,x

)上是減函數(shù)；0x(xg(x0f(x0f(x在x

0上是增函數(shù)，x

0 0f(xf(x.0 0由于ex0 1ax0

，lnx0lnx

xlna，01 xlna

1 x lna

x lna

lna則f(x)ex0 0 0 =

0 2

0 0 a ax 0

ax a a ax0

a a a a2ln

1，當且僅當

0

1時取等號，xa ax a 0x0所以當0a1f(x2lna．a(chǎn)20（1）見解析（2）見解析【解析】(1)、BDO,EFGH,即可.(2)ACBDSDAC即可.【詳解】BDO,EFGH,OAC的中點,HOC的中點FBC的中點,CG再由題意可得

CH

1,所以在三角形CAS中,SA平面EFG,GH平面EFG,所以直線SA 平面CS CA 4EFG.在ASD中,SD1,AD2,cosASD 5,由余弦定理,AD2SA2SD22SASDcosASD,即522SA22SA1 5,解得SA 5由勾股定理逆定理可知SDDA,因為側(cè)面SAD底面ABCD,由面面5SDABCD,SDAC,ABCD是菱形ACBD,SD所以AC平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.21（）[2,3]（）2,1.

BDD,2 2 【解析】通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結(jié)果；將不等式整理為a3x，根據(jù)能成立思想可知a3x ，由此構(gòu)造不等式求得結(jié).max【詳解】（1）a1fx6x1x25，2x1,x2x1x23,1x212x,x1x2

1x2 x1，解得2x3；由 ，解得1x2；由

，解得2x1．32x15 23綜上所述：所以原不等式的解集為2,3．（2）2ax1，fx2x6，x1x2a12x6，a3x，fx2x6有解，a31，即a，2a，afx2 1a的取值范圍是2,2． 【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.122

（）證明見解析.2（1）f'x

x2x，分x2

1，02

10三種情況推理即可；211

11 1

n

n

2n1 1 1（2）由可得ln1

，即lnn1lnn

，利用累 n

1

2n1

2n 2n1加法即可得到證明.

21 n【詳解】fxlnx1xR

x2

x（1）由

x

f'

x . x2當1時，方程x2x01420x2x在區(qū)間2上恒為負數(shù)x1fx0f